Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Как построить график функции у = f(kx), если известен график функции

§13. Как построить график функции у = f(kx), если известен график функции

В этом параграфе мы познакомимся еще с одним преобразованием, позволяющим, зная график функции у = /(х), довольно быстро строить график функции у = f(Ах), где к — любое действительное число (кроме нуля). Рассмотрим несколько случаев.

Задача 1. Зная график функции у = f(х), построить график функции у - f(кх), где к — положительное число.
Чтобы вам было проще понять суть дела, рассмотрим конкретный пример, когда к =2. Как построить график функции у = f(2х), если известен график функции у = f(х)?

Пусть на графике функции у = f(x) имеются точки (4; 7) и (-2; 3). Это значит, что f(4) = 7 и f(-2) = 3. Куда переместятся точки, когда мы строим график функции у = f(2х)? Смотрите (рис. 50): если х =2, то у = f(2х) = f(2 • 2) = f(4) = 7. Значит, на графике функции у = f(2х) есть точка (2; 7). Далее, если х = -1, то у = f(2х) = Д-1- 2) = f(-2) = 3. Значит, на графике функции у = f(2х) есть точка (-1; 3). Итак, на графике функции у = f(х)есть точки (4; 7) и (-2; 3), а на графике функции у = f(2х) есть точки (2; 7) и (- 1; 3), т.е. точки с той же ординатой.

но в два раза меньшей (по модулю) абсциссой. Так же обстоит дело и с другими точками графика функции у = f(x), когда мы переходим к графику функции у = f(2х) (рис. 51). Такое преобразование называют обычно сжатием к оси у с 1 коэффициентом 2.

Вообще, график функции у = f(кх) получается из графика функции у-f(х) с помощью сжатия к оси у с коэффициентом к. Отметим, что при этом преобразовании остается на месте точка пересечения графика функции у = f(х) с осью у (если х =0, то и кх =0).

Впрочем, если к < 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом к, а о растяжении от оси у с коэффициентом

Пример 1. Построить графики функций:

Решение: а) Построим полуволну графика функции у = sin x и осуществим ее растяжение от оси у с коэффициентом 2; получим одну полуволну  искомого графика функции (рис. 52). Затем построим весь график (рис. 53).

б) Построим полуволну графика функции у =соs х и осуществим ее сжатие к оси у с коэффициентом 2; получим одну полуволну искомого графика функции у=соs 2х (рис. 54). Затем построим весь график (рис. 55).

  
Задача 2. Зная график функции у = f(х), построить график функции у = f(kх), где к =-1. Иными словами, речь идет о построении графика функции у = f(-x).

Предположим, что на графике функции у = f(х) есть точки (3; 5) и (-6; 1). Это значит, что f(З) = 5, а f(-6) = 1. Соответственно на графике функции у = f(-х)имеется точка (-3; 5), так как при подстановке в формулу у = f(-х) значения х = -3 получим у = f(З) = 5. Аналогично убеждаемся, что графику функции у = f(-х) принадлежит точка (6; 1).

Итак, точке (3; 5), принадлежащей графику функции у = f(х), соответствует точка (-3; 5), принадлежащая графику функц ии у = f(-х); точке (-6; 1), принадлежащей графику функции у = f( х), соответствует точка (6; 1), принадлежащая графику функции у = f(-х). Указанные пары точек симметричны относительно оси у (рис. 56).

Обобщая эти рассуждения, приходим к следующему выводу: график функции у = f(-х) можно получить из графика функции ' у = f(х) с помощью преобразования симметрии относительно оси у.

Замечание. Если речь идет о построении графика функции у = f(-х), то обычно сначала проверяют, является ли функция у = f(х)четной или нечетной. Если у = f(х) — четная функция, т.е. f(-х)= f(х), то график функции у = f(-х) совпадает с графиком функции у = f(х). Если у = f(х) — нечетная функция, т.е. f(-х) = -f(х), то вместо графика функции у = f(-х) можно построить график функции у = -f(х).

Задача 3. Зная график функции у = f(х), построить график функции у = f(кх), где к — отрицательное число.
Так как в этом случае справедливо равенство f(кх) = f(-\к\х), то речь идет о построении графика функции у = f(-\к\х). Это можно сделать в три шага:

1)    построить график функции у =f(х);
2)    осуществить его сжатие (или растяжение) к оси у с коэффициентом | к |;
3)    сжатый (или растянутый) график подвергнуть преобразованию симметрии относительно оси у.

Пример 2. Построить график функции у = -3 соs (~2х).

Решение. Заметим прежде всего, что соз (-2х)=соз2х.
1)    Построим график функции у =созх, точнее, одну полуволну графика (рис. 57а. Все предварительные построения обозначены пунктирными линиями).
2)    Осуществим растяжение построенного графика от оси х с коэффициентом 3; получим одну полуволну графика функции у=Зсоs х.
3)    Подвергнем построенную полуволну графика функции у = 3 соs х преобразованию симметрии относительно оси х; получим полуволну графика функции у = -Зсоs х.
4)    Осуществим для полуволны графика функции у =-Зсоs х сжатие к оси у с коэффициентом 2; получим полуволну графика функции у = -Зсоs2х (на рис. 57а сплошная линия).
5)    С помощью полученной полуволны построим весь график (рис. 576).   

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.