Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Алгоритм Евклида

Гипермаркет знаний>>Информатика>>Информатика 9 класс>>Информатика: Алгоритм Евклида



§ 40. Алгоритм Евклида

Основные темы параграфа:

♦ наибольший общий делитель;
♦ идея алгоритма Евклида;
♦ описание алгоритма Евклида блок-схемой;
♦ программа на AЯ и на Паскале.


Наибольший общий делитель

Рассмотрим следующую задачу: требуется составить программу определения наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел.

Вспомним математику. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел — это самое большое натуральное число, на которое они делятся нацело. Например, у чисел 12 и 18 имеются общие делители: 2, 3, 6. Наибольшим общим делителем является число 6. Это записывается так:

НOД(12, 18) = 6.

Обозначим исходные данные как М и N. Постановка задачи выглядит следующим образом:

Дано: М, N
Найти: НОД(M, N).

В данном случае какой-то дополнительной математической формализации не требуется. Сама постановка задачи носит формальный математический характер. Не существует формулы для вычисления НОД(М, N) по значениям М и N. Но зато достаточно давно, задолго до появления ЭВМ, был известен алгоритмический способ решения этой задачи. Называется он алгоритмом Евклида.


Идея алгоритма Евклида

Идея этого алгоритма основана на том свойстве, что если М>N, то

НОД(М, N) = НОД(М – N, N).

Иначе говоря, НОД двух натуральных чисел равен НОД их положительной разности (модуля их разности) и меньшего числа.

Легко доказать это свойство. Пусть К — общий делитель М и N (М > N). Это значит, что М = mК, N = nК, где m,n — натуральные числа, причем m > n. Тогда М - N = К(m - n), откуда следует, что К — делитель числа М - N. Значит, все общие делители чисел М и N являются делителями их разности М - N в том числе и наибольший общий делитель.

Второе очевидное свойство:

НОД(М, М) = М.

Для «ручного» счета алгоритм Евклида выглядит так:

1) если числа равны, то взять любое из них в качестве ответа, в противном случае продолжить выполнение алгоритма;
2) затенить большее число разностью большего и меньшего из чисел;
3) вернуться к выполнению п. 1.

Рассмотрим этот алгоритм на примере М=32, N=24:

M 32 8 8 8
N 24 24 16 8

Получили: НОД(32, 24) = НОД(8, 8) = 8, что верно.


Описание алгоритма Евклида блок-схемой

На рис. 6.8 приведена блок-схема алгоритма Евклида.

Блок-схема алгоритма Евклида

Структура алгоритма — цикл-пока с вложенным ветвлением. Цикл повторяется, пока значения М и N не равны друг другу. В ветвлении большее из двух значений заменяется на их разность.

А теперь посмотрите на трассировочную таблицу алгоритма для исходных значений М = 32, N = 24.

Шаг Операция M N Условие
1 ввод M 32
2 ввод N 24
3 MN 32≠24, да
4 M>N 32>24, да
5 M:=M-N 8
6 MN 8≠24, да
7 M>N 8>24, нет
8 N:=N-M 16
9 MN 8≠16, да
10 M>N 8>16, нет
11 N:=N-M 8
12 MN 8≠8, нет
13 вывод М 8
14 конец

В итоге получился верный результат.


Программа на АЯ и на Паскале

Запишем алгоритм на АЯ и программу на Паскале.

Программа на АЯ и на Паскале


Коротко о главном

Алгоритм Евклида предназначен для получения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел. Структура алгоритма Евклида — цикл с вложенным ветвлением.

Ручная трассировка может использоваться для проверки правильности лишь сравнительно простых алгоритмов. Правильность программ проверяется путем тестирования на компьютере.


Вопросы и задания

1. Выполните на компьютере программу Еvklid. Протестируйте ее на значениях М= 32, N = 24; М = 696, N = 234.
2. Составьте программу нахождения наибольшего общего делителя трех чисел, используя следующую формулу:
НОД(А, B, С) = НОД(НОД(A, В), С).
3. Составьте программу нахождения наименьшего общего кратного (НОК) двух чисел, используя формулу:
А·В = НОД(А, В)·HOK(А, В).



И. Семакин, Л. Залогова, С. Русаков, Л. Шестакова, Информатика, 9 класс
Отослано читателями из интернет-сайтов


Вся информатика онлайн, список тем по предметам, сборник конспектов по информатике, домашняя работа, вопросы и ответы, рефераты по информатике 9 класс, планы уроков


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.