Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Решение квадратных неравенств

Решение квадратных неравенств

Квадратным неравенством называют неравенство вида ах² + bх + 0 0, где (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства). Всеми необходимыми для решения таких неравенств фактами теории мы с вами располагаем, в чем сейчас и убедимся.

Пример 1. Решить неравенство:

а) х² - 2х - 3 >0;                        б) х² - 2х - 3 < 0;
в) х² - 2х - 3 > 0;                       г) х² - 2х - 3 < 0.
Решение,

а) Рассмотрим параболу у = х² - 2х - 3, изображенную на рис. 117.

Решить неравенство х² - 2х - 3 > 0 — это значит ответить на вопрос, при каких значениях х ординаты точек параболы положительны.

Замечаем, что у > 0, т. е. график функции расположен выше оси х, при х < -1 или при х > 3.

Значит, решениями неравенства служат все точки открытого луча (-₀₀, - 1), а также все точки открытого луча (3, ₊₀₀).

Используя знак U (знак объединения множеств), ответ можно записать так: (_—00, - 1) U (3, ₊₀₀). Впрочем, ответ можно записать и так: х < - 1; х > 3.

б) Неравенство х² - 2х - 3 < 0, или у < 0, где у = х² - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: график расположен ниже оси х, если -1 < х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (— 1, 3).

в) Неравенство х² - 2х - 3 > 0 отличается от неравенства х² - 2х - 3 > 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения х² - 2х - 3 = 0, т. е. точки х = -1

и х = 3. Таким образом, решениями данного нестрогого неравенства являются все точки луча (_-00, - 1], а также все точки луча [3, ⁺⁰⁰).

г) Неравенство х² - 2х - 3 < 0 отличается от неравенства х² - 2х - 3 < 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения х² - 2х - 3 = 0, т. е. х = -1 и х = 3. Следовательно, решениями данного нестрогого неравенства служат все точки отрезка [-1, 3].

Практичные математики обычно говорят так: зачем нам, решая неравенство ах² + bх + с > 0, аккуратно строить параболу график квадратичной функции

у = ах² + bх + с (как это было сделано в примере 1)? Достаточно сделать схематический набросок графика, для чего следует лишь найти корни квадратного трехчлена (точки пересечения параболы с осью х) и определить, куда направлены ветви параболы — вверх или вниз. Этот схематический набросок даст наглядное истолкование решению неравенства.

Пример 2. Решить неравенство - 2х² + Зх + 9 < 0.
Решение.

1) Найдем корни квадратного трехчлена - 2х² + Зх + 9: х₁ = 3; х₂ = - 1,5.

2) Парабола, служащая графиком функции у = -2х² + Зх + 9, пересекает ось х в точках 3 и - 1,5, а ветви параболы направлены вниз, поскольку старший коэффициент — отрицательное число - 2. На рис. 118 представлен набросок графика.

3) Используя рис. 118, делаем вывод: у < 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Ответ: х < -1,5;       х > 3.

Пример 3. Решить неравенство 4х² - 4х + 1 < 0.
Решение.

1) Из уравнения 4х² - 4х + 1 = 0 находим .

2) Квадратный трехчлен имеет один корень ; это значит, что парабола, служащая графиком квадратного трехчлена, не пересекает ось х, а касается ее в точке . Ветви параболы направлены вверх (рис. 119.)

3) С помощью геометрической модели, представленной на рис. 119, устанавливаем, что заданное неравенство выполняется только в точке , поскольку при всех других значениях х ординаты графика положительны.
Ответ: .
Вы, наверное, заметили, что фактически в примерах 1, 2, 3 использовался вполне определенный алгоритм решения квадратных неравенств, оформим его.

Алгоритм решения квадратного неравенства ах² + bх + 0 0 (ах² + bх + с < 0)

На первом шаге этого алгоритма требуется найти корни квадратного трехчлена. Но ведь корни могут и не существовать, что же делать? Тогда алгоритм неприменим, значит, надо рассуждать как-то по-другому. Ключ к этим рассуждениям дают следующие теоремы.

Иными словами, если D < 0, а > 0, то неравенство ах² + bх + с > 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах² + bх + с < 0 не имеет решений.
Доказательство. Графиком функции у = ах² + bх +  с является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку а > 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у  квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 120. Видим, что при всех х график расположен выше оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах² + bх + с > 0, что и требовалось доказать.

Иными словами, если D < 0, а < 0, то неравенство ах² + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах² + bх + с > 0 не имеет решений.

Доказательство. Графиком функции у = ах² + bх +с является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку а < 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах² + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Пример 4. Решить неравенство:

а) 2х² - х + 4 >0;           б) -х²+ Зх - 8 >0.

Решение,

а) Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2х² - х + 4. Имеем D = (-1)² - 4 • 2 • 4 = - 31 < 0.
Старший коэффициент трехчлена (число 2) положителен.

Значит, по теореме 1, при всех х выполняется неравенство 2x² - х + 4 > 0, т. е. решением заданного неравенства служит вся числовая прямая (_-00, _{+ 00}).

б) Найдем дискриминант квадратного трехчлена - х² + Зх - 8. Имеем D = З2 - 4 • (- 1) • (- 8) = - 23 < 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х² + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство — х² + Зх — 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Ответ:     а) (_-00, _{+ 00});          б) нет решений.

В следующем примере мы познакомимся еще с одним способом рассуждений, который применяется при решении квадратных неравенств.

Пример 5. Решить неравенство Зх² - 10х + 3 < 0.
Решение. Разложим квадратный трехчлен Зx² - 10x + 3 на множители. Корнями трехчлена являются числа 3 и , поэтому воспользовавшись формулой ах² + bх + с = а (х - x₁)(x - х₂),получим Зx² - 10х + 3 = 3(х - 3) (х - )
Отметим на числовой прямой корни трехчлена: 3 и (рис. 122).

Пусть х > 3; тогда x-3>0 и x->0, а значит, и произведение 3(х - 3)( х - ) положительно. Далее, пусть < х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Следовательно, произведение 3(х-3)(х-) отрицательно. Пусть, наконец, х <; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)( x -) положительно.

Подводя итог рассуждениям, приходим к выводу: знаки квадратного трехчлена Зx² - 10х + 3 изменяются так, как показано на рис. 122. Нас же интересует, при каких х квадратный трехчлен принимает отрицательные значения. Из рис. 122 делаем вывод: квадратный трехчлен Зx² - 10х + 3 принимает отрицательные значения для любого значения х из интервала (, 3)
Ответ  (, 3), или < х < 3.

Замечание. Метод рассуждений, который мы применили в примере 5, обычно называют методом интервалов (или методом промежутков). Он активно используется в математике для решения рациональных неравенств. В 9-м классе мы изучим метод интервалов более детально.

Пример 6. При каких значениях параметра р квадратное уравнение х² - 5х + р² = 0:
а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет -корней?

Решение. Число корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта D. В данном случае находим D = 25 - 4р².

а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D>0, значит, задача сводится к решению неравенства 25 - 4р² > 0. Умножим обе части этого неравенства на -1 (не забыв изменить при этом знак неравенства). Получим равносильное неравенство 4р² - 25 < 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Знаки выражения 4(р - 2,5) (р + 2,5) указаны на рис. 123.

Делаем вывод, что неравенство 4(р - 2,5)(р + 2,5) < 0 выполняется для всех значений р из  интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

б) квадратное уравнение имеет один корень, если D — 0.
Как мы установили выше, D = 0 при р = 2,5 или р = -2,5.

Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет только один корень.

в) Квадратное уравнение не имеет корней, если D < 0. Решим неравенство 25 - 4р² < 0.

Получаем 4р² - 25 > 0;  4 (р-2,5)(р + 2,5)>0, откуда (см. рис. 123) р < -2,5; р > 2,5. При этих значениях параметра р данное квадратное уравнение не имеет корней.

Ответ: а) при р (-2,5, 2,5);

          б) при р = 2,5 илир = -2,5;
          в) при р < - 2,5 или р > 2,5.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

_{Помощь школьнику онлайн, Математика для 8 класса скачать, календарно-тематическое планирование}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.