Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Свойства квадратных корней

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Свойства квадратных корней


Свойства квадратных корней


До сих пор мы осуществляли над числами пять арифметических операций: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, причем при вычислениях активно использовали различные свойства этих операций, например а + b = b + а, аn-bn = (аb)и т.д.

В этой главе введена новая операция — извлечение квадратного корня из неотрицательного числа. Чтобы успешно ее использовать, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе.

Теорема


Доказательство. Введем следующие обозначения:Обозначения
Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х = yz.

Доказательство

Итак, х2 = ab, у2 = а, z2 = b. Тогда х2 = y2z2, т. е. х2 = (yz)2.

Если квадраты двух неотрицательных чисел равны, то и сами числа равны, значит, из равенства х2 = (yz)2 следует, что х = yz, а это и требовалось доказать.

Приведем краткую запись доказательства теоремы:

Доказательство теоремы


Замечание 1. Теорема остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух не отрицательных множителей.

Замечание 2. Теорему 1 можно оформить, используя конструкцию «если... , то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а и b — неотрицательные числа, то справедливо равенство Равенство.

Следующую теорему мы именно так и оформим.

Теорема

(Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней или корень из частного равен частному от корней.)

Доказательство.

На этот раз мы приведем только краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что составили суть доказательства теоремы 1.

Доказательство

Пример 1. Вычислить Задание.
Решение. Воспользовавшись первым свойством квадратных корней (теорема 1), получаем

Задание

Замечание 3. Конечно, этот пример можно решить по-другому, особенно если у вас под рукой микрокалькулятор: перемножить числа 36, 64, 9, а затем извлечь квадратный корень из полученного произведения. Однако, согласитесь, предложенное выше решение выглядит более культурно.

Пример 2.

Задание


Задание

Замечание 4. При первом способе мы проводили вычисления «в лоб». Второй способ изящнее:
мы применили формулу а2 — b2 = (а — b) (а + b) и воспользовались свойством квадратных корней.

Замечание 5. Некоторые «горячие головы» предлагают иногда такое «решение» примера 3:

Задание

Это, конечно, неверно: вы видите — результат получился не такой, как у нас в примере 3. Дело в том, что нет свойства Задание , как нет и свойстваЗадание Имеются только свойства, касающиеся умножения и деления квадратных корней. Будьте внимательны и осторожны, не принимайте желаемое за действительное.

Пример 4. Вычислить: а) Задание
Решение. Любая формула в алгебре используется не только «справа налево», но и «слева направо». Так, первое свойство квадратных корней означает, что 12-06-81.jpg в случае необходимости можно представить в виде 12-06-82.jpg , и обратно, что Задание можно заменить выражением 12-06-81.jpg То же относится и ко второму свойству квадратных корней. Учитывая это, решим предложенный пример.

Задание

Завершая параграф, отметим еще одно достаточно простое и в то же время важное свойство:
если a > 0 и n — натуральное число, то

Задание

Пример 5.
Вычислить Задание , не используя таблицу квадратов чисел и микрокалькулятор.


Решение. Разложим подкоренное число на простые множители:

Задание

Замечание 6.
Этот пример можно было решить так же, как и аналогичный пример в § 15. Нетрудно догадаться, что в ответе получится «80 с хвостиком», поскольку 802 < 7056 < 902. Найдем «хвостик», т. е. последнюю цифру искомого числа. Пока мы знаем, что если корень извлекается, то в ответе может получиться 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 или 89. Проверить надо только два числа: 84 и 86, поскольку только они при возведении в квадрат дадут в результате четырехзначное число, оканчивающееся цифрой 6, т.е. той же цифрой, которой оканчивается число 7056. Имеем 842 = 7056 — это то, что нужно. Значит, Задание

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Книги, учебники математике скачать, конспект на помощь учителю и ученикам, учиться онлайн


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.