Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Показательная функция, ее свойства и график

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Показательная функция, ее свойства и график


Показательная функция, ее свойства и график


Рассмотрим выражение 2х и найдем его значения при различных рациональных значениях переменной х, например, при х=2;

Задание
Вообще, какое бы рациональное значение мы ни придали переменной х, всегда можно вычислить соответствующее числовое значение выражения 2х. Таким образом, можно говорить о показательной функции у=2х, определенной на множестве Q рациональных чисел:

M102.jpg

Рассмотрим некоторые свойства этой функции.

Свойство 1. M102.jpg — возрастающая функция. Доказательство осуществим в два этапа.
Первый этап. Докажем, что если r — положительное рациональное число, то 2r >1.
Возможны два случая: 1) r — натуральное число, r = n; 2) M103.jpg обыкновенная несократимая дробь, M103.jpg

Задание

В левой части последнего неравенства имеем M105.jpg , а в правой 1. Значит, последнее неравенство можно переписать в виде
M10 6.jpg
Итак, в любом случае выполняется неравенство 2г > 1, что и требовалось доказать.


Второй этап. Пусть x1  и x2рациональные числа, причем x1  и x2 < х2. Составим разность 2х2 -2х1 и выполним некоторые ее преобразования:

Задание
(мы обозначили разность х21 буквой r).

Так как r— положительное рациональное число, то по доказанному на первом этапе 2r > 1, т.е. 2r -1 >0. Число2х' также положительно, значит, положительным является и произведение 2x-1(2Г -1). Тем самым мы доказали, что справедливо неравенство 2Хг -2х' >0.

Итак, из неравенства х1< х2 следует, что 2х' <2x2, а это и означает, что функция у-2х — возрастающая. 


Свойство 2. Функция Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
Ограниченность функции снизу следует из неравенства 2х >0, справедливого для любых значений х из области определения функции. В то же время какое бы положительное число М ни взять, всегда можно подобрать такой показатель х, что будет выполняться неравенство 2х >М — что и характеризует неограниченность функции сверху. Приведем ряд примеров.


Задание
Свойство 3. Функция M108.jpg не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

То, что данная функция не имеет наибольшего значения, очевидно, поскольку она, как мы только что видели, не ограничена сверху. Но снизу она ограничена, почему же у нее нет наименьшего значения?

Предположим, что 2г — наименьшее значение функции (r — некоторый рациональный показатель). Возьмем рациональное число q <г. Тогда в силу возрастания функции у=2х будем иметь 2x <2г. А это значит, что 2r не может служить наименьшим значением функции.  

Все это хорошо, скажете вы, но почему мы рассматриваем функцию у-2х только на множестве рациональных чисел, почему мы не рассматриваем ее, как другие известные функции на всей числовой прямой или на каком-либо сплошном промежутке числовой прямой? Что нам мешает? Обдумаем ситуацию.

Числовая прямая содержит не только рациональные, но и иррациональные числа. Для изученных ранее функций это нас не смущало. Например, значения функции у = х2 мы одинаково легко находили как при рациональных, так и при иррациональных значениях х: достаточно было заданное значение х возвести в квадрат.

А вот с функцией у=2x дело обстоит сложнее. Если аргументу х придать рациональное значение, то в принципе x вычислить можно (вернитесь еще раз к началу параграфа, где мы именно это и делали). А если аргументу х придать иррациональное значение? Как, например, вычислитьM1010.jpg? Этого мы пока не знаем.
Математики нашли выход из положения; вот как они рассуждали.

Известно, что M1011.jpg Рассмотрим последовательность рациональных чисел — десятичных приближений числа M1012.jpg по недостатку:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Ясно, что 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Во избежание подобных повторов отбросим те члены последовательности, которые заканчиваются цифрой 0.

Тогда получим возрастающую последовательность :

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Соответственно возрастает и последовательность

Последовательность
Все члены этой последовательности — положительные числа, меньшие, чем 22, т.е. эта последовательность — ограниченная. Апо теореме Вейерштрасса (см. § 30), если последовательность возрастает и ограничена, то она сходится. Кроме того, из § 30 нам известно, что если последовательность сходится, то только к одному пределу. Этот единственный предел договорились считать значением числового выражения M1014.jpg. И неважно, что найти даже приб-лиженное значение числового выражения 2 очень трудно; важно, что это — конкретное число (в конце концов, мы же не боялись говорить, что, например, Задание — корень рационального уравнения, Задание  корень тригонометрического уравнения, не особенно задумываясь над тем, а что же это конкретно за числа: Задание
Итак, мы выяснили, какой смысл вкладывают математики в символ 2^. Аналогично можно определить, что такое M1018.jpg и вообще, что такое аa, где а — иррациональное число и а > 1.
А как быть в случае, когда 0 <а <1? Как вычислить, например, M1019.jpg ? Самым естественным способом: считать, что Задание свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Теперь мы можем говорить не только о степенях с произвольными рациональными показателями, но и о степенях с произвольными действительными показателями. Доказано, что степени с любыми действительными показателями обладают всеми привычными свойствами степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении — вычитаются, при возведении степени в степень — перемножаются и т.д. Но самое главное, что теперь мы можем говорить о функции у-ах, определенной на множестве всех действительных чисел.
Вернемся к функции у = 2х, построим ее график. Для этого составим таблицу значений функции у=2x:

Таблица


Отметим точки Задание на координатной плоскости (рис. 194), они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 195).

Графики
Свойства функции у - 2 х :
1) M1024.jpg
2)    не является ни четной, ни нечетной; 248
3)    возрастает;
4)    не ограничена сверху, ограничена снизу;
5)    не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6)    непрерывна;
7 ) M1025.jpg
8) выпукла вниз.


Строгие доказательства перечисленных свойств функции у-2х приводят в курсе высшей математики. Часть этих свойств мы в той или иной мере обсудили ранее, часть из них наглядно демонстрирует построенный график (см. рис. 195). Например, отсутствие четности или нечетности функции геометрически связано с отсутствием симметрии графика соответственно относительно оси у или относительно начала координат.

Аналогичными свойствами обладает любая функция вида у=ах, где а >1. На рис. 196 в одной системе координат построены, графики функций у=2х, у=3х, у=5х.

Рассмотрим теперь функцию  M1026.jpg , составим для нее таблицу значений:

Таблица
Отметим точки Задание на координатной плоскости (рис. 197), они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 198).

Графики
Свойства функции M1030.jpg

1 ) M1031.jpg
2)    не является ни четной, ни нечетной;
3)    убывает;
4)    не ограничена сверху, ограничена снизу;
5)    нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6)    непрерывна;
7) M1032.jpg
8)    выпукла вниз.
Аналогичными свойствами обладает любая функция вида у=ах, гдеО <а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций Задание
Обратите внимание: графики функций Задание т.е. у=2х, симметричны относительно оси у (рис. 201). Это — следствие общего утверждения (см. § 13): графики функций у = f(х) и у = f(-х) симметричны относительно оси у. Аналогично будут симметричны относительно оси у графики функций у = 3х и

Графики
Подводя итог сказанному, дадим определение показательной функции и выделим наиболее важные ее свойства.

Определение. Функцию вида Задание называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции у =аx

Таблица


График функции у=ах для а> 1 изображен на рис. 201, а для 0 <а < 1 — на рис. 202.

Кривую, изображенную на рис. 201 или 202, называют экспонентой. На самом деле математики экспонентой обычно .называют саму показательную функцию у=ах. Так что термин "экспонента" используется в двух смыслах: и для наименования показательной функции, и для названия графика показательной функции. Обычно по смыслу бывает ясно, идет речь о показательной функции или о ее графике.

Обратите внимание на геометрическую особенность графика показательной функции у=ах: ось х является горизонтальной асимптотой графика. Правда, обычно это утверждение уточняют следующим образом.
Ось х является горизонтальной асимптотой графика функции


Графики

Иными словами

Задание
Первое важное замечание. Школьники часто путают термины: степенная функция, показательная функция. Сравните:

Задание
 — это примеры степенных функций;
Задание
— это примеры показательных функций.

Вообще, у = хг, где г — конкретное число, — степенная функция (аргумент х содержится в основании степени);
у = а", где а — конкретное число (положительное и отличное от 1), — показательная функция (аргумент х содержится в показателе степени).

Атакую «экзотическую» функцию, как у = х", не считают ни показательной, ни степенной (ее иногда называют показательно-степенной).

Второе важное замечание. Обычно не рассматривают показательную функцию с основанием а = 1 или с основанием а, удовлетворяющим неравенству а <0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0и а Дело в том, что если а = 1, то для любого значения х выполняется равенство Iх = 1. Таким образом, показательная функция у = а" при а = 1 «вырождается» в постоянную функцию у = 1 — это неинтересно. Если а = 0, то 0х = 0 для любого положительного значения х, т.е. мы получаем функцию у = 0, определенную при х >0, — это тоже неинтересно. Если, наконец, а <0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Прежде чем переходить к решению примеров, заметим, что показательная функция существенно отличается от всех функций, которые вы изучали до сих пор. Чтобы основательно изучить новый объект, надо рассмотреть его с разных сторон, в разных ситуациях, поэтому примеров будет много.
Пример 1. Решить уравнения и неравенства:

Задание
Решение, а) Построив в одной системе координат графики функций у = 2х и у = 1, замечаем (рис. 203), что они имеют одну общую точку (0; 1). Значит, уравнение 2х = 1 имеет единственный корень х =0.

Итак, из уравнения 2х =2° мы получили х=0.

б)    Построив в одной системе координат графики функций у = 2х и у=4, замечаем (рис. 203), что они имеют одну общую точку (2; 4). Значит, уравнение 2х =4 имеет единственный корень х=2.

Итак, из уравнения 2х =22 мы получили х=2.

в)    и г) Исходя из тех же соображений, делаем вывод, что уравнение 2х =8 имеет единственный корень, причем для его отыскания графики соответствующих функций можно и не строить;

ясно, что х=3, поскольку 23 =8. Аналогично находим единственный корень уравнения

Графики
Итак, из уравнения 2х = 23 мы получили х = 3, а из уравнения 2х = 2x мы получили х = -4.
д) График функции у = 2х расположен выше графика функции у = 1 при x >0 — это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х > 1 служит промежуток M1045.jpg
е) График функции у = 2x расположен ниже графика функции у = 4 при х<2 — это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток M1046.jpg   
Вы заметили, наверное, что в основе всех выводов, сделанных при решении примера 1, лежало свойство монотонности (возрастания) функции у=2х. Аналогичные рассуждения позволяют убедиться в справедливости следующих двух теорем.

[[Image:M1047.jpg|480px|Теорема

Пример 2. Решить уравнения и неравенства:

Задание
Решение, а) Построив в одной системе координат графики функций Задание, замечаем (рис. 205), что они имеют одну общую точку (0; 1).
Значит, уравнение M1050.jpg  имеет единственный корень х = 0.

Графики


Итак, из уравнения Задание мы получили х = 0.

б) Построив в одной системе координат графики функций M1054.jpg у = 3, замечаем (см. рис. 205), что они имеют одну общую точку (-1; 3). Значит, уравнение Задание  имеет единственный корень х = -1.
Итак, из уравнения Задание  мы получили х = -1.
в) и г) Исходя из тех же соображений, делаем вывод, что уравнение Задание имеет единственный корень, причем для его отыскания графики  соответствующих функций можно и не строить; ясно, что х = - 2, поскольку Задание . Аналогично находим единственный корень уравнения Задание
Итак, из уравнения Задание мы получили х =- 2, а из уравнения Задание мы получили х = 2
д) График функции Задание расположен выше графика функции у = 1 при x <0 — это хорошо читается по рис. 205. Значит, решением неравенства  Задание
е) График функции Задание расположен ниже графика функции у = 3 при х > —1 — это хорошо читается по рис. 205. Значит, решением неравенства Задание
В основе всех выводов, сделанных при решении примера 2, лежало свойство монотонности (убывания) функции Задание. Аналогичные рассуждения позволяют убедиться в справедливости следующих двух теорем.

Теорема
Пример 3. Построить график функции у = 3-3x +2 и найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [-2, 2].

Решение. Можно действовать так: построить график функции у-3х, затем осуществить его растяжение от оси х с коэффициентом 3, а затем полученный график поднять вверх на 2 единицы масштаба. Но удобнее воспользоваться тем, что 3- 3* =3*+1, и, следовательно, строить  график функции у=Зх*1 + 2.

Графики


Перейдем, как неоднократно уже делали в таких случаях, к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 2) — пунктирные прямые х = - 1 и 1x = 2 на рис. 207. «Привяжем» функцию у=3* к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для функции Задание , но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 207). Затем по точкам построим экспоненту — это и будет требуемый график (см. рис. 207).
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке [-2, 2], воспользуемся тем, что заданная функция возрастает, а потому свои наименьшее и наибольшее значения она принимает соответственно в левом и правом концах отрезка.
Итак:

Задание


Пример 4. Решить уравнение и неравенства:

Задание


Решение, а) Построим в одной системе координат графики функций у=5* и у=6-х (рис. 208). Они пересекаются в одной точке; судя по чертежу, это — точка (1; 5). Проверка показывает, что на самом деле точка (1; 5) удовлетворяет и уравнению у = 5*, и уравнению у=6-х. Абсцисса этой точки служит единственным корнем заданного уравнения.

Итак, уравнение 5х = 6- х имеет единственный корень х = 1.

б) и в) Экспонента у- 5х лежит выше прямой у=6-х, если х>1, — это хорошо видно на рис. 208. Значит, решение неравенства5*>6-х можно записать так: х>1. А решение неравенства 5х <6 - х можно записать так: х < 1.
Ответ: а)х = 1; б)х>1; в)х<1.


График


Пример 5. Дана функция Задание  Доказать, что Задание
Решение. По условию Задание Имеем:

Задание

Графики


Пример 6. Решить уравнение:Задание
Решение. Положим Задание   Заметим, что функция у = f(х)убывает, а функция у =g(х) возрастает. Воспользуемся известным фактом: если функция у = f(х)убывает, а функция у = g(х)возрастает, и если уравнение f()=g(x) имеет корень, то только один. Нетрудно догадаться, что заданное уравнение имеет корень х = 1: подставив значение х = 1 в заданное уравнение, получим Задание верное числовое равенство.
Так как функция Задание  убывает, а функция у = 2x возрастает, то корень у заданного уравнения только один, и этим корнем является найденное выше значение х = 1 (рис. 209).

Ответ: x = 1.


А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс


Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.