Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 6 класс>>Математика: Свойства действий с рациональными числами

38. Свойства действий с рациональными числами

Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами.

Иными словами, если a, b и с — любые рациональные числа, то а + b = b + a, а+(b + с) = (а + b) + с.

Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю.

Значит, для любого рационального числа имеем: а + 0 = а, а + ( — а)=0.

Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами. Другими словами, если а, b и с — любые рациональные числа, то ab — ba, a(bc) — (ab)c.

Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно 1.

Значит, для любого рационального числа а имеем:

Умножение числа на нуль дает в произведении нуль, т. е. для любого рационального числа а имеем:
а • 0 = 0.
Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю: если а • b = 0, то либо а = 0, либо b = 0 (может случиться, что и а = 0, и b=0).

Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел a, b и с имеем: (a+b)• c = ac+bc.

Перечислите свойства сложения рациональных чисел. Перечислите свойства умножения рациональных чисел. В каком случае произведение двух чисел равно нулю?

1185. Сформулируйте словами переместительное свойство сложения а+b=b+а и проверьте его при:

1186.    Сформулируйте словами сочетательное свойство сложения а+{b+с) = (а+b)+с и проверьте его при:

1187.    Сложив отдельно положительные и отдельно отрицательные числа, найдите значение выражения:

1188.    Сложив сначала противоположные числа, найдите значение выражения:

1189.    Упростите выражение:

а)    x + 8 — х — 22;    в) a-m + 7-8+m;
б)    —х—а + 12+а —12; г) 6,1 —k + 2,8 + p — 8,8 + k — р.

1190.    Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:

1191.    Сформулируйте словами переместительное свойство умножения ab = ba и проверьте его при:

1192.    Сформулируйте словами сочетательное свойство умножения a(bc)=(ab)c и проверьте его при:

1193.    Выбирая удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:

1194.    Какое получится число (положительное или отрицательное), если перемножить:

а)    одно отрицательное число и два положительных числа;
б)    два отрицательных и одно положительное число;
в)    7 отрицательных и несколько положительных чисел;
г)    20 отрицательных и несколько положительных? Сделайте вывод.

1195.    Определите знак произведения:

а)    — 2 • (— 3) • (— 9) • (—1,3) • 14 • (— 2,7) • (— 2,9);
б)    4• ( —11) •(—12)• ( —13)• ( —15)• (—17)• 80• 90.

1196.    Решите уравнение, использовав свойство произведения, равного нулю:

а)    4• (x-5) = 0; в) 1,5•(41 -x)=0; д) (x-1)-(x-2) = 0;

б)    -8• (2,6 + x) = 0; г) (Зх-6)• 2,4=0; е) (x + 3)• (x + 4) = 0.

1197.    Сформулируйте словами распределительное свойство умножения (a+b)• c = ac+bc и проверьте его при:

1198.    Выбирая удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:

1199. Вычислите устно:
 

1200.    Найдите сумму всех целых чисел:

а) от —6 до 7; б) от —18 до 17; в) от —22 до 20.

1201.    Решите уравнение:

1202.    Придумайте такие значения х и y, при которых верно соотношение:

1203. Найдите наибольшее значение выражения:

а) -|x|; б)2-|x|; в)-|x-1|; г)-(x-1)².

1204. Решать некоторые математические задачи помогают (мы специальные схемы, состоящие из точек и соединяющих их дуг или стрелок (рис. 91). Такие схемы называют графами, точки называют вершинами графа, а дуги — ребрами графа. Решите с помощью графов задачу:

а)    В спортивном зале собрались Витя, Коля, Петя, Сережа и Максим (рис. 91, а). Оказалось, что каждый из мальчиков знаком только с двумя другими. Кто с кем знаком? (Ребро графа означает «мы знакомы».)

б)    Во дворе гуляют братья и сестры одной семьи. Кто из этих детей мальчики, а кто девочки (рис. 91, б)? (Пунктирные ребра графа означают - "я - сестра", а сплошные - "я - брат".)

 

1205.    Вычислите:

1206.    Сравните:

а) 2³ и 3²; б) (-2)³ и (-3)²; в) 1³ и 1²; г) (-1)³ и (-1)².

1207.    Округлите 5,2853 до тысячных; до сотых; до десятых; до единиц.

1208.    Решите задачу:

1) Мотоциклист догоняет велосипедиста. Сейчас между ними 23,4 км. Скорость мотоциклиста в 3,6 раза больше скорости велосипедиста. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста, если известно, что мотоциклист догонит велосипедиста через ч.
2) Легковая автомашина догоняет автобус. Сейчас между ними 18 км. Скорость автобуса составляет скорости легковой автомашины. Найдите скорости автобуса и легковой автомашины, если известно, что легковая автомашина догонит автобус через  ч.

1209. Найдите значение выражения:

1)    (0,7245:0,23 - 2,45) • 0,18 + 0,07 4;
2)    (0,8925:0,17 - 4,65) • 0,17+0,098;
3)    (-2,8 + 3,7 -4,8) • 1,5:0,9;
4)    (5,7-6,6-1,9) • 2,1:(—0,49).

Проверьте ваши вычисления с помощью микрокалькулятора.
1210. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:

  1211.  Упростите выражение:

 1212.   Найдите значение выражения:

 1213.   Выполните действия:

1214.   Ученикам дали задание собрать 2,5 т металлолома. Они собрали 3,2 т металлолома. На сколько процентов учащиеся выполнили задание и на сколько процентов они перевыполнили задание?

1215.  Автомашина прошла 240 км. Из них 180 км она шла по проселочной дороге, а остальной путь — по шоссе. Расход бензина на каждые 10 км проселочной дороги составил 1,6 л, а по шоссе — на 25% меньше. Сколько литров бензина в среднем расходовалось на каждые 10 км пути?

1216. Выезжая из села, велосипедист заметил на мосту пешехода, идущего в том же направлении, и догнал его через 12 мин. Найдите скорость пешехода, если скорость велосипедиста 15 км/ч, а расстояние от села до моста 1 км 800 м?

1217.  Выполните действия:

а)    - 4,8 • 3,7 - 2,9 • 8,7 - 2,6 • 5,3 + 6,2 • 1,9;
б)    -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 • 0,8;
в)    3,5 • 0,23 - 3,5 •( - 0,64) + 0,87 • (- 2,5).

 С рациональными числами люди, как вы знаете, знакомились постепенно. Вначале при счете предметов возникли натуральные числа. На первых порах их было немного. Так, еще недавно у туземцев островов в Торресовом проливе (отделяющем Новую Гвинею от Австралии) были в языке названия только двух чисел: «урапун» (один) и «оказа» (два). Островитяне считали так: «оказа-урапун» (три), «оказа-оказа» (четыре) и т. д. Все числа, начиная с семи, туземцы называли словом, обозначавшим «много».

Ученые полагают, что слово для обозначения сотни появилось более 7000 лет назад, для обозначения тысячи — 6000 лет назад, а 5000 лет тому назад в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне появляются названия для громадных чисел — до миллиона. Но долгое время натуральный ряд чисел считался конечным: люди думали, что существует самое большое число.

Величайший древнегреческий математик и физик Архимед (287—212 гг. до н. э.) придумал способ описания громадных чисел. Самое большое число, которое умел называть Архимед, было настолько велико, что для его цифровой записи понадобилась бы лента в две тысячи раз длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца.

Но записывать такие громадные числа еще не умели. Это стало возможным только после того, как индийскими математиками в VI в. была придумана цифра нуль и ею стали обозначать отсутствие единиц в разрядах десятичной записи числа.

При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести «ломаные числа» — обыкновенные дроби. Действия над дробями еще в средние века считались самой сложной областью математики. До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что он «попал в дроби».

Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби. В Европе их ввел в Х585 г. голландский математик и инженер Симон Стевин.

Отрицательные числа появились позднее, чем дроби. Долгое время такие числа считали «несуществующими», «ложными» прежде всего из-за того, что принятое истолкование для положительных и отрицательных чисел «имущество — долг» приводило к недоумениям: можно сложить или вычесть «имущества» или «долги», но как понимать произведение или частное «имущества» и «долга»?

Однако несмотря на такие сомнения и недоумения, правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел были предложены в III в. греческим математиком Диофантом (в виде: «Вычитаемое, умноженное на прибавляемое, дает вычитаемое; вычитаемое на вычитаемое дает прибавляемое» и т. д.), а позже индийский математик Б х а с к а р а (XII в.) выразил те же правила в понятиях «имущество», «долг» («Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество; произведение имущества и долга есть долг». То же правило и при делении).

Было установлено, что свойства действий над отрицательными числами те же, что и над положительными (например, сложение и умножение обладают переместительным свойством). И наконец с начала прошлого века отрицательные числа стали равоправными с положительными.

В дальнейшем в математике появились новые числа — иррациональные, комплексные и другие. О них вы узнаете в старших классах.

Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы

_{Книги и учебники согласно календарному плануванння по математике 6 класса скачать, помощь школьнику онлайн}

Содержание урока
 конспект урока
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.