Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Преобразование выражений, содержащих радикалы

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Преобразование выражений, содержащих радикалы


§ 42. Преобразование выражений, содержащих радикалы


В 7-м и 8-м классах вы выполняли преобразования рациональных выражений, используя для этого правила действий над многочленами и алгебраическими дробями, формулы сокращенного умножения и т.д. В 8-м классе вы изучили новую операцию — операцию извлечения квадратного корня из неотрицательного числа и, используя свойства квадратных корней, выполняли преобразования выражений, содержащих квадратные корни. В предыдущих параграфах мы познакомились с операцией извлечения корня п-й степени из действительного числа, изучили свойства этой операции, а именно (для неотрицательных значений а и b):


Задание


Используя эти формулы, можно осуществлять преобразования выражений, содержащих операцию извлечения корня (выражений с радикалами), — такие выражения называют иррациональными. Рассмотрим несколько примеров на преобразования иррациональных выражений.
Пример 1. Упростить выражения: Задание

Решение: а) Представим подкоренное выражение 32а5 в виде 16- а4- 2а и воспользуемся формулой (2); получим: Задание
Полученное выражение считается более простым, чем заданное, поскольку под знаком корня содержится более простое выражение. Подобное преобразование называют вынесением множителя за знак радикала.
б) Воспользовавшись формулой (4), получим:

Задание
Представим подкоренное выражение а10 в виде а9 -а и воспользуемся формулой (2); получим:

Задание
Как видите, и здесь удалось вынести множитель за знак радикала.


Вспомните формулу Формула которую вы изучали в курсе алгебры 8-го класса. Она обобщается на случай любого четного показателя корня Формула
Эту формулу следует иметь в виду в тех случаях, когда нет уверенности в том, что переменные принимают только неотрицательные значения. Например, вынося множитель за знак корня в выражении A1062.jpg, следует (если о знаке числа х ничего не известно) рассуждать так:

Задание
Наряду с вынесением множителя за знак радикала в необходимых случаях используется и преобразование, так сказать, противоположной направленности: внесение множителя под знак радикала. Это преобразование мы используем в следующих двух примерах.
Пример 2. Сравнить числа Задание
Решение. Имеем:

Задание

Пример 3. Упростить выражение A1066.jpg
Решение. Сначала внесем множитель х1 под знак корня 3-й степени:

Задание
Теперь заданное выражение можно записать так: A1068.jpg
Воспользовавшись формулой (5), мы можем последнее выражение записать в виде

Задание
Пример 4. Выполнить действия:

Задание
Решение: а) Здесь можно применить формулу сокращенного умножения «разность квадратов»:

Задание
Воспользовавшись формулой (6), разделим в каждом из полученных радикалов показатели корня и подкоренного выражения на 2; это существенно упростит запись:

Задание

б) Здесь можно применить формулу сокращенного умножения «разность кубов»:

Задание
Пример 5. Выполнить действия:

Задание
Решение: а) Поскольку перемножать можно корни только одной и той же степени, начнем с уравнивания показателей у имеющихся радикалов. Для этого дважды воспользуемся формулой (6):

Задание
А теперь воспользуемся формулой (2):

Задание
Осталось вынести множитель за знак радикала:

Задание
б) Первый способ. Преобразуем первый множитель в корень 4-й степени:

Задание
Второй способ. Сначала поработаем с подкоренным выражением во втором множителе. Имеем:

Задание
Разделив показатели корня и подкоренного выражения на 2, получим: A1080.jpg (формулой (6) мы здесь имеем право пользоваться, поскольку подкоренное выражение A1080.jpg — положительное число). Осталось выполнить умножение квадратных корней:

Задание
Пример 6. Разложить на множители: Задание

Решение. Заданное выражение можно переписать следующим образом: A1083.jpg
Теперь видно, что это — полный квадрат, квадрат разности выражений A1084.jpg
Окончательно получаем:

Задание
Пример 7. Сократить дробь Задание
Решение. Первый способ. Знаменатель дроби можно преобразовать следующим образом:

Задание
Значит, есть резон представить числитель как «разность квадратов»:

Задание
Далее, имеем:

Задание
Второй способ. Введем новые переменные:

Задание

Что дала нам замена переменных? Она позволила заменить иррациональное выражение (с переменными х и у) рациональным выражением (с переменными а и b). А оперировать с рациональными выражениями намного проще, чем с иррациональными. Имеем:
Задание


А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс




Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.