Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Основные понятия

                                                        Основные понятия

В § 28 мы ввели понятие линейного уравнения с двумя переменными — так называют равенство ax + by + с = 0, где а, b, с — конкретные числа, причем — переменные (неизвестные).
Примеры линейных уравнений с двумя переменными:
2х - bу + 1 = 0;
х + у - 3 = 0;
s - 5t + 4 = 0
(здесь переменные обозначены по-другому: s, t, — но это роли не играет).

В том же § 28 мы ввели понятие решения линейного уравнения с двумя переменными — так называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ax + by + с = 0 в верное числовое равенство. На первом месте всегда пишут значение переменной х, на втором — значение переменной у.

Приведем примеры:
1. (2; 3) — решение уравнения 5x + Зу - 19 = 0. В самом деле, 5 • 2 + 3 • 3 - 19 = 0 — верное числовое равенство.
2. (-4; 2) — решение уравнения Зх - у + 14 = 0. Действительно, 3 • (-4) -2 + 14 = 0 — верное числовое равенство.
3. — решение уравнения - 0,4а: + Зу + 7 = 0. Имеем:

— верное числовое равенство.
4. (1; 2) не является решением уравнения 2х - Зу + 1 = 0. В самом деле, 2 •1-3 •2 + 1 = 0 — неверное числовое равенство (получается, что -3 = 0).
В § 29 мы отмечали, что математическую модель ах + by + + с = 0 всегда можно заменить более простой: у = kx + m. Например, уравнение Зх - 4у + 12 = 0 можно преобразовать так:

Графиком линейного уравнения ах + by + с = 0 является прямая (см. § 28). Координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению ах + by + с = 0, т. е. являются решением уравнения. Сколько же решений имеет уравнение ах + by + с = 0? Столько же, сколько точек расположено на прямой, служащей графиком уравнения ах + by + с = 0, т. е. бесконечное множество решений.

Многие реальные ситуации при переводе на математический язык оформляются в виде математической модели, состоящей из двух линейных уравнений с двумя переменными. С такой ситуацией мы встретились в § 28 в задаче про двух садоводов Иванова и Петрова:

математическая модель состояла из двух уравнений:
5x - 2у = 0 и 3x + 2у - 16 = 0, причем нас интересовала такая пара значений (х; у), которая одновременно удовлетворяла и тому, и другому уравнению. В таких случаях обычно не говорят, что математическая модель состоит из двух уравнений, а говорят, что математическая модель представляет собой систему уравнений.

Вообще, если даны два линейных уравнения с двумя переменными х и у: a₁x + b₁y + c₁ = 0 и а₂х + b₂y + с₂ = 0 и поставлена задача — найти такие пары значений (х; у), которые одновременно удовлетворяют и тому, и другому уравнению, то говорят, что заданные уравнения образуют систему уравнений.

Уравнения системы записывают друг под другом и объединяют специальным символом — фигурной скобкой:

Пару значений (х; у), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы.

Решить систему — это значит найти все ее решения или установить, что их нет.

Теперь мы можем сказать, что уже встречались с системой линейных уравнений — математическая модель уже упомянутой задачи про садоводов из § 28 выглядела так:

Ее решением была пара (2; 5), т. е. х = 2, у = 5.
Рассмотрим новые примеры.
Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Графиком уравнения х + 2у - 5 = 0 является прямая. Найдем две пары значений переменных х, у, удовлетворяющих этому уравнению. Если у = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 находим: х = 5. Если х = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 находим: у = 2,5. Итак, нашли две точки: (5; 0) и (0; 2,5). Построим на
координатной плоскости хОу прямую, проходящую через эти две точки, — прямая l₁ на рисунке 70.

Графиком уравнения 2х + у + 3 = 0 также является прямая.

Найдем две пары значений переменных х, у, удовлетворяющих этому уравнению. Если у = 0, то из уравнения 2х + ±у + 3 = 0 находим: х = -1,5. Если х — 2,5, то из уравнения 2х + 4у + 3 = 0 находим: 5 + 4у + 3 = 0, и, следовательно, у = -2. Итак, нашли две точки: (-1,5; 0) и (2,5; -2). Построим на координатной плоскости хОу прямую, проходящую через эти две точки, — прямая I₂ на рисунке 70.

Прямые l₁ и I₂ параллельны. Что означает этот геометрический факт для данной системы уравнений? То, что она не имеет решений (поскольку нет точек, удовлетворяющих одновременно и тому, и другому уравнению, т.е. принадлежащих одновременно и той, и другой из построенных прямых I₁ и I₂).

Ответ: система не имеет решений.

Пример 2. Найти два числа, если известно, что их сумма равна 39, а разность равна 11.
Решение. Если х, у — искомые числа, то х + у = 39 и  x - y = 11, причем эти равенства должны одновременно выполняться:

Получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

Можно угадать, чему равны х и у: х = 25, у = 14. Но, во-первых, метод угадывания далеко не всегда применим на практике. А во-вторых, где гарантия, что иного решения нет, может быть, мы просто до него не додумались, не «доугадали».

Можно построить графики уравнений х + у = 39 и х - у = 11, это прямые, причем непараллельные (в отличие от тех, что в примере 1), они пересекаются в одной точке. Эту точку мы уже знаем: (25; 14); значит, это единственная пара чисел, которая нас устраивает, единственное решение системы.

Ответ: 25 и 14.

В примерах 1 и 2 мы применили графический метод решения системы линейных уравнений. Этим же методом мы пользовались в § 28 при решении задачи о числе яблонь у двух садоводов (система B) решена в § 28 графическим методом).

К сожалению, графический метод, как и метод угадывания, не самый надежный. Во-первых, прямые могут просто не уместиться на чертеже. Во- вторых, прямые могут уместиться на чертеже, но пересечься в точке, координаты которой по чертежу не очень легко определить.

Пример 3. Решить систему уравнений:

Решение. Построим графики уравнений системы. Сначала, как это чаще всего мы делаем, преобразуем оба уравнения к виду линейной функции. Из первого уравнения получаем: у = 3x - 5, а из второго: у = 7 - 2х.

Построим в одной системе координат графики линейных функций у = Зx - 5 (прямая l₁ на рис. 71) и у — 7 - 2х (прямая 12 на рис. 71). Они пересекаются в точке А, координаты которой — единственное решение заданной системы. А вот чему конкретно равны абсцисса и ордината точки A, мы по рисунку 71 точно определить не сможем (постройте эти прямые в своих тетрадях в клеточку и убедитесь, что точка А как бы «висит» внутри определенной клеточки). Придется нам позднее вернуться к этому примеру.

Но все-таки графический метод решения системы линейных уравнений имеет большое значение. С его помощью можно сделать следующие важные выводы, графиками обоих уравнений системы (1) являются прямые; эти прямые могут пересекаться, причем только в одной точке, — это значит, что система (1) имеет единственное решение (так было в рассмотренных в этом параграфе системах (2), (4), (5); эти прямые могут быть параллельны — это значит, что система не имеет решений (говорят также, что система несовместна — такой была система (3)); эти прямые могут совпасть — это значит, что система имеет бесконечно много решений (говорят также, что система неопределенна).

Итак, мы познакомились с новой математической моделью (1) — системой двух линейных уравнений с двумя переменными. Наша задача — научиться ее решать. Метод угадывания ненадежен, графический метод также выручает не всегда. Значит, нам нужно располагать надежными алгебраическими методами решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Об этом и пойдет речь в следующих параграфах.

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.