Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Решение линейных неравенств

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Решение линейных неравенств


Решение линейных неравенств


Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения, т. е. находить те значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Точно так же свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства с переменной, т. е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной.

Рассмотрим, например, неравенство 2х + 5 < 7.

Подставив вместо х значение 0, получим 5 < 7 — верное неравенство; значит, х = 0 — решение данного неравенства.

Подставив вместо х значение 1, получим 7 < 7 — неверное неравенство; поэтому х = 1 не является решением данного неравенства. Подставив вместо х значение -3, получим -6 + 5 < 7, т.е. -1 < 7 — верное неравенство; следовательно, х = -3 — решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 2,5, получим 2-2,5 + 5 < 7, т.е. 10 < 7 — неверное неравенство.

Значит, х = 2,5 не является решением неравенства.

Но вы же понимаете, что это — тупиковый путь: ни один математик не станет так решать неравенство, ведь все числа невозможно перебрать! Вот тут-то и нужно использовать свойства числовых неравенств, рассуждая следующим образом.

Нас интересуют такие числа х, при которых 2х + 5 < 7 — верное числовое неравенство. Но тогда и 2х + 5-5<7-5 — верное неравенство (согласно свойству 2: к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число - 5).

Получили более простое неравенство 2х < 2. Разделив обе его части на положительное число 2, получим (на основании свойства 3) верное неравенство х < 1.

Что это значит? Это значит, что решением неравенства является любое число х, которое меньше 1. Эти числа заполняют открытый луч  (-oо, 1). . Обычно говорят, что этот луч — решение неравенства 2х + 5 < 7 (точнее было бы говорить о множестве решений, но математики, как всегда, экономны в словах).

Таким образом, можно использовать два варианта записи решений данного неравенства: х < 1 или (-oо, 1).

Свойства числовых неравенств позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами:

Правила

Применим эти правила для решения линейных неравенств, т. е. неравенств, сводящихся к виду ах + b > 0 (или ах + b < 0), где оиб- любые числа, за одним исключением: 14-06-226.jpg

Пример 1. Решить неравенство Зх - 5 14-06-227.jpg 7х - 15.

Решение. Перенесем член 1х в левую часть неравенства, а член - 5 — в правую часть неравенства, не забыв при этом изменить знаки и у члена 7х, и у члена - 5 (руководствуемся правилом 1). Тогда получим

Зх - 7х 14-06-227.jpg - 15 + 5, т. е. - 4х 14-06-227.jpg - 10.

Разделим обе части последнего неравенства на одно и то же отрицательное число - 4, не забыв при этом перейти к неравенству противоположного смысла (руководствуясь правилом 3).

Получим 14-06-228.jpg. Это и есть решение заданного неравенства.

Как мы условились, для записи решения можно использовать обозначение соответствующего промежутка числовой прямой:

(-oо, 2,5].

О т в е т: 14-06-228.jpg, или (-oо, 2,5].

Для неравенств, как и для уравнений, вводится понятие равносильности. Два неравенства f(х) < g(x) и r(x) < s(x) называют равносильными, если они имеют одинаковые решения (или, в частности, если оба неравенства не имеют решений).

Обычно при решении неравенства стараются заменить данное неравенство более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства.

Эти преобразования как раз и указаны в сформулированных выше правилах 1—3.

Пример 2. Решить неравенство

Неравенство

Решение. Умножим обе части неравенства на положительное число 15, оставив знак неравенства без изменения (правило 2). Это позволит нам освободиться от знаменателей, т. е. перейти к более простому неравенству, равносильному данному:

Решение

Воспользовавшись для последнего неравенства правилом 1, получим равносильное ему более простое неравенство:

11х - З0х > - 1 + 3, т. е. -17х>2.

Наконец, применив правило 3, получим х < 14-06-231.jpg .

Ответ: х<14-06-231.jpg, или (-oо,14-06-231.jpg ).
В заключение заметим, что, используя свойства числовых неравенств, мы, конечно, сможем решить не любое неравенство с переменной, а только такое, которое после ряда простейших преобразований (типа тех, что были выполнены в примерах из этого параграфа) принимает вид ах > b (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства, строгого или нестрогого). В следующем параграфе мы научимся решать более сложные — квадратные неравенства.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Математика для 8 класса, учебники и книги по математике скачать, библиотека онлайн


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.