Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Исследование функций на монотонность

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Исследование функций на монотонность


Исследование функций на монотонность


С понятиями возрастающей и убывающей функций мы впервые познакомились в курсе алгебры 7-го класса. Глядя на график функции, мы снимали соответствующую информацию: если двигаясь по графику слева направо мы в то же время движемся снизу вверх (как бы поднимаемся в горку), то мы объявляли функцию возрастающей (рис. 124); если же мы движемся сверху вниз (спускаемся с горки), то мы объявляли функцию убывающей (рис. 125).

Функции
Однако математики не очень жалуют такой способ исследования свойств функции. Они считают, что определения понятий не должны опираться на рисунок, — чертеж должен лишь иллюстрировать то или иное свойство функции на ее графике. Дадим строгие определения понятий возрастания и убывания функции.

Определение 1.Функцию у = f(x) называют возрастающей на промежутке X, если из неравенства х1 < х2- где хг и х2 — любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x1) < f(x2).

Определение 2. Функцию у = f(x) называют убывающей на промежутке X, если из неравенства х1 < х2, где х1 и х2 — любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x1) > f(x2).

На практике удобнее пользоваться следующими формулировками:

функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Используя эти определения и установленные в § 33 свойства числовых неравенств, мы сможем обосновать выводы о возрастании или убывании ранее изученных функций.


1. Линейная функция у = kx +m

Если k > 0, то функция возрастает на всей числовой прямой (рис. 126); если k < 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Доказательство. Положим f(х) = kx +m. Если х1 < х2 и k > О, то, согласно свойству 3 числовых неравенств (см. § 33), kx1 < kx2. Далее, согласно свойству 2, из kx1 < kx2  следует, что kx1 + m < kx2 + m, т. е. f(х1) < f(х2).

Линейная функция

Итак, из неравенства х1 < х2 следует, что f(х1) < f(x2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. линейной функции у = kx+ m.

Если же х1 < х2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx1 > kx2, а согласно свойству 2, из kx1 > kx2 следует, что kx1 + m> kx2 + т.

Итак, из неравенства х1 < х2 следует, что f(х1) > f(х2). Это и означает убывание функции у = f(x), т. е. линейной функции у = kx + m.

Если функция возрастает (убывает) во всей своей области определения, то ее можно называть возрастающей (убывающей), не указывая промежутка. Например, про функцию у = 2х - 3 можно сказать, что она возрастает на всей числовой прямой, но можно сказать и короче: у = 2х - 3 — возрастающая
функция.


2. Функция у = х2

1. Рассмотрим функцию у = х2 на луче [0, + 00). Пусть 0 15-06-18.jpg х1 < х2. Тогда, согласно свойству 6 числовых неравенств, 15-06-19.jpg, т. е.f(x1) < f(x2)- Итак, из х1 < х2 следует f(x1) < f(x2). Таким образом, функция у = х2 возрастает на луче [0, + 00) (рис. 128).

Функция

2. Рассмотрим функцию у = х2 на луче (- со, 0]. Возьмем два неположительных числа х1 и х2, таких, что х1 < х2. Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х1 > - х2. Так как числа - х1 и - х2 неотрицательны, то, возведя в квадрат обе части последнего неравенства, получим неравенство того же смысла (-х1)2 > (-х2)2, т.е. 15-06-21.jpg Это значит, что f(х1) >f(х2).

Итак, из неравенства х1 < х2 следует, что f(х1) > f(х2).

Поэтому функция у = х2 убывает на луче (- 00, 0] (рис. 128).
3. Функция у 15-06-22.jpg
1. Рассмотрим функцию 15-06-22.jpg на промежутке (0, + 00).
Пусть х1 < х2. Так как х1 и х2положительные числа, то из х1< x2  следует 15-06-23.jpg (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x1) > f(x2).

Итак, из неравенства х1 < х2 следует, что f(x1) > f(x2). Это значит, что функция убывает на открытом луче (0, + 00) (рис. 129).

Функция
2. Рассмотрим функцию 15-06-22.jpg на промежутке (-оо, 0). Пусть х1 < х2, х1 и х2 — отрицательные числа. Тогда - х1 > - х2, причем  обе части последнего неравенства — положительные числа, а потому 15-06-25.jpg (мы снова воспользовались неравенством, доказанным в примере 1 из § 33). Далее имеем 15-06-26.jpg15-06-27.jpg, откуда получаем 15-06-28.jpg .

Итак, из неравенства х1 < х2 следует, что f(x1) >f(x2)  т.е. функция убывает на открытом луче (-00, 0)

Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание и убывание называют исследованием функции на монотонность.

Пример. Построить и прочитать график функции y = f{x), где

график функции

Решение.

1) Построим график функции у = 2х2 и возьмем ветвь этой параболы при х < 0 (рис. 130).

2) Построим график функции 15-06-30.jpg и выделим его часть на отрезке [0, 4] (рис. 131).

График функции
3) Построим гиперболу 15-06-32.jpg и выделим ее часть на открытом луче (4, + 00) (рис. 132).
4) Все три «кусочка» изобразим в одной системе координат — это и есть график функции у = f(x) (рис. 133).

Прочитаем график функции у = f(x).

1. Область определения функции — вся числовая прямая.

2. у = 0 при х = 0; у > 0 при х > 0.

3. Функция убывает на луче (-оо, 0], возрастает на отрезке [0, 4], убывает на луче [4, + оо).

4. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

5. унаим. = 0 (достигается при х = 0); Yнаиб- не существует.

6. Функция непрерывна.

7. Область значений функции — луч [0, + оо).

8. Функция выпукла вниз на луче (-оо, 0], выпукла вверх на отрезке [0, 4], выпукла вниз на луче [4, + оо).

график функции


Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Рефераты, домашняя работа по математике скачать, учебники скатать бесплатно, онлайн уроки, вопросы и ответы


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.