Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а, ctgx = a

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а, ctgx = a


§ 19. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а, ctgx = a


В примере 2 §16 мы не смогли решить три уравнения:

Задание
Два из них мы уже решили — первое в § 17 и второе в § 18, для этого нам пришлось ввести понятия арккосинуса и арксинуса. Рассмотрим третье уравнение х = 2.
Графики функций у=tg х и у=2 имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид Alga32.jpg — абсцисса точки пересечения прямой у = 2 с главной ветвью тангенсоиды (рис. 90). Для числа х1 математики придумали обозначение агсtg 2 (читается «арктангенс двух»). Тогда все корни уравнения х=2 можно описать формулой х=агсtg 2 + пк.
Что же такое агсtg 2? Это — число, тангенс которого равен 2 и которое принадлежит интервалу Alga33.jpg
Рассмотрим теперь уравнение tg х = -2.
Графики функций Alga34.jpg имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид Alga35.jpg  абсцисса точки пересечения прямой у = -2 с главной ветвью тангенсоиды. Для числа х2 математики придумали обозначение агсtg(-2). Тогда все корни уравнения х = -2 можно описать формулой

Задание
Что же такое агсtg(-2) ? Это—число, тангенс которого равен -2 и которое принадлежит интервалу Alga33.jpg . Обратите внимание (см. рис. 90): х2 = -х2. Это значит, что агсtg(-2) = - агсtg 2.
Сформулируем определение арктангенса в общем виде.

Определение 1. агсtg а (арктангенс а) — это такое число из интервала Alga33.jpg , тангенс которого равен а. Итак,

Формула
Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравнения х=а: уравнение х = а имеет решения

Формула
Выше мы отметили, что агсtg(-2) = -агсtg 2. Вообще, для любого значения а справедлива формула

Формула
Пример 1. Вычислить: Задание

Решение:

Решение

Пример 2. Решить уравнения: Задание

Решение: а) Составим формулу решений:

Решение

Вычислить значение арктангенса в данном случае мы не можем, поэтому запись решений уравнения оставим в полученном виде.
Ответ: Задание
Пример 3. Решить неравенства: Задание
Неравенство вида Задание можно решать графически, придерживаясь следующего планам
1)    построить тангенсоиду у = tg х и прямую у = а;
2)    выделить для главной ветви тангейсоиды промежуток оси х, на котором выполняется заданное неравенство;
3)    учитывая периодичность функции у = tg х, записать ответ в общем виде.
Применим этот план к решению заданных неравенств.

Решение: а) Построим графики функций у = tgх и у = 1. На главной ветви тангенсоиды они пересекаются в точке

График
Выделим промежуток оси х, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена ниже прямой у = 1, — это интервал Alga318.jpg
Учитывая периодичность функции у = tgх, делаем вывод, что заданное неравенство выполняется на любом интервале вида:

Формула
Объединение всех таких интервалов и представляет собой общее решение заданного неравенства.
Ответ можно записать и по-другому:

Задание
б) Построим графики функций у = tg х и у = -2. На главной ветви тангенсоиды (рис. 92) они пересекаются в точке х = агсtg(-2).

График
Выделим промежуток оси х, на котором главная ветвь тангенсоиды

Задание
Рассмотрим уравнение с tg х=а, где а>0. Графики функций у=сtg х и у =а имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид: х = х1 + пк, где х1 =агссtg а — абсцисса точки пересечения прямой у=а с главной ветвью тангенсоиды (рис. 93). Значит, агссtg a — это число, котангенс которого равен а и которое принадлежит интервалу (0, п); на этом интервале строится главная ветвь графика функции у =сtg х.

График
На рис. 93 представлена и графическая иллюстрация решения уравнения с1tg = -а. Графики функций у =сtg х и у = -а имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид х = х2 + пк, где х2 = агссtg (- а) — абсцисса точки пересечения прямой у = —а с главной ветвью тангенсоиды. Значит, агссtg(-а) — это число, котангенс которого равен -а и которое принадлежит интервалу (О, п); на этом интервале строится главная ветвь графика функции У =сtg х.

Определение 2. агссtg а (арккотангенс а) — это такое число из интервала (0, п), котангенс которого равен а.
Итак,

Формула
Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравнения сtg х=а: уравнение ctg х = а имеет решения:

Формула
Обратите внимание (см. рис. 93): х2 =п-х1. Это значит, что

Формула


Пример 4. Вычислить:

Задание
Решение: а) Положим,

Решение
Уравнение сtg х=а практически всегда можно преобразовать к виду Alga329.jpg Исключение составляет уравнение сtg х =0. Но в этом случае, воспользовавшись тем, что можно перейти к
уравнению соs x=0. Таким образом, уравнение вида х=а самостоятельного интереса не представляет.


А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс




Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.