Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Решение квадратных неравенств

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Решение квадратных неравенств


Решение квадратных неравенств


Квадратным неравенством называют неравенство вида ах2 + bх + 0 0, где 15-06-1.jpg (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства). Всеми необходимыми для решения таких неравенств фактами теории мы с вами располагаем, в чем сейчас и убедимся.

Пример 1. Решить неравенство:

а) х2 - 2х - 3 >0;                        б) х2 - 2х - 3 < 0;
в) х2 - 2х - 3 > 0;                       г) х2 - 2х - 3 < 0.
Решение,

а) Рассмотрим параболу у = х2 - 2х - 3, изображенную на рис. 117.

Парабола

Решить неравенство х2 - 2х - 3 > 0 — это значит ответить на вопрос, при каких значениях х ординаты точек параболы положительны.

Замечаем, что у > 0, т. е. график функции расположен выше оси х, при х < -1 или при х > 3.

Значит, решениями неравенства служат все точки открытого луча (-00, - 1), а также все точки открытого луча (3, +00).

Используя знак U (знак объединения множеств), ответ можно записать так: (—00, - 1) U (3, +00). Впрочем, ответ можно записать и так: х < - 1; х > 3.

б) Неравенство х2 - 2х - 3 < 0, или у < 0, где у = х2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: график расположен ниже оси х, если -1 < х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (— 1, 3).

в) Неравенство х2 - 2х - 3 > 0 отличается от неравенства х2 - 2х - 3 > 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения х2 - 2х - 3 = 0, т. е. точки х = -1

и х = 3. Таким образом, решениями данного нестрогого неравенства являются все точки луча (-00, - 1], а также все точки луча [3, +00).

г) Неравенство х2 - 2х - 3 < 0 отличается от неравенства х2 - 2х - 3 < 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения х2 - 2х - 3 = 0, т. е. х = -1 и х = 3. Следовательно, решениями данного нестрогого неравенства служат все точки отрезка [-1, 3].

Практичные математики обычно говорят так: зачем нам, решая неравенство ах2 + bх + с > 0, аккуратно строить параболу график квадратичной функции

у = ах2 + bх + с (как это было сделано в примере 1)? Достаточно сделать схематический набросок графика, для чего следует лишь найти корни квадратного трехчлена (точки пересечения параболы с осью х) и определить, куда направлены ветви параболы — вверх или вниз. Этот схематический набросок даст наглядное истолкование решению неравенства.

Пример 2. Решить неравенство - 2х2 + Зх + 9 < 0.
Решение.

1) Найдем корни квадратного трехчлена - 2х2 + Зх + 9: х1 = 3; х2 = - 1,5.

2) Парабола, служащая графиком функции у = -2х2 + Зх + 9, пересекает ось х в точках 3 и - 1,5, а ветви параболы направлены вниз, поскольку старший коэффициент — отрицательное число - 2. На рис. 118 представлен набросок графика.

Парабола

3) Используя рис. 118, делаем вывод: у < 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Ответ: х < -1,5;       х > 3.

Пример 3. Решить неравенство 4х2 - 4х + 1 < 0.
Решение.

1) Из уравнения 4х2 - 4х + 1 = 0 находим 15-06-4.jpg.

2) Квадратный трехчлен имеет один корень 15-06-5.jpg; это значит, что парабола, служащая графиком квадратного трехчлена, не пересекает ось х, а касается ее в точке 15-06-5.jpg. Ветви параболы направлены вверх (рис. 119.)

Парабола

3) С помощью геометрической модели, представленной на рис. 119, устанавливаем, что заданное неравенство выполняется только в точке 15-06-5.jpg, поскольку при всех других значениях х ординаты графика положительны.
Ответ: 15-06-5.jpg.
Вы, наверное, заметили, что фактически в примерах 1, 2, 3 использовался вполне определенный алгоритм решения квадратных неравенств, оформим его.


Алгоритм решения квадратного неравенства ах2 + bх + 0 0 (ах2 + bх + с < 0)

Алгоритм решения квадратного неравенства


На первом шаге этого алгоритма требуется найти корни квадратного трехчлена. Но ведь корни могут и не существовать, что же делать? Тогда алгоритм неприменим, значит, надо рассуждать как-то по-другому. Ключ к этим рассуждениям дают следующие теоремы.

Теорема

Иными словами, если D < 0, а > 0, то неравенство ах2 + bх + с > 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах2 + bх + с < 0 не имеет решений.
Доказательство. Графиком функции у = ах2 + bх +  с является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку а > 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у  квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 120. Видим, что при всех х график расположен выше оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах2 + bх + с > 0, что и требовалось доказать.

Теорема

Иными словами, если D < 0, а < 0, то неравенство ах2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах2 + bх + с > 0 не имеет решений.

Парабола

Доказательство. Графиком функции у = ах2 + bх +с является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку а < 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Пример 4. Решить неравенство:

а) 2х2 - х + 4 >0;           б) -х2+ Зх - 8 >0.

Решение,

а) Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2х2 - х + 4. Имеем D = (-1)2 - 4 • 2 • 4 = - 31 < 0.
Старший коэффициент трехчлена (число 2) положителен.

Значит, по теореме 1, при всех х выполняется неравенство 2x2 - х + 4 > 0, т. е. решением заданного неравенства служит вся числовая прямая (-00, + 00).

б) Найдем дискриминант квадратного трехчлена - х2 + Зх - 8. Имеем D = З2 - 4 • (- 1) • (- 8) = - 23 < 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство — х2 + Зх — 8 15-06-11.jpg 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Ответ:     а) (-00, + 00);          б) нет решений.

В следующем примере мы познакомимся еще с одним способом рассуждений, который применяется при решении квадратных неравенств.

Пример 5. Решить неравенство Зх2 - 10х + 3 < 0.
Решение. Разложим квадратный трехчлен Зx2 - 10x + 3 на множители. Корнями трехчлена являются числа 3 и 15-06-12.jpg, поэтому воспользовавшись формулой ах2 + bх + с = а (х - x1)(x - х2),получим Зx2 - 10х + 3 = 3(х - 3) (х - 15-06-12.jpg)
Отметим на числовой прямой корни трехчлена: 3 и 15-06-12.jpg (рис. 122).

Числовая прямая

Пусть х > 3; тогда x-3>0 и x-15-06-12.jpg>0, а значит, и произведение 3(х - 3)( х - 15-06-12.jpg) положительно. Далее, пусть 15-06-12.jpg < х < 3; тогда x-3< 0, а х-15-06-12.jpg >0. Следовательно, произведение 3(х-3)(х-15-06-12.jpg) отрицательно. Пусть, наконец, х <15-06-12.jpg; тогда x-3< 0 и x-15-06-12.jpg < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)( x -15-06-12.jpg) положительно.

Подводя итог рассуждениям, приходим к выводу: знаки квадратного трехчлена Зx2 - 10х + 3 изменяются так, как показано на рис. 122. Нас же интересует, при каких х квадратный трехчлен принимает отрицательные значения. Из рис. 122 делаем вывод: квадратный трехчлен Зx2 - 10х + 3 принимает отрицательные значения для любого значения х из интервала (15-06-12.jpg, 3)
Ответ  (15-06-12.jpg, 3), или 15-06-12.jpg < х < 3.

Замечание. Метод рассуждений, который мы применили в примере 5, обычно называют методом интервалов (или методом промежутков). Он активно используется в математике для решения рациональных неравенств. В 9-м классе мы изучим метод интервалов более детально.

Пример 6. При каких значениях параметра р квадратное уравнение х2 - 5х + р2 = 0:
а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет -корней?

Решение. Число корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта D. В данном случае находим D = 25 - 4р2.

а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D>0, значит, задача сводится к решению неравенства 25 - 4р2 > 0. Умножим обе части этого неравенства на -1 (не забыв изменить при этом знак неравенства). Получим равносильное неравенство 4р2 - 25 < 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Знаки выражения 4(р - 2,5) (р + 2,5) указаны на рис. 123.

Знаки выражения

Делаем вывод, что неравенство 4(р - 2,5)(р + 2,5) < 0 выполняется для всех значений р из  интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

б) квадратное уравнение имеет один корень, если D — 0.
Как мы установили выше, D = 0 при р = 2,5 или р = -2,5.

Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет только один корень.

в) Квадратное уравнение не имеет корней, если D < 0. Решим неравенство 25 - 4р2 < 0.

Получаем 4р2 - 25 > 0;  4 (р-2,5)(р + 2,5)>0, откуда (см. рис. 123) р < -2,5; р > 2,5. При этих значениях параметра р данное квадратное уравнение не имеет корней.

Ответ: а) при р 15-06-15.jpg (-2,5, 2,5);

          б) при р = 2,5 илир = -2,5;
          в) при р < - 2,5 или р > 2,5.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Помощь школьнику онлайн, Математика для 8 класса скачать, календарно-тематическое планирование


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.