Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Арккосинус. Решение уравнения cost = а

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Арккосинус. Решение уравнения cost = а


§ 17. Арккосинус. Решение уравнения cost = а


В предыдущем параграфе мы отметили, что уравнение вида соs t =а для одних значений а мы решать умеем, а для других — нет. Так, для уравнения

Задание
Теперь рассмотрим уравнениеФормула (мы не смогли его решить  в примере 2 § 16). С помощью числовой окружности получаем (рис. 75):

Задание
Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке.
Они ввели в рассмотрение новый символ

Задание

Окружность
Теперь все корни уравнения Alga236.jpg можно описать двумя формулами:

Задание
Что же такое Alga238.jpg Это — число (длина дуги АМ), косинус  которого равен Alga239.jpg и которое принадлежит первой четверти числовой окружности — отрезку Alga240.jpg
Замечание. Символ агссоs Alga241.jpg введенный математиками, содержит новый математический знак (агс), напоминание об исходной функции соs t (агссоs) и, наконец, напоминание о правой части уравнения, в приведенном нами случае о числе Alga241.jpg. Вот так в итоге и появился символ агссоs Alga241.jpg (состоящий как бы из трех частей).

Теперь рассмотрим уравнение Alga242.jpg С помощью числовой окружности (рис. 76) получаем:

Alga243.jpg

Задание
Сформулируем определение арккосинуса в общем виде.

Определение. Если Alga245.jpg то агссос а (арккосинус а) — это такое число из отрезка [0, п], косинус которого равен а (рис. 77). Итак,

Окружности
Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравнения соs t =а:

Задание
Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:

Задание
Замечание. Во всех этих формулах, если не оговорено противное, предполагается, что Alga249.jpg Об этом мы уже договорились выше.
Пример 1. Вычислить:

Задание
Решение:

Задание
Доказательство. Будем считать для определенности, что а > 0. Отметим агссоs а на числовой окружности — это длина дуги АМ и агссоs (-а) — длина дуги АР (рис. 78). Дуги АМ и РС симметричны относительно вертикального диаметра окружности, значит, длины этих дуг равны. Получаем:
агссоs а+агссоs (~а)=АМ+АР=РС+АР=АС = п.   
На практике полученное соотношение удобнее использовать в следующем виде:

Задание
При этом учитывают, что в случае, когда а> 0, значения агссоs а принадлежат первой четверти числовой окружности.

Например, агссоз Задание
Такой же результат был получен выше при решении примера 1б.
Пример 2. Решить уравнения:

Задание

Окружность
Решение: а) Составим формулу решений:

Задание

Вычислим значение арккосинуса:

Задание
Подставим найденное значение в формулу решений:

Задание
Вычислить значение арккосинуса в данном случае мы не можем, поэтому запись решений уравнения оставим в полученном виде.
г)    Так как -1,2 <—1, то уравнение соs <=-1,2 не имеет решений (переходить здесь к арккосинусу не имеет смысла).   
Пример 3. Решить неравенства: Задание
Решение: а) Учтем, что соs t — абсцисса точки М(t) числовой окружности. Значит, нам надо найти такие точки М(t), лежащие на окружности, которые удовлетворяют неравенству Задание пересекает числовую окружность в двух точках КиР (рис. 79). Неравенству  Задание соответствуют точки открытой дуги КР. Дуга КР — это дуга с началом в точке К и концом в точке Р при движении по окружности против часовой стрелки. Главные «имена» точек К и Р в этом случае— соответственно Alga262.jpg  Значит, ядром аналитической записи дуги КР является неравенство: Alga263.jpg  а сама аналитическая запись дуги КР 3 3
л „ , л „ , имеет вид: - — + 2пк < X < — + 2пк. 3    3
б) Прямая х = 0,3 пересекает числовую окружность в двух точках КиР (рис. 80). Неравенству х>0,3 соответствуют точки открытой дуги КР. Главные «имена» точек КиР в этом случае — соответственно -агссоз 0,3 и агссоз 0,3. Значит, ядром аналитической записи дуги КР является неравенство:

Окружность
а сама аналитическая запись дуги КР имеет вид
в) Прямая х = - 0,3 пересекает числовую окружность в двух точках К и Р (рис. 81). Неравенству х <- 0,3 соответствуют точки открытой дуги РК. Дуга РК — это дуга с началом в точке Р и концом в точке К при движении по окружности против часовой стрелки. Главные «имена» точек Р и К — соответственно агссоз (-0,3) и 2л- агссоз(-0^). Значит, ядром аналитической записи дуги РК является неравенство:
агссоз(-ОЗ) < < < 2л - агссоз(-0,3), а сама аналитическая запись дуги РК имеет вид

Окружности

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс




Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.