Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Свойства действий с рациональными числами

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 6 класс>>Математика: Свойства действий с рациональными числами


38. Свойства действий с рациональными числами


Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами.

Иными словами, если a, b и с — любые рациональные числа, то а + b = b + a, а+(b + с) = (а + b) + с.

Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю.

Значит, для любого рационального числа имеем: а + 0 = а, а + ( — а)=0.

Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами. Другими словами, если а, b и с — любые рациональные числа, то ab — ba, a(bc) — (ab)c.

Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно 1.

Значит, для любого рационального числа а имеем:

Задание
Умножение числа на нуль дает в произведении нуль, т. е. для любого рационального числа а имеем:
а • 0 = 0.
Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю: если а • b = 0, то либо а = 0, либо b = 0 (может случиться, что и а = 0, и b=0).

Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел a, b и с имеем: (a+b)• c = ac+bc.

2010-09.jpgПеречислите свойства сложения рациональных чисел. Перечислите свойства умножения рациональных чисел. В каком случае произведение двух чисел равно нулю?

2010-09k.jpg1185. Сформулируйте словами переместительное свойство сложения а+b=b+а и проверьте его при:

Задание

1186.    Сформулируйте словами сочетательное свойство сложения а+{b+с) = (а+b)+с и проверьте его при:
Задание
1187.    Сложив отдельно положительные и отдельно отрицательные числа, найдите значение выражения:

Задание
1188.    Сложив сначала противоположные числа, найдите значение выражения:

Задание
1189.    Упростите выражение:

а)    x + 8 — х — 22;    в) a-m + 7-8+m;
б)    —х—а + 12+а —12; г) 6,1 —k + 2,8 + p — 8,8 + k — р.


1190.    Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:

Задание


1191.    Сформулируйте словами переместительное свойство умножения ab = ba и проверьте его при:

Задание
1192.    Сформулируйте словами сочетательное свойство умножения a(bc)=(ab)c и проверьте его при:

Задание

1193.    Выбирая удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:

Задание

1194.    Какое получится число (положительное или отрицательное), если перемножить:

а)    одно отрицательное число и два положительных числа;
б)    два отрицательных и одно положительное число;
в)    7 отрицательных и несколько положительных чисел;
г)    20 отрицательных и несколько положительных? Сделайте вывод.

1195.    Определите знак произведения:

а)    — 2 • (— 3) • (— 9) • (—1,3) • 14 • (— 2,7) • (— 2,9);
б)    4• ( —11) •(—12)• ( —13)• ( —15)• (—17)• 80• 90.


1196.    Решите уравнение, использовав свойство произведения, равного нулю:

а)    4• (x-5) = 0; в) 1,5•(41 -x)=0; д) (x-1)-(x-2) = 0;

б)    -8• (2,6 + x) = 0; г) (Зх-6)• 2,4=0; е) (x + 3)• (x + 4) = 0.

1197.    Сформулируйте словами распределительное свойство умножения (a+b)• c = ac+bc и проверьте его при:

Задание

1198.    Выбирая удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:

Задание

1199. Вычислите устно:
 Задание

1200.    Найдите сумму всех целых чисел:

а) от —6 до 7; б) от —18 до 17; в) от —22 до 20.

1201.    Решите уравнение:
Задание

1202.    Придумайте такие значения х и y, при которых верно соотношение:
Задание
1203. Найдите наибольшее значение выражения:

а) -|x|; б)2-|x|; в)-|x-1|; г)-(x-1)2.

2010-09m.jpg1204. Решать некоторые математические задачи помогают (мы специальные схемы, состоящие из точек и соединяющих их дуг или стрелок (рис. 91). Такие схемы называют графами, точки называют вершинами графа, а дуги — ребрами графа. Решите с помощью графов задачу:

а)    В спортивном зале собрались Витя, Коля, Петя, Сережа и Максим (рис. 91, а). Оказалось, что каждый из мальчиков знаком только с двумя другими. Кто с кем знаком? (Ребро графа означает «мы знакомы».)

б)    Во дворе гуляют братья и сестры одной семьи. Кто из этих детей мальчики, а кто девочки (рис. 91, б)? (Пунктирные ребра графа означают - "я - сестра", а сплошные - "я - брат".)

 Задание

1205.    Вычислите:
Задание


1206.    Сравните:

а) 23 и 32; б) (-2)3 и (-3)2; в) 13 и 12; г) (-1)3 и (-1)2.

1207.    Округлите 5,2853 до тысячных; до сотых; до десятых; до единиц.

1208.    Решите задачу:

1) Мотоциклист догоняет велосипедиста. Сейчас между ними 23,4 км. Скорость мотоциклиста в 3,6 раза больше скорости велосипедиста. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста, если известно, что мотоциклист догонит велосипедиста через 2010-28.jpg ч.
2) Легковая автомашина догоняет автобус. Сейчас между ними 18 км. Скорость автобуса составляет 2010-156.jpg скорости легковой автомашины. Найдите скорости автобуса и легковой автомашины, если известно, что легковая автомашина догонит автобус через 2010-28.jpg ч.

1209. Найдите значение выражения:

1)    (0,7245:0,23 - 2,45) • 0,18 + 0,07 4;
2)    (0,8925:0,17 - 4,65) • 0,17+0,098;
3)    (-2,8 + 3,7 -4,8) • 1,5:0,9;
4)    (5,7-6,6-1,9) • 2,1:(—0,49).


Проверьте ваши вычисления с помощью микрокалькулятора.
2010-09d.jpg1210. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:
Задание


  1211.  Упростите выражение:

Задание


 1212.   Найдите значение выражения:

Задание


 1213.   Выполните действия:

Задание

1214.   Ученикам дали задание собрать 2,5 т металлолома. Они собрали 3,2 т металлолома. На сколько процентов учащиеся выполнили задание и на сколько процентов они перевыполнили задание?

1215.  Автомашина прошла 240 км. Из них 180 км она шла по проселочной дороге, а остальной путь — по шоссе. Расход бензина на каждые 10 км проселочной дороги составил 1,6 л, а по шоссе — на 25% меньше. Сколько литров бензина в среднем расходовалось на каждые 10 км пути?

1216. Выезжая из села, велосипедист заметил на мосту пешехода, идущего в том же направлении, и догнал его через 12 мин. Найдите скорость пешехода, если скорость велосипедиста 15 км/ч, а расстояние от села до моста 1 км 800 м?

1217.  Выполните действия:

а)    - 4,8 • 3,7 - 2,9 • 8,7 - 2,6 • 5,3 + 6,2 • 1,9;
б)    -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 • 0,8;
в)    3,5 • 0,23 - 3,5 •( - 0,64) + 0,87 • (- 2,5).

2010-09a.jpg С рациональными числами люди, как вы знаете, знакомились постепенно. Вначале при счете предметов возникли натуральные числа. На первых порах их было немного. Так, еще недавно у туземцев островов в Торресовом проливе (отделяющем Новую Гвинею от Австралии) были в языке названия только двух чисел: «урапун» (один) и «оказа» (два). Островитяне считали так: «оказа-урапун» (три), «оказа-оказа» (четыре) и т. д. Все числа, начиная с семи, туземцы называли словом, обозначавшим «много».

Ученые полагают, что слово для обозначения сотни появилось более 7000 лет назад, для обозначения тысячи — 6000 лет назад, а 5000 лет тому назад в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне появляются названия для громадных чисел — до миллиона. Но долгое время натуральный ряд чисел считался конечным: люди думали, что существует самое большое число.

Величайший древнегреческий математик и физик Архимед (287—212 гг. до н. э.) придумал способ описания громадных чисел. Самое большое число, которое умел называть Архимед, было настолько велико, что для его цифровой записи понадобилась бы лента в две тысячи раз длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца.

Но записывать такие громадные числа еще не умели. Это стало возможным только после того, как индийскими математиками в VI в. была придумана цифра нуль и ею стали обозначать отсутствие единиц в разрядах десятичной записи числа.

При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести «ломаные числа» — обыкновенные дроби. Действия над дробями еще в средние века считались самой сложной областью математики. До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что он «попал в дроби».

Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби. В Европе их ввел в Х585 г. голландский математик и инженер Симон Стевин.

Отрицательные числа появились позднее, чем дроби. Долгое время такие числа считали «несуществующими», «ложными» прежде всего из-за того, что принятое истолкование для положительных и отрицательных чисел «имущество — долг» приводило к недоумениям: можно сложить или вычесть «имущества» или «долги», но как понимать произведение или частное «имущества» и «долга»?

Однако несмотря на такие сомнения и недоумения, правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел были предложены в III в. греческим математиком Диофантом (в виде: «Вычитаемое, умноженное на прибавляемое, дает вычитаемое; вычитаемое на вычитаемое дает прибавляемое» и т. д.), а позже индийский математик Б х а с к а р а (XII в.) выразил те же правила в понятиях «имущество», «долг» («Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество; произведение имущества и долга есть долг». То же правило и при делении).

Было установлено, что свойства действий над отрицательными числами те же, что и над положительными (например, сложение и умножение обладают переместительным свойством). И наконец с начала прошлого века отрицательные числа стали равоправными с положительными.

В дальнейшем в математике появились новые числа — иррациональные, комплексные и другие. О них вы узнаете в старших классах.


Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы


Книги и учебники согласно календарному плануванння по математике 6 класса скачать, помощь школьнику онлайн

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.