Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Определение производной

 § 32. Определение производной

1. Задачи, приводящие к понятию производной

Часто бывает так, что, решая задачи, очень далекие друг от друга по содержанию, мы приходим к одной и той же математической модели. Сила математики состоит в том, что она разрабатывает способы оперирования с той или иной математической моделью, которыми потом пользуются в других областях знаний. Вы умеете работать со многими математическими моделями — уравнениями, неравенствами, системами уравнений, системами неравенств и др. В этом параграфе речь пойдет о принципиально новой для вас математической модели. Сначала рассмотрим две различные задачи, физическую и геометрическую, процесс решения которых как раз и приводит к возникновению новой математической модели.

Задача 1 (о скорости движения). По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой s=s (t), где t — время (в секундах), s (t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

Решение. Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М(рис. 114), пройдя путь от начала движения ОМ = s{t). Дадим аргументу t привращение и рассмотрим момент времени Координата материальной точки стала другой, тело в этот момент будет находиться в точке
Значит, за секунд тело переместилось из точки М в точку Р, т.е. прошло путь МР. Имеем:
Полученную разность мы назвали в § 31 приращением функции:

Путь тело прошло за  секунд. Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени

А что такое скорость v (t) в момент времени t (ее называют иногда мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени   выбирается все меньше и меньше; иными словами, при условии, что
Подводя итог решению задачи 1, получаем:

Прежде чем сформулировать вторую задачу и приступить к ее решению, обсудим вопрос, что следует понимать под касательной к плоской кривой. Термином «касательная» мы уже пользовались (на интуитивном уровне) в курсе алгебры 7—9-го классов. Например, мы говорили, что парабола у = х² касается оси х в точке х=0 или, что то же самое, ось х является касательной к параболе у = х² в точке х=0 (рис. 115). Иделоне в том, что ось х и парабола имеют одну общую точку. Ведь ось у тоже имеет с параболой у = х² одну общую точку, однако у вас не возникнет желания назвать ось у касательной к параболе. Обычно касательную определяют следующим образом.

Дана кривая Ь (рис. 116), на ней выбрана точка М. Возьмем еще одну точку на кривой, причем достаточно близкую к М, — точку Р. Проведем секущую МР. Далее будем приближать точку Р по кривой Ь к точке М. Секущая МР будет изменять свое положение, она как бы поворачивается вокруг точки М. Часто бывает так, что можно обнаружить в этом процессе прямую, представляющую собой некое предельное положение секущей; эту прямую — предельное положение секущей — называют касательной к кривой Ь в точке М.

Поставьте эксперимент: возьмите параболу у = х², проведите секущую ОР, где О — вершина параболы, Р — текущая точка. Возьмите точку Р поближе к О, проведите вторую секущую. Возьмите точку Р еще ближе к О, проведите третью секущую и т.д. Вы обнаружите, что предельным положением этих секущих будет ось х — это и есть касательная к параболе в ее вершине (что соответствует нашим интуитивным представлениям).

Задача 2 (о касательной к графику функции). Дан график функции у = f(х). На нем выбрана точка М(а; f(а)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Решение. Дадим аргументу приращение Ах и рассмотрим на графике (рис. 117) точку Р с абсциссой . Ордината точки Р равна Угловой коэффициент секущей МР, т.е. тангенс угла между секущей и осью х, вычисляется по формуле

Если мы теперь устремим Ах к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной
Используя приведенную выше формулу для

Замечание. В приведенном решении задачи 2 упущен случай, когда касательная перпендикулярна оси абсцисс (см., например, рис. 118). Уравнение такой прямой имеет вид х = а, об угловом коэффициенте говорить в этом случае некорректно, поскольку он не существует.

Подведем итоги. Две различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели — пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Многие задачи физики, химии, экономики и т.д. приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.:

а)    присвоить ей новый термин;
б)    ввести для нее обозначение;
в)    исследовать свойства новой модели.
Этим мы и займемся в следующем пункте.

2. Определение производной

Определение 1. Пусть функция у =f(х) определена в конкретной точке х и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу х приращение f(х), такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции Если существует предел этого отношения при условии то указанный предел называют производной функции у = f(х) в точке х и обозначают f'(х).
Итак,

Для обозначения производной часто используют символ у'.
Отметим, что у'=f'(х) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией у = f(x), определенная во всех таких точках х, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у =f(х).
В примере 6 § 31 мы доказали, что для линейной функции у =кх + m справедливо равенство:
Это означает, что у'=к или, подробнее,

В примере 7 § 31 мы доказали, что для функции у = х² справедливо равенство
Это означает, что у'=2х или подробнее,

Рассмотренные в п. 1 задачи 1 и 2 позволяют истолковать производную с физической и геометрической точек зрения.
Физический (механический) смысл производной состоит в следующем. Если s(t) — закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t.

На практике во многих отраслях науки используется обобщение полученного равенства: если некоторый процесс протекает по закону s =s (t), то производная s'(t) выражает скорость протекания процесса в момент времени t.
Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х=а можно провести касательную, непараллельную оси у, то f'(а) выражает угловой коэффициент касательной (рис. 119):

Поскольку к =tga, то верно равенство f'(а) =1tg а (рис. 119).
А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция у = f(х) имеет производную в конкретной точке х:

Это означает, что в достаточно малой окрестности точки х выполняется приближенное равенство:
Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной (в заданной точке х). Например, для функции у = х² справедливо приближенное равенство
Если внимательно прочитать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм отыскания производной. Сформулируем его.

Пример 1. Найти производную постоянной функции у =С.

Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.
1)    Для фиксированного значения х имеем: f (х) = С.

Пример 2. Найти производную функции .
Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.
1)    Для фиксированного значения х (разумеется, мы полагаем, что

Если функция у = f(х) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру отыскания производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x). Эти термины имеют глубокий математический смысл, но мы говорить о них не будем (нам не хватает теоретических знаний).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой те два достаточно тонких свойства функций, которые мы обсудили в этом и в предыдущем параграфах, — непрерывность и дифференцируемость функции в точке.
Пусть функция у = f(х) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х, f(х)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x). Но тогда
график не может «разрываться» в точке М, т.е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем несколько более строгие рассуждения. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство Если в
этом равенстве будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке (см. п. 3 в § 31).

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно. Смотрите: функция У=\х\ непрерывна везде, в частности, в точке х =0 (рис. 120), но касательной к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производной.
А вот еще один пример. На рис. 121 изображен график кусочной функции у = f(х), где

Функция непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х=0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х=0. Но в точке х=0 касательная совпадает с осью у, т.е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х=0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и f'(0).

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируе-мостью. Формальные определения тех или иных свойств функции — дело, конечно, хорошее, но у нас всегда были приемы «считывания информации» о наличии того или иного свойства функции по ее графику. Например, если график был сплошным, мы говорили, что функция непрерывна. А как по графику сделать вывод о дифференцируемости функции?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция недифференцируема. Так, по графику функции, изображенному на рис. 122, можно сделать вывод: функция непрерывна всюду, кроме точки х =а; функция дифференцируема всюду, кроме точек х=а,х=b — здесь касательная не существует, х—с — здесь касательная параллельна оси у.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.