KNOWLEDGE HYPERMARKET


Основные понятия-1 (8 класс)

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Основные понятия-1


Основные понятия


Понятие алгебраической дроби знакомо вам из курса алгебры 7-го класса, где мы довольно много внимания уделили сокращению алгебраических дробей. Теперь настало время специально заняться изучением этого непростого раздела алгебры.

Определение. Алгебраической дробью называют выражение 11-06-1.jpg , где Р и Q — многочлены; Р — числитель алгебраической дроби, Q — знаменатель алгебраической дроби.

Примеры алгебраических дробей:

Алгебраическая дробь

Иногда алгебраическое выражение по форме является алгебраической дробью, а по существу — нет. Так обстоит дело в последних двух из пяти приведенных выше примеров. Действительно, Одночлен— это одночлен (с коэффициентом — 11-06-4.jpg); дробь Дробь можно переписать в виде многочлен,а это уже не алгебраическая дробь, а многочлен (двучлен). Да и в третьем из приведенных примеров после сокращения получается не дробь, а двучлен а - 2. Но, в сущности, это не столь важно, так было и с обыкновенными дробями. Скажем, 11-06-7.jpg по форме — обыкновенная дробь, а по содержанию — натуральное число 2.

Пример 1. Найти значение алгебраической дроби

Алгебраическая дробь

если: а) а = 2, b = 1; б) а = 5, b = 0; в) а = 4, b = 4.

Решение. а) При а = 2, b = 1 получаем

Решение

б) При а = 5, b = 0 получаем

Решение

в) При а = 4, b = 4 выражение а - b обращается в нуль, а потому знаменатель данной дроби обращается в нуль. Но на нуль делить нельзя. Значит, пара значений а = 4, b = 4 является для заданной дроби недопустимой, т. е. числитель алгебраическая дробь в этом случае не имеет знаменатель смысла.

Условимся в дальнейшем, что переменные,  входящие в состав алгебраической дроби, принимают лишь допустимые значения, т. е. такие значения, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.

Замечание. Пример 1 решен правильно, но «некупьтурно». Ведь апгебраическую дробь , Алгебраическая дробь— можно сократить. Напомним, как мы это делали в 7-м классе:

Решение

Согласитесь, что если бы мы начали с сокращения дроби, то все вычисления существенно упростились. Поэтому у математиков как бы выработался рефлекс: если им встретилась алгебраическая дробь, то прежде всего они выясняют, нельзя ли ее сократить.

Пример 2. Лодка прошла 10 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение.


Первый этап. Составление математической модели. Пусть х км/ч — собственная скорость лодки, тогда по течению реки она плывет со скоростью (х + 2) км/ч, а против течения — со скоростью (х - 2) км/ч.

По течению реки, т. е. со скоростью (х + 2) км/ч, лодка прошла путь 10 км. Значит, время, затраченное на этот путь, выражается формулой —Формула.
Против течения реки, т. е. со скоростью (х - 2) км/ч, лодка прошла путь 6 км. Следовательно, время, затраченное на этот путь, выражается формулой —Формула.
По условию задачи на весь путь (т. е. на 10 км по течению и 6 км против течения) суммарно затрачено 2 ч. Итак, получаем Уравнение

Это уравнение — математическая модель задачи.

Второй этап. Работа с составленной моделью. Обратите внимание на левую часть уравнения. Она представляет собой сумму алгебраических дробей. Таким образом, приходим к следующим выводам:

1) алгебраические дроби могут входить в состав той или иной математической модели;

2) надо научиться оперировать с алгебраическими дробями, чтобы, в частности, уметь складывать дроби

Алгебраическая дробь ;
3) пока мы не научимся оперировать с алгебраическими дробями, мы не сможем осуществить второй этап решения задачи — этап работы с составленной моделью.

Придется нам вернуться к этой задаче позднее, когда мы будем готовы довести ее до конца, — это произойдет в § 7.

Итак, теперь вы не сомневаетесь в том, что алгебраические дроби нужны и что мы должны научиться оперировать с ними. Этим и займемся в следующих параграфах.


Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.