Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Множество рациональных чисел

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Множество рациональных чисел


Множество рациональных чисел


В главе 3 мы убедились в том, что, кроме рациональных чисел, существуют числа другой природы — к ним часто приводит операция извлечения квадратного корня (и не только она, просто мы с вами этого пока не знаем). Значит, нам нужно более обстоятельно познакомиться с новыми числами. Но сначала попробуем систематизировать наши знания о «старых», т. е. о рациональных, числах.


1. Некоторые символы математического языка

Вам хорошо известны натуральные числа: 1, 2, 3, 4, ...

Множество всех натуральных чисел обычно обозначают буквой N.

Если к натуральным числам присоединить число 0 и все целые отрицательные числа: -1,-2,-3,-4, ..., — то получится множество целых чисел. Это множество обычно обозначают буквой Z.

Если к множеству целых чисел присоединить все обыкновенные дроби: Дроби и т. д., — то получится множество рациональных чисел. Это множество обычно обозначают буквой Q.

Любое целое число m можно записать в виде дроби 14-06-98.jpg , поэтому справедливо утверждение о том, что множество Q рациональных чисел — это ножество,  состоящее из чисел вида Числа
Используя введенные обозначения N, Z, Q, условимся о следующем:

1. Вместо фразы «n — натуральное число» можно писать 14-06-100.jpg (читается: «элемент n принадлежит множеству N»), Математический символ 14-06-112.jpg называют знаком принадлежности.
2. Вместо фразы «m — целое число» можно писать m 14-06-112.jpg Z.
3. Вместо фразы «r — рациональное число» можно писать r14-06-112.jpgQ.
Понятно, что N — часть множества Z, а Z — часть множества Q. Для описания этой ситуации в математике также имеется специальное обозначение: Обозначение

Математический символ с называют знаком включения (одного множества в другое).

Вообще, в математике запись х14-06-112.jpg X означает, что х — один из элементов множества X. Запись Множество означает, что множество А представляет собой часть множества В. Математики чаще говорят так: А — подмножество множества

Обратите внимание: множества в математике обычно обозначают прописными буквами, а элементы множества — строчными буквами.

И еще на один момент обратите внимание: знаки принадлежности (элемент принадлежит множеству) и включения (одно множество содержится в другом) — различные, соответственно Множество

А как записать, что элемент х не принадлежит множеству X или что множество А не является частью (подмножеством) множества В? Используют те же символы, но перечеркнутые косой чертой: Символы.

Приведем несколько примеров использования введенных математических символов для сокращения записи верных математических утверждений — их называют также истинными высказываниями.

Примеры

2. Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби

К рациональным числам, как мы уже не раз подчеркивали, относятся все те числа, с которыми вы успешно оперировали до тех пор, пока не встретились с квадратными корнями.

Это были целые числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби.

Для всех этих чисел можно использовать один и тот же способ записи, который мы сейчас и обсудим.
Рассмотрим, например, целое число 5, обыкновенную дробь 14-06-107.jpg и десятичную дробь 8,377. Целое число 5 можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: 5,0000... Десятичную дробь 8,377 также можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: 8,377000... Для числа 14-06-107.jpg воспользуемся методом «деления углом»:

Деления углом
Как видите, начиная со второй цифры после запятой происходит повторение одной и той же группы цифр: 18, 18, 18, ... . Таким образом, 14-06-107.jpg = 0,3181818... . Короче это записывают так: 0,3(18). Повторяющуюся группу цифр после запятой называют периодом, а саму десятичную дробь — бесконечной десятичной периодической дробью.
бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого надо в периоде записать число 0:

5 = 5,00000... = 5,(0). Так же обстоит дело и с числом 8,377: 8,377 = 8,377000... = 8,377(0).

Чтобы все было аккуратно, говорят так: 8,377 — конечная десятичная дробь, а 8,377000... — бесконечная десятичная дробь.
Таким образом, и число 5, и число 14-06-107.jpg , и число 8,377 удалось записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Вообще, любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Замечание. Этот вывод удобен для теории, но не очень удобен для практики. Ведь если дана конечная десятичная дробь 8,377, то зачем нужна ее запись в виде 8,377(0)? Поэтому обычно говорят так: любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Выше мы показали, как обыкновенную дробь представляют в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Это значит, что любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть
рациональное число.

Покажем на примере, как бесконечную десятичную периодическую дробь превращают в обыкновенную дробь.

Пример. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь: а) 1,(23); б) 1,5(23).

Решение, а) Положим х = 1,(23), т. е. х = 1,232323... .

Умножим х на такое число, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на один период. Поскольку в периоде содержатся две цифры, нужно, чтобы запятая передвинулась вправо на две цифры, а для этого число х надо умножить на 100.

Получим

Решение

б) Положим х = 1,5(23) = 1,5232323... . Сначала умножим х на 10, чтобы в полученном произведении период начинался сразу после запятой: 10х = 15,232323... . Теперь число 10х умножим на 100 — тогда запятая сместится ровно на один период вправо: 1000х - 1523,232323... . Имеем

Решение

Теперь мы сформулируем основной результат этого параграфа: множество Q рациональных чисел можно рассматривать как множество чисел вида 14-06-111.jpg,где m — целое число, n — натуральное число, или как множество бесконечных десятичных периодических дробей.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.