Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Приближенные значения действительных чисел

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Приближенные значения действительных чисел


Приближенные значения действительных чисел

И в 7-м и в 8-м классе мы часто решали уравнения графически. Заметили ли вы, что практически во всех таких примерах уравнения имели «хорошие» корни? Это были целые числа, которые без труда отыскивались с помощью графиков, особенно на клетчатой бумаге. Но так бывает далеко не всегда, просто мы до сих пор подбирали «хорошие» примеры.

Рассмотрим два уравнения: 14-06-154.jpg = 2 - х и 14-06-154.jpg = 4 - х. Первое уравнение имеет единственный корень х = 1, поскольку графики функций у =14-06-154.jpg и у = 2 - х пересекаются в одной точке А (1; 1) (рис. 112). Во втором случае графики функций 14-06-154.jpg— фс и у = 4 - х также пересекаются в одной точке В (рис. 113), но с «плохими» координатами. Пользуясь чертежом, можно сделать вывод, что абсцисса точки В примерно равна 2,5. В подобных случаях говорят не о точном, а о приближенном решении уравнения и пишут так:14-06-155.jpg

Графики
Это одна из причин, по которым математики решили ввести понятие приближенного значения действительного числа. Есть и вторая причина, причем, может быть, даже более важная.Что такое действительное число? Это бесконечная десятичная дробь. Но производить вычисления с бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому на практике пользуются приближенными значениями действительных чисел. Например, для числа 14-06-157.jpg пользуются приближенным равенством 14-06-158.jpg3,141 или 14-06-158.jpg 3,142. Первое называют приближенным значением (или приближением) числа п по недостатку с точностью до 0,001; второе называют приближенным значением (приближением) числа к по избытку с точностью до 0,001. Можно взять более точные приближения: например, 14-06-158.jpg3,1415 — приближение по недостатку с точностью до 0,0001;14-06-158.jpg 3,1416 — приближение по избытку с точностью до 0,0001. Можно взять менее точные приближения, скажем, с точностью до 0,01: по недостатку 14-06-158.jpg 3,14, по избытку 14-06-158.jpg 3,15.

Знак приближенного равенства » вы использовали и в курсе математики 5—6-го классов и, вероятно, в курсе физики, да и мы пользовались им раньше, например в § 27.

Пример 1. Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел:

Пример

Решение,

а) Мы знаем, что 14-06-160.jpg = 2,236... (см. § 27), следовательно, 14-06-160.jpg 14-06-163.jpg 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 14-06-160.jpg 14-06-163.jpg 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01.
б) 2 +14-06-160.jpg = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + 14-06-160.jpg14-06-163.jpg 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + 14-06-160.jpg14-06-163.jpg 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01.
в) Имеем 14-06-164.jpg 14-06-163.jpg 0,31818... (см. § 26). Таким образом, 14-06-164.jpg 14-06-163.jpg 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 14-06-164.jpg 14-06-163.jpg 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01.
Приближение по недостатку и приближение по избытку называют иногда округлением натуральные числа.

Определение.Погрешностью приближения (абсолютной погрешностью) называют модуль разности между точным значением величины х и ее приближенным значением а: погрешность приближения — это | х - а |.
Например, погрешность приближенного равенства 14-06-165.jpg выражается как 14-06-166.jpg или соответственно как 14-06-167.jpg,
Возникает чисто практический вопрос: какое приближение лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного числа, для которого составляются приближения. Обычно при округлении положительных чисел пользуются следующим правилом:

Правило округления

Применим это правило ко всем рассмотренным в этом параграфе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближения, для которых погрешность окажется наименьшей.

1) 14-06-169.jpg = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем 14-06-158.jpg3,142; здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте после запятой), поэтому взяли приближение по избытку.

С точностью до 0,0001 имеем 14-06-158.jpg 3,1416 — и здесь взяли приближение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на пятом месте после запятой) равна 9. А вот с точностью до 0,01 надо взять приближение по недостатку: 14-06-158.jpg 3,14.

2)14-06-160.jpg = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем 14-06-160.jpg 14-06-163.jpg 2,24 (приближение по избытку).
3) 2 + 14-06-160.jpg = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + 14-06-160.jpg 14-06-163.jpg4,24 (приближение по избытку).
4) 14-06-162.jpg = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем 14-06-162.jpg 14-06-163.jpg 0,318 (приближение по недостатку).
Рассмотрим последний пример подробнее. Возьмем укрупненный фрагмент координатной прямой (рис. 114).

Пример

Точка 14-06-162.jpg принадлежит отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка не превосходят длины отрезка. Расстояния точки 14-06-162.jpg от концов отрезка равны соответственно Решение отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, Решение и Решение
Итак, в обоих случаях (и для приближения числа 14-06-162.jpg по недостатку, и для приближения его по избытку) погрешность не превосходит 0,001.

До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использовании терминологии.

Если а — приближенное значение числа х и Задание, тo говорят, что погрешность приближения не превосходит h или что число х равно числу а с точностью до h.

Почему же важно уметь находить приближенные значения чисел? Дело в том, что практически невозможно оперировать с бесконечными десятичными дробями и использовать их для измерения величин. На практике во многих случаях вместо точных значений берут приближения с заранее заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа (за редким исключением, когда выводимое число представляет собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране).

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Сборник конспектов уроков по математике скачать, календарно-тематическое планирование, учебники по всем предметам онлайн

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.