KNOWLEDGE HYPERMARKET


Общая формула для объемов тел вращения

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 11 класс>>Математика:Общая формула для объемов тел вращения


Общая формула для объемов тел вращения


Телом вращения в простейшем случае называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами на этой прямой. Круговой цилиндр, конус, шар являются примерами тел вращения. Найдем формулу для вычисления объема тела вращения.

Проведем плоскость через ось тела и введем в этой плоскости декартовы координаты х, у, приняв ось тела за ось x (рис. 491). Плоскость ху пересекает поверхность тела по линии, для которой ось X является осью симметрии. Пусть y = f(x) — уравнение той части этой линии, которая расположена над осью х.

Общая формула для объемов тел вращения 


Проведем через точку (х,. О) плоскость, перпендикулярную оси х, и обозначим через V (х) объем части тела, лежащей слева от этой плоскости; V (х) является функцией от х.

Разность V {x + h) - V (х) представляет собой объем слоя тела толщиной h, заключенного между двумя плоскостями, которые перпендикулярны оси X и проходят через точки с абсциссами х и x + h.

Пусть М — наибольшее, а m —наименьшее значение функции f (х) на отрезке (х, x + h). Тогда рассматриваемый слой тела содержит  цилиндр с радиусом m и высотой h и содержится в цилиндре с радиусом М и той же высотой h (см. рис. 491). Поэтому

Общая формула для объемов тел вращения

При стремлении высоты h к нулю левая и правая части последнего неравенства стремятся к одной и той же величине Формула. Средняя же часть этого неравенства при стремлении h к О стремится к производной V'(x) функции V (х). Значит,
V'(x) = Формула.


По известной формуле анализа

Формула

Эта формула и дает объем части тела, заключенной между параллельными плоскостями х = а и х = b.
 


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений


Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.