Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Синус и косинус. Тангенс и котангенс

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Синус и косинус. Тангенс и котангенс


Синус и косинус. Тангенс и котангенс.


1. Синус и косинус.

Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают соs t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.

Итак (см.рис. 109),

Синус и косинус


Вооружившись определением, вернемся к предыдущему параграфу и как бы заново перечитаем его.

Мы отметили в § 18, что каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем:

у точек первой четверти    х > 0, у > 0;
у точек второй четверти    х < 0, у > 0;
у точек третьей четверти    х < 0, у < 0;
у точек четвертой четверти    х > 0, у < 0 (рис. 104).

Это позволяет нам составить соответствующую таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности:

Таблица

Мы отметили в § 18, что уравнение числовой окружности имеет вид х2 + у2 = 1.

Тем самым фактически получено важное равенство, связывающее sin t и соs t:
Формула
В § 18 было отмечено, как важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, прежде всего тех, что представлены на первом и втором макетах (рис. 100 и 101). Теперь эта мысль стала, думается, предельно ясной: опираясь на таблицы 1 и 2 из § 18, мы без труда составим соответствующие таблицы для вычисления значений соs t и sin t.

Таблицы
Пример 1.

Вычислить соs t и sin t, если:

Пример


Решение:

а) В примере 1а из § 18 мы установили, что числу Решение  соответствует та же точка числовой окружности, что и

Решение


б)    В примере 16 из § 18 мы установили, что числу

Решение


Пример 2.

Решить уравнение Пример

Решение.

Учтем, что sin t — ордината точки М{1) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1
точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 2 из § 18:

Решение
Пример 3.

Решить уравнение Пример
Решение.

Учтем, что sin t — ордината точки М{1) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1
точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 3 из § 18:

Решение
Пример 4.

Решить уравнение:

Пример

Решение.

а)Нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой 0 и записать, каким числам I они соответствуют. Ординату 0 имеют точки А и С (рис. 109), они соответствуют числам 0 (точкаА), n (точка С), 2n (точка А), Зn (точка С), -n (точка С), -2k (точка А) и т.д. Короче это можно записать так: точки А и С соответствуют числам вида nk.

Решение

б)  Ординату 1 имеет точка В числовой окружности (рис. 109). Значит, решения уравнения

Решение

Замечание.

Напомним еще раз о нашей договоренности: параметр k (или n) принимает любые целочисленные значения (k е n ), мы это постоянно подразумеваем, но, краткости ради, не записываем. Завершая разговор о синусе и косинусе, остановимся на их свойствах.

Свойство 1.

Для любого значения I справедливы равенства:

Свойство

Доказательство. Если числу t соответствует точка М числовой окружности, то числу -1 соответствует точка Р, симметричная точке М относительно горизонтального диаметра окружности (рис. 110), т.е. симметричная точке М относительно оси абсцисс. У таких точек одна и та же абсцисса, а это значит, что сое (-t) = = соs t. У таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты; это значит, что sin  (-t) = cos t.

Свойство 2.

Для любого значения 1: справедливы равенства

Формула
Это очевидно, поскольку числам t и t + 2nк соответствует одна и та же точка числовой окружности (чем мы не раз уже пользовались).

Свойство 3.

Для любого значения t справедливы равенства:

Свойство
Доказательство. Если числу t соответствует точка М числовой окружности, то числу t + n соответствует точка Р, симметричная точке М относительно центра окружности — начала координат (рис. 111). У таких точек абсциссы равны по модулю, но противоположны по знаку, и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку. Это значит, что

Окружности


2. Тангенс и котангенс.

Определение.

Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают

Тангенс и котангенс.

Впредь, говоря о t или t, мы будем подразумевать (не записывая), что аргумент t принимает только допустимые значения:

Тангенс и котангенс.
Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности (она имеется в п. 1), нетрудно составить аналогичную таблицу для тангенса и котангенса:

Таблица


Пример 6.

Вычислить:

Пример

Как видите, зная значения синуса и косинуса числа I, нетрудно вычислить соответствующие значения тангенса и котангенса. Тем не менее есть смысл составить небольшую таблицу основных значений тангенса и котангенса:

Таблица

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс


Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.