Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма

Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма

Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие сто роны равны, противолежащие углы равны.

Доказательство. Пусть ABCD — данный параллелограмм (рис. 122). Проведем диагонали параллелограмма. Пусть О — точка их пересечения.

Равенство противолежащих сторон АВ и CD следует из равенства треугольников АОВ и COD. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОА = ОС и OB—OD по свойству диагоналей параллелограмма. Точно так же из равенства треугольников AOD и СОВ следует равенство другой пары противолежащих сторон — AD и ВС.

Равенство противолежащих углов ABC и CDA следует из равенства треугольников ABC и CD А (по трем сторонам). У них AB=CD и BC=DA по доказанному, а сторона АС общая. Точно так же равенство противолежащих углов BCD и DAB следует из равенства треугольников BCD и DAB. Теорема доказана полностью.

Задача (18). Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом.

Решение. Пусть ABCD — данный четырехугольник, у которого стороны АВ и CD параллельны и равны (рис. 123). Проведем через вершину В прямую b, параллельную стороне AD. Эта прямая пересекает луч DC в некоторой точке С₁. Четырехугольник ABC₁D есть параллелограмм. Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то C₁D=AB. А по условию АВ = =CD. Значит, DC=DC₁. Отсюда следует, что точки С и C₁ совпадают.

Таким образом, четырехугольник ABCD совпадает с параллелограммом ABC₁D, а значит, является параллелограммом.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Календарно-тематическое планирование по математике, задачи и ответы школьнику онлайн, курсы учителю по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.