Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 11 класс>>Математика:Объемы подобных тел

Объемы подобных тел

Пусть Т и Т' — два простых подобных тела. Это значит, что существует преобразование подобия, при котором тело Т переходит в тело Т'. Обозначим через k коэффициент подобия.

Разобьем тело Т на треугольные пирамиды Р₁, Р₂, ....., Р_n-Преобразование подобия, которое переводит тело Т в тело Т', переводит пирамиды Р₁, Р₂, ....., Р_n в пирамиды Р'₁, Р'₂, ....., Р'_n. Эти пирамиды составляют тело Т', и поэтому объем тела Т' равен сумме объемов пирамид Р'₁, Р'₂, ....., Р'_n.

Так как пирамиды Р₁' и Р, подобны и коэффициент подобия равен k, то отношение их высот равно k, а отношение площадей их оснований равно k³.

Следовательно, отношение объемов пирамид равно k³. Так как тело Т составлено из пирамид Р_i а тело Т' составлено из пирамид Р'_i то отношение объемов тел Т' и Т тоже равно k³.

Число k — коэффициент подобия — равно отношению расстояний между любыми двумя соответствующими парами точек при преобразовании подобия.

Следовательно, это число равно отношению любых двух соответствующих линейных размеров тел Т' и Т. Таким образом, мы приходим к следующему выводу:

Объемы двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров.

Задача (48). Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды?

Решение. Как мы знаем, проведенная плоскость отсекает подобную пирамиду (рис. 484). Коэффициент подобия равен отношению высот, т. е.
Поэтому объемы пирамид относятся  как .   Следовательно, плоскость делит нашу пирамиду на части, объемы которых относятся как

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.