Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Предел числовой последовательности

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Предел числовой последовательности


§ 30. Предел числовой последовательности


1. Определение предела последовательности


Рассмотрим две числовые последовательности

Числовые последовательности
Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой (рис. 99 для (yn) и рис. 98 для (хп)). Замечаем, что члены второй последовательностип) как бы "сгущаются" около точки 0, а у первой последовательности (уп) такой «точки сгущения» нет. В подобных случаях математики говорят так: последовательность (хп) сходится, а последовательность (у п) расходится.

Числовые последовательности
Возникает естественный вопрос: как узнать, является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности. Чтобы ответить на этот вопрос, введем новый математический термин.
Определение 1. Пусть а — точка прямой, а г— положительное число. Интервал (а-г,а + г) называют окрестностью точки а (рис. 100), а число г— радиусом окрестности.

Числовые последовательности
Например, (5,98, 6,02) — окрестность точки 6, причем радиус этой окрестности равен 0,02.
Теперь мы можем ответить на поставленный выше вопрос. Но сразу уточним: математики не любят термин «точка сгущения для членов заданной последователь^ ности», они предпочитают использовать термин «предел последовательности».
Определение 2. Число Ь называют пределом последовательности (уп), если в любой заранее выбранной окрестности точки Ь содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Пишут либо так: Alga591.jpg (читают: уп стремится к Ь или уп сходится к Ъ), либо так: Alga592.jpg (читают: предел последовательности уп при стремлении п к бесконечности равен Ъ; но обычно слова «при стремлении п к бесконечности» опускают).
Дадим несколько пояснений к определению 2. Пусть Alga592.jpg
Возьмем интервал Alga593.jpg т.е. окрестность точки Ь; г, — радиус этой окрестности(/\ >0). Существует номер п, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности:


Числовые последовательности


А что будет, если взять интервал Интервал т.е. если уменьшить радиус окрестности? Опять найдется номер п2, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше, т.е. п2 >п1.
Замечание. Если число Ь — предел последовательности (у„), то, образно выражаясь, окрестность точки Ь — это «ловушка» для последовательности: начиная с некоторого номера п0 эта ловушка «заглатывает»
и все последующие члены последовательности. Чем «тоньше» ловушка, т.е. чем меньшая выбирается окрестность, тем дольше «сопротивляется» последовательность, но потом все равно «подписывает акт о капитуляции» — попадает в выбранную окрестность.
Пример 1. Дана последовательность (y„):

Числовые последовательности
Решение. Возьмем любую окрестность точки 0, пусть ее радиус равен г (рис. 101). Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число n
так, чтобы выполнялось неравенство Alga597.jpg Если, например, г = 0,001, то в качестве п0 можно взять 1001, поскольку Задание то в качестве n0 можно взять 5774, поскольку Задание  и т.д. Но это значит, что член последовательности у с номером n0, т.е. уп , попадает в выбранную окрестность точкн 0. Тем более в этой окрестности будут находиться все последующие члены заданной убывающей
последовательности Alga61.jpg. В соответствии с определением 2 это и означает, что

Задание
Пример 2. Найтн предел последовательности:

Числовые последовательности

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, последовательность сходится к 0:

Числовые последовательности
Результат: полученный в примере 2, является частным случаем более общего утверждения:

Числовые последовательности
А что будет с последовательностью Alga66.jpg Пусть, например, q =2, т.е. речь идет о последовательности 2, 22, 23, 24, ..., 22, ... Эта последовательность явно не имеет предела (нет «точки сгущения»). Вообще, справедливо утверждение: Alga67.jpg
Пример 3. Найти предел последовательности: Числовые последовательности
Решение. Выполним некоторые преобразования выражения

Задание
Это значит, в частности, что

Задание
и т.д., а потому заданную последовательность можно переписать так:

Числовые последовательности
Теперь ясно, что «точкой сгущения» является 2; иными словами, последовательность сходится к числу 2:

Числовые последовательности
А теперь обсудим результаты, полученные в примерах 1—3, с геометрической точки зрения. Для этого построим графики последовательностеи

Числовые последовательности

График первой из этих трех функций изображен на рис. 97. Он состоит из точек с абсциссой 1, 2, 3, 4, ..., лежащих на ветви гиперболы

График функций

У второй функции аргумент х содержится в показателе степени, поэтому такую функцию называют показательной. На рис. 102 изображен график функции Функции
Он состоит из точек с абсциссами 1, 2, 3, ..., лежащих на некоторой кривой, — ее называют зкс-понентой. Подробнее о показательной функции и ее графике речь пойдет в главе 7.
Осталось рассмотреть третью функцию. Сначала надо построить график функции Числовые последовательности
Графиком этой функции является гипербола, которая получается из гиперболы Alga617.jpg сдвигом на 1 влево по оси х и на 2 вверх по оси у (рис. 103).
Теперь мы имеем представление о графике последовательности Формула Он состоит из точек с абсциссами 1, 2, 3, 4, ..., лежащих на правой ветви гиперболы (рис. 104).

График
Замечаете ли вы кое-что общее в характере трех построенных графиков последовательностей (см. рис. 97,102 и 104)? Смотрите: на всех трех рисунках точки графика, по мере их ухода вправо, все ближе и ближе подходят к некоторой горизонтальной прямой: на рис. 97 — к прямой у = 0, на рис. 102 — к прямой у= 0, на рис. 104 — к прямой у = 2. Каждую из этих прямых называют горизонтальной асимптотой графика.
Подведем итоги. Имеем:

Формула и прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой графика функции Alga621.jpg
Формула и прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой графика функции Alga623.jpg
Формула и прямая у = 2 является горизонтальной асимптотой графика функции Формула
Вообще, равенство Alga626.jpg означает, что прямая у =b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(п) (рис. 105).

График
На практике используется еще одно истолкование равенства

Формула
связанное с приближенными вычислениями: если последовательность уп = f(n) сходится к числу Ъ, то выполняется приближенное равенство f(п) = Ь, причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше

 2. Свойства сходящихся последовательностей
Сходящиеся последовательности обладают рядом интересных свойств. Формальные доказательства этих свойств — прерогатива вузовского курса высшей математики. Основаны доказательства на формализованном варианте данного выше определения 2 (этот вариант определения — опять-таки прерогатива курса высшей математики). Мы дадим лишь формулировки свойств.
Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.
Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограниченна.
Заметим, что обратное утверждение неверно: например, 1, 2, 3, 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,... — ограниченная последовательность, но она не сходится.
Оказывается, если последовательность не только ограниченна, но и монотонна (убывает или возрастает), то она обязательно сходится; это доказал в XIX в. немецкий математик Карл Вейерштрасс.
Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится (теорема Вейерштрасса).
Приведем классический пример из геометрии, в котором используется теорема Вейерштрасса. Возьмем окружность и будем последовательно вписывать в нее правильные многоугольники: 4-угольник, 8-угольник, 16-угольник и т.д. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограниченна (снизу числом 0, а сверху, например, числом, выражающим площадь описанного около окружности квадрата). Значит, построенная последовательность сходится, ее предел принимается за площадь круга. Именно с помощью таких рассуждений и получена в математике формула площади круга 5 = пг2 (установлено, что пг2 — предел последовательности площадей вписанных в окружность радиуса г правильных многоугольников).
3.    Вычисление пределов последовательностей
К установленным ранее двум важным результатам:

Формула
Иными словами, предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности.
Для вычисления пределов последовательностей в более сложных случаях используются указанные соотношения и следующая теорема.


Теорема

Пример 4. Найти пределы последовательностей:

Задание
Решение.а) Имеем:Формула Применив правило « предел произведения», получим:

Задание
б) Рассуждая, как в п. а), получим: Alga634.jpg
в)Имеем: Alga635.jpg
Вообще, для любого натурального показателя k и любого коэффициента к справедливо соотношение:

Alga636.jpg
г) Применив правило «предел суммы», получим: Задание
Пример 5. Даны числа Задание
Решение. Прежде всего воспользуемся тем, что постоянный множитель Множитель можно вынести за знак предела. Получим:

Задание

Пример 6. Вычислить Задание
Решение.В подобных случаях применяют искусственный прием: делят и числитель, и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной п. В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби почленно на n2. Получим:

Задание
Далее воспользуемся правилом «предел частного». Поскольку предел числителя равен 2 + 0=2, а предел знаменателя равен 1-0 = 1, то предел дроби равен

Задание
4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию: Alga644.jpg
Будем последовательно вычислять суммы двух, трех, четырех и т.д. членов прогрессии:

Задание

Получилась последовательность Alga646.jpg Как всякая числовая последовательность, она может сходиться или расходиться. Если последовательность 5„ сходится к пределу 5, то число 8 называют суммой геометрической прогрессии (обратите внимание: не суммой п членов геометрической прогрессии, а суммой геометрической прогрессии). Если же эта последовательность расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят, хотя о сумме п членов геометрической прогрессии можно, разумеется, говорить и в этом случае.
Предположим, что знаменатель q геометрической прогрессии удовлетворяет неравенству Alga647.jpg
Напомним формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии: если Задание
В примере 5 мы установили, что Формула  мы назвали выше суммой геометрической прогрессии. Таким образом, мы доказали следующее утверждение:

Alga650.jpg
Пример 7. Найти сумму геометрической прогрессии:

Задание
Решение. Имеем: Задание Поскольку знаменатель прогрессии удовлетворяет неравенству |q|< 1, мы имеем право воспользоваться только  что полученной формулой

Задание

Ответ: S = 8.
Пример 8. Сумма геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадратов ее членов 40,5. Найти пятый член прогрессии.
Решение. Первый этап. Составление математической модели. Дана геометрическая прогрессия:

Геометрическая прогрессия

Последовательность Alga655.jpg также является геометрической прогрессией: ее первый член равен Alga656.jpg знаменатель равен q2, а сумма вычисляется по формуле Формула

По условию эта сумма равна 40,5. Таким образом, получаем уравнение Формула
В итоге задача сводится к решению системы уравнений относительно переменных b1 и q:

Формула
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Для решения системы используем метод подстановки: выразим из первого уравнения переменную b1 Получим b, = 9 (1 - q). Подставим это выражение вместо Ь, во второе уравнение системы. Получим:

Формула
Далее последовательно находим:

Задание
Третий этап. Ответ на вопрос задачи. По условию требуется найти

Задание


А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс




Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.