Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Арксинус. Решение уравнения sint = a

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Арксинус. Решение уравнения sint = a


§ 18. Арксинус. Решение уравнения sint = a


Рассмотрим уравнения Alga266.jpg    С помощью числовой окружности (рис. 82) получаем:

Окружности
Что же такое Alga268.jpg Это — число (длина дуги АМ), синус которого равен Alga269.jpg и которое принадлежит первой четверти числовой окружности — отрезку

Alga270.jpg
Теперь рассмотрим уравнениеAlga271.jpg
С помощью числовой окружности (рис. 83) получаем:

Задание
где t1 — длина дуги ВА, взятая со знаком минус, 1г — длина дуги К А, взятая тоже со знаком минус. Математики обозначили число t2 символом Alga273.jpg и сразу обратили внимание на два обстоятельства.
Первое: дуги АМ и АЬ (см. рис. 82 и 83) равны по длине и противоположны по направлению. Значит,

Задание
Второе:

Задание
Сформулируем определение арксинуса в общем виде.
Определение.

Задание 

Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравнения t = a:

Задание
Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:

Задание
Пример 1. Вычислить:

Задание
Решение: а) Положим

Задание
Пример 2. Решить уравнения:

Задание
Решение: а)Составим формулы решений:

Задание
Вычислить значение арксинуса в данном случае мы не можем, поэтому запись решений уравнения оставим в полученном виде.
г) Так как -1,2 < -1, то уравнение sin t = -1,2 не имеет решений (переходить здесь к арксинусу не имеет смысла).  
Пример 3. Решить неравенства:

Окружность
Решение: а) Учтем, что sin t — ордината точки М(t) числовой окружности. Значит, нам надо найти такие точки М(t), лежащие на окружности,
которые удовлетворяют неравенству Alga284.jpg Прямая Alga284.jpg пересекает числовую окружность в двух точках К и Р (рис. 87). Неравенству Alga284.jpg соответствуют точки открытой дуги КР. Главные « имена » точек

Alga285.jpg  Значит, ядром аналитической записи дуги КР является неравенство Alga286.jpg а сама аналитическая запись дуги КР имеет вид:

Задание
б)    Прямая у = 0,3 пересекает числовую окружность в двух точках КиР (рис. 88). Неравенству у > 0,3 соответствуют точки открытой дуги КР. Главные «имена» точек КиР — соответственно агсзт 0,3 и 

Задание
в)    Неравенству у <0,3 соответствуют точки открытой дуги РК (рис. 89). Главные «имена» точек Р и К в этом случае . Значит, решение неравенства имеет вид:

Задание
Полученные выше две формулы для решения уравнения sin t =а:

Задание
можно объединить одной формулой. Перепишем эти формулы следующим образом:

Задание
Замечаем, что если перед агсsin а стоит знак «+*, то у числа л множителем является четное число 2к (см. первую строку); если же перед агсsin а стоит знак «—», то у числа л множителем является нечетное число (2й + 1)(см. вторую строку). Это наблюдение позволяет записать общую формулу для решения уравнения sin 1=а:

Задание
Почему эта формула общая? Да потому, что при четном n (n- 2к) из нее получается первая из написанных выше формул, а при нечетном n (n = 2к +1) — вторая из написанных выше формул.
С помощью полученной общей формулы можно по-другому записать решения уравнений примера 2. Так, для уравнения

Задание
Для рассмотренного в примере 2 в) уравнения Задание ответ можно записать так: Задание
Теперь мы можем найти решения уравнения, которое не смогли решить в примере 2 § 16: sin t  =-0,3 Имеем

Задание
Замечание. Вы, наверное, обратили внимание на то, что мы здесь и в § 17, говоря о решении уравнений и неравенств, все время обозначали переменную буквой 2, а не х, к чему вы, естественно, больше привыкли. Это дало нам возможность более комфортно использовать для решения уравнений и неравенств числовую окружность. Теперь мы имеем готовые формулы для решения уравнений sin t = а, соs t = а. Значит, мы можем обойтись без числовой окружности. А коли так, то в дальнейшем, говоря о тригонометрических уравнениях и неравенствах, вернемся к более традиционному обозначению переменной — обозначению х.
Пример4. Вычислить: Задание
Решение: а) Воспользовавшись определением арксинуса, получим:

Задание
Поскольку t принадлежит первой четверти, из двух указанных выше возможностей выбираем первую:

Задание


А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс


Видео  по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.