Гіпермаркет Знань>>Математика>>Математика 7 клас. Повні уроки>> Алгебра: Рівняння з двома змінними та його розв'язок

Тема

• Рівняння з двома змінними та його розв'язок

Мета

• ознайомитися з визначенням рівняння з двома змінними, навчитися їх роз'язувати

План

Поняття рівняння із двома змінними

Ви вже вмієте розв'язувати рівняння з однією змінною та рівняння, що зводяться до лінійних. Нагадаємо, що лінійне рівняння з однією змінною - це рівняння виду ах=b, де а і b - деякі числа, а х - змінна.

Роглянемо приклад, який приводить до рівняння з двома змінними.

Нехай відомо, що сума деяких двох чисел дорівнює 8. Якщо одне число позначити через х, а друге - через у, то матимемо рівняння:

х + у = 8,

яке містить дві змінні: х та у. Таке рівняння називають рівнянням з двома змінними.

Рівняння

3х-2у=1, 9х+4у=5, x²+у²=9, ху=10.

Теж є рівняннями із двома змінними. Перші два із цих рівнянь є рівняннями виду ах+by=c, де a, b, c - числа. Такі рівняння називаються лінійними рівняннями із двома змінними.

Означення.

Лінійним рівнянням із двома змінними називають рівняння виду ах+by=c, де х та у - змінні, a, b, c - деякі числа (коефіцієнти рівняння).

Розв'язки рівняння із двома змінними

Розглянемо рівняння х + у = 8. Якщо х=2, у=6, то це рівняння перетворюється у правильну числову рівність 2 + 6 = 8. Кажуть, що пара значень змінних х=2, у=6 є розв'язками рівняння х + у = 8.

Означення

Розв'язком рівняння із двома змінними називають пару значень змінних, для яких рівняння перетворюється у правильну числову рівність.

Розв'язками рівняння х + у = 8 є й такі пари чисел: х=4, у=4; х=4,5, у=3,5; х=10, у=-2.

Скорочено ці розв'язки записують так: (4, 4); (4,5, 3,5); (10, -2). У цих записах на першомі місці пишуть значення змінної х, а на другому - значення змінної у. Це пов'язано з тим, що змінну х умовно вважають першою змінною, а змінну у - другою.

Щоб знайти розв'язок рівняння із двома змінними, можна підставити в рівняння довільне значення однієї змінної і, розв'язавши одержане рівняння з однією змінною, знайти відповідне значення іншої змінної. Для прикладу знайдемо кілька розв'язків рівняння х + у = 8.

Нехай х=7, тоді 7 + у = 8, звідки у = 8 - 7, у=1. Нехай х=-3, тоді -3 + у = 8, звідки у = 8 + 3, у=11.

Ми знайшли два розв'язки (7, 1); (-3, 11). Надаючи змінній х інших значень, одержимо інші розв'язки рівняння. Рівняння х + у = 8 має безліч розв'язків.

Шукати розв'язки рівнянь із двома змінними можна іншим способом, який обумовлюється властивостями рівнянь.

Властивості рівнянь із двома змінними

Властивості рівнянь із двома змінними такі ж, як і рівнянь з однією змінною, а саме:

• 1. У будь-якій частині рівняння можна виконати тотожні перетворення виразів (розкрити дужки, звести подібні доданки)
• 2. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в ішну, змінивши його знак на пртилежний.
• 3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те ж, відмінне від нуля, число.

Розглянемо рівняння 3х + 2у = 9.

Використовуючи властивості рівнянь, виразимо з цього рівняння одну змінну через іншу, наприклад, у через х. Для цього перенесемо доданок 3х у праву частину, змінивши його знак на протилжений: 2у = -3х + 9.

Поділимо обидві частини одержаного рівняння на 2: у = -1,5х + 4,5.

Користуючись формулою у = -1,5х + 4,5, можна знайти скільки завгодно розв'язків даного рівняння. Для цього досить узяти довільне значення х і обчислити відповідне значення у. Пари деяких відповідних значень х та у подамо у вигляді таблиці.

Пари чисел кожного стовпчика - розв'язки рівняння 3х + 2у = 9.

Перевір себе

• 1. Які з пар чисел (5;2);(-3;4);(8;0);(-5,5;3) є розв'язком рівняння 5у-2х=26?
  
• 2. Відомо, що пара (4;у) є розв'язком рівняння 3х+4у=20.Знайти значення у.
  
• 3. При якому значення а пара чисел (-2;4) є розв'язком рівняння:

1)4х+6у=а;

2) ах-5у=8?

• 4. Знайдіть всі натуральні розв'язки рівняння 5х+6у=57;
  
  
  

Самостійна робота

Вариант I

• 1. Які з пар чисел

є розв’язком рівняння .

• 2. Побудуйте графік функції

.

• 3. Знайдіть значення коефіцієнта а та с в рівнянні ах - 3 у + с = 0 , якщо відомо, що кожна з пар чисел (-3; 0) та (0; 2) є розв’язком рівняння.
  
  

Вариант II

• 1. Які з пар чисел

являются решением уравнения 3х + у - 7 = 0 .

• 2. Побудуйте графік функції -3х +2у - 6 =0 .
  
• 3. Знайдіть значення коефіцієнта а  та с  в рівнянні ах + by - 15 = 0, якщо відомо, що кожна з пар чисел (0; 3)  и ( -5; 0)  є розв’язком рівняння.
  
  

Список використаної літератури

1. Урок на тему «Рівняння з двома змінними та його розв'язок» викладача Конченко Т. М. , Гімназії міжнародних відносин, м. Київ (СЗШ №323).
2. Істер О. А. «Алгебра. 7 клас».
3. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., ЯкірМ. С. Збірник задачізавдань для тематичного оцінювання з алгебри для 7 класу. – Харків, Гімназія, 2004. – 112 с.: іл.

Відредаговано і надіслано Мазуренко М.С.

Над уроком працювали

Конченко Т. М.

Мазуренко М.С.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, но и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.