Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Аксиомы. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Аксиомы.

Цели урока:

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний в раздели планиметрии по теме: “Аксиомы”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

• Формировать основные навыки в раздели планиметрии, изучение аксиом.
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Историческая справка.
   
2. Аксиомы планиметрии.
   
3. Аксиома.
   
4. Постулат.

Из истории аксиом.

Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике. Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них. Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными. Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к недоказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.

Выделив основные понятия и сформулировав аксиомы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём. В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основные понятия составляют основания планиметрии. Так как нельзя дать единое определение основных понятий для всех геометрий, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии. Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики. В этих аксиомах описываются свойства основных понятий геометрической системы, и мы можем представить основные понятия в виде объектов любой природы, которые обладают свойствами, указанными в аксиомах. После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится возможным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других. Доказательства многих теорем приписываются Пифагору и Демокриту. Гиппократу Хиосскому приписывается составление первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались "Элементы".

Потом, в III в. до н.э., в Александрии появилась книга Евклида с тем же названием, в русском переводе "Начала". От латинского названия "Начал" произошёл термин "элементарная геометрия". Несмотря на то, что сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое мнение об этих сочинениях по "Началам" Евклида. В "Началах" имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами. Появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют "Начала" предшественников Евклида.

"Начала" Евклида состоят из 13 книг. 1 - 6 книги посвящены планиметрии, 7 - 10 книги - об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии.

"Начала" начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом - "общие понятия", остальные называются "постулатами". Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий - с помощью идеального циркуля. Четвёртый, "все прямые углы равны между собой", является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил: "Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых".

Пять "общих понятий" Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов: "равные одному и тому же равны между собой", "если к равным прибавить равные, суммы равны между собой", "если от равных отнять равные, остатки равны между собой", "совмещающиеся друг с другом равны между собой", "целое больше части".

Далее началась критика геометрии Евклида. Критиковали Евклида по трём причинам: за то, что он рассматривал только такие геометрические величины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; за то, что он разрывал геометрию и арифметику и доказывал для целых чисел то, что уже доказал для геометрических величин, и, наконец, за аксиомы Евклида. Наиболее сильно критиковали пятый постулат, самый сложный постулат Евклида. Многие считали его лишним, и что его можно и нужно вывести из других аксиом. Другие считали, что его следует заменить более простым и наглядным, равносильным ему: "Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую".

Критика разрыва между геометрией и арифметикой привела к расширению понятия числа до действительного числа. Споры о пятом постулате привели к тому, что в начале XIX века Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф. Гаусс построили новую геометрию, в которой выполнялись все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата. Он был заменён противоположным утверждением : "В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную". Эта геометрия была столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида.

Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 г.

На евклидовой плоскости проведём горизонтальную прямую. Эта прямая называется абсолютом (x). Точки евклидовой плоскости, лежащие выше абсолюта, являются точками плоскости Лобачевского. Плоскостью Лобачевского называется открытая полуплоскость, лежащая выше абсолюта. Неевклидовы отрезки в модели Пуанкаре - это дуги окружностей с центром на абсолюте или отрезки прямых, перпендикулярных абсолюту (AB, CD). Фигура на плоскости Лобачевского - фигура открытой полуплоскости, лежащей выше абсолюта (F). Неевклидово движение является композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту. Два неевклидовых отрезка равны, если один из них неевклидовым движением можно перевести в другой. Таковы основные понятия аксиоматики планиметрии Лобачевского.

Все аксиомы планиметрии Лобачевского непротиворечивы. Определение прямой следующее: "Неевклидова прямая - это полуокружность с концами на абсолюте или луч с началом на абсолюте и перпендикулярный абсолюту". Таким образом, утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой и точки A, не лежащей на этой прямой, но и для любой прямой и любой не лежащей на ней точки A. За геометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии: от евклидовой отделилась проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, возникла риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия за 40 - 50 лет превратилась в совокупность разнообразных теорий, лишь в чём-то сходных со своей прародительницей - геометрией Евклида.

Аксиомы планиметрии.

Аксиома (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение) — утверждение, в определённых рамках (теории, концепции, дисциплины) принимаемое истинным без доказательств, которое в последующем служит «фундаментом» для построения доказательств.

Аксиомы принадлежности.

• Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
• Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Аксиомы расположения.

• Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
  
• Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Аксиомы измерения.

• Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумму длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
• Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Аксиомы откладывания.

• На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один.
• От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.
• Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Аксиома параллельности.

• Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

В аксиомах никогда не включаются логические цепочки, доказательства и построения. Аксиомы - чистое описание тех фактов, существование которых имеется основание считать эмпирически доказанными, для чего имеются описание опыта и методика проведения этого опыта, в котором это всегда подтверждается.

Поэтому в аксиомах (естественно, в их описаниях) никогда не фигурируют абстракции, не имеющие прямого соответствия с какими-то свойствами мира.
Поэтому в аксиомы не включаются понятия, зависящие от условий - границ абстракций, созданных человеком, в отличие от строгих терминов (см. подробнее ниже). Аксиомы не зависят от того, какими границами наделил абстракцию человек, но должны включать в себя область корректности их описаний. Так, законы Ньютона являются абстракциями, область корректного описания действительности которых - нерелятивистские скорости. Для каждого из значений взаимных скоростей существует возможность определить точность (погрешность) описания аксиомы.

Аксиома - это описание некоего закона действительности, в котором мы можем всегда убедиться эмпирически. Описание закона взаимодействия, описание свойств и условий развития закона. В аксиому нельзя безнаказанно включать такие абстракции как "силовая линия", "энергия", "истина", "красота", "объект" и т.п. Потому, что такая аксиома окажется зависимой не только от определения самой абстракции, но от того, какими границами мы ее наделяем.

Постулат можно было бы считать равноценным аксиоме, но на самом деле есть отличие: само слово означает, что это - утверждение, базовое утверждение для какой-то гипотезы. Это отличие - общепринятое обозначение тех утверждений, которые пока еще не очевидны эмпирически. Если на основе постулата строится непротиворечивая теория, описывающая свою абстракцию реальности, то есть основания попытаться найти такие условия в действительности, в которых этот постулат окажется равноценным аксиоме: т.е. можно будет доказать его объективную достоверность. Не раз случалось, что постулированное оказывалось неадекватным развиваемой теории, и от такого постулата отказывались.

Интересный факт:

«Согласно отцам (Церкви – прим. П.С.) единица есть число скудное, двоица — число разделяющее, а три — число, которое превосходит разделение. Таким образом в Троицу оказывается вписанные одновременно и единство, и множество».

Тетрактис

Пространство обладает геометрией, а геометрия сводится к числу. Это означает, что в конечном итоге законы движения пространства являют собой законы движения числа. Этот вывод пифагорейцев выдержал испытание временем. Другая проблема, открывая те или иные законы движения «чистых» чисел, мы часто не в состоянии найти им аналоги движения в геометрии объективной действительности. Поэтому «игра только в числа» без их геометрического осмысления – это игра в мире не обладающим пространством, временем и пространством-временем. Такая игра мало чего стоит для науки.
Естественный вопрос – что нового привносит Триалектика автора в начала философской, пифагорейской, религиозной и научной систем целостного понимания гармонии бытия Мира, как меры формы и числа ?

Во-первых, БЫТИЕ Триалектика рассматривает не как «вещь в себе», а как «процесс в себе», аналогичный жизненному процессу Святой Троицы («Бог-Сын рождается, а Бог-Дух Св. исходит от Бога-Отца») и принципам триединства бытия: единосущности, соприсущности, троичности, нераздельности, специфичности, взаимодействия.

Во-вторых, геометрические формы начал БЫТИЯ в Триалектике не во всем согласуются с дошедшими до нас смыслами, вложенными в более поздние пифагорейские, эзотерические числовые обозначения универсальных пространственных фигур.

Это все говорит о том что даже в философии, религии и остальных науках применяются основы математики, а в нашем случаи геометрии. Все в нашем мире тесно связано и без точных наук никак не возможно жить.

Вопросы:

1. Что такое аксиома?
   
2. Какая разницы между аксиомой и теоремой?
3. Что такое постулат?
   

Список использованных источников:

1. Урок на тему "Введение в геометрию" Автор: Мацюк. М.А., г. Киев
2. Самин Д. К. 100 великих ученых
3. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. - М.: Наука.
4. Дягилев Ф.М. Из истории физики и жизни ее творцов. - М.: Наука.
5. Пидоу Д. Геометрия и искусство. - М.: Наука.
6. Смышляев В.К. О математике и математиках. - Йошкар-Ола: Наука.
7. Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.

Над уроком работали:

Потурнак С.А.

Мацюк. М.А.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.