Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Способ группировки

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Способ группировки




                                                                Способ группировки


Для уяснения сути способа группировки рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Разложить на множители многочлен
2 + 6а + ab + 3b.

Решение. Объединим в одну группу первые два члена, а в другую — последние два члена многочлена:

(2а2 + 6а) + (аb + 3b).

Замечаем, что в первой группе можно вынести за скобки 2а, a во второй группе b. Имеем: 2а (а + 3) + b (а + 3). Теперь мы видим, что «проявился» общий множитель (а + 3), который можно вынести за скобки. В результате получим:

(а + 3)(2а + b).

Поскольку процесс преобразований в примере 1 перемежался обширными комментариями, приведем еще раз решение, но уже без комментариев:

2 + 6а + аb + 3b = (2а2 + 6а) + (аb + 3b) =
= 2а (а + 3) + b(а + 3) = (а + 3) (2а + b).

Объединение членов многочлена 2а2 + 6а + аЬ + 3b в группы можно осуществить различными способами. Однако нужно учитывать, что иногда такая группировка оказывается удачной для последующего разложения на множители, а иногда нет. Проведем эксперимент. Объединим в одну группу первый и третий члены рассматриваемого многочлена, а в другую группу — второй и четвертый:

2 + 6а + аЬ + 3b= (2а2 + аb) + (6а + 3b) =
= а (2а + b) + 3(2а + b) = (2а + b) (а + 3).

Разложение на множители получилось, группировка оказалась удачной.

Теперь объединим в одну группу первый и четвертый члены, а в другую — второй и третий:

2 + 6а + аb + 3b = (2а2 + 3b) + (6a+ab) =(2a2 +3b) +a(6 + b)

Эта группировка явно неудачна.

Подведем итоги. Члены многочлена можно группировать так, как нам хочется. Иногда удается такая группировка, что в каждой группе после вынесения общих множителей в скобках остается один и тот же многочлен, который, в свою очередь, может быть вынесен за скобки как общий множитель. Тогда говорят, что разложение многочлена на множители осуществлено способом группировки.

Пример 2. Разложить на множители

ху-6 + 3у-2у.

Решение.
Первый способ группировки:
ху - 6 + Зx - 2у = (ху - 6) + (3x - 2у).
Группировка неудачна.

Второй способ группировки:
ху - 6 + Зх - 2у = (ху + Зх) + (- 6 - 2у) =
= x (у + 3) - 2 (у + 3) = (у + 3) (х - 2).

Третий способ группировки:
ху - 6 + Зx - 2у = (ху - 2у) + (- 6 + Зx) = y(x - 2) +3( x - 2) =( x -2)( y + 3)

Ответ: ху - 6 + Зx - 2у = (х - 2) (у + 3).

Как видите, не всегда с первого раза группировка оказывается удачной. Если группировка оказалась неудачной, то откажитесь от нее, ищите иной способ. По мере приобретения опыта вы будете быстро находить удачную группировку, как это сделано в следующем примере.

Пример 3. Разложить на множители многочлен

аb2 - 2аb + За + 2b2 - 4b + 6.

Решение. Составим три группы: в первую включим первый и четвертый члены, во вторую — второй и пятый, в третью — третий и шестой:

аb2 - 2аb + За + 2b2 - 4b + 6 = (аb2 + 2b2) + (- 2аb - 4b) +
+ (За + 6) = b2(а + 2) - 2b(а + 2) + 3(а + 2).

Во всех группах оказался общий множитель (а + 2), который можно вынести за скобки. Получим:
(a + 2) (b2 -2b + 3).

Иногда полезно проверить себя, т.е. в полученном разложении на множители выполнить операцию правилом умножения многочленов (раскрыть скобки) и убедиться, что в результате получится тот многочлен, который был задан. А если нет? Тогда надо искать ошибку в разложении на множители.

Пример 4. Разложить на множители многочлен x2 - 7x + 12.

Решение. Наверное, вы думаете: какое отношение имеет этот пример к способу группировки, ведь здесь и группировать-то нечего? Это верно, но можно сделать небольшой фокус: если представить слагаемое - 7х в виде суммы - Зх - 4x, то получится сумма уже не трех (как в заданном многочлене), а четырех слагаемых. Эти четыре слагаемых можно распределить по двум группам.

Итак,

х2 - 7x + 12 - х2 - Зx - 4x + 12 = (х2 - Зх) + (- 4x + 12) =
= x(x-3) - 4(x - 3) = (x:-3)(x:-4).

Пример 5. Решить уравнение:

а) x2 -7х +12 = 0;   б) x3 - 2x2 + Зx - 6 = 0.

Р е ш е н и е.

а) Разложим трехчлен x2 - 7х + 12 на множители так, как это сделано в примере 4:

х2 - 7х + 12 = (х - 3) (х - 4).

Тогда заданное уравнение можно переписать в виде (x - 3) (x - 4) = 0. Теперь ясно, что исходное уравнение имеет два корня: х = 3, x = 4.

б) Разложим многочлен х3 - 2x2 + Зx - 6 на множители.

Имеем:

х3 - 2х2 + Зх - 6 = (x3 - 2x2) + (Зx - 6) = x2(x - 2) + 3(х - 2) =
= (х - 2) (x2 + 3).

Перепишем теперь заданное уравнение в виде:
(х - 2) (x2 + 3) = 0.

Так как произведение равно нулю, то равен нулю один из множителей. Но x2 + 3 при любых значениях х является положительным числом, т. е. в нуль обратиться не может. Значит, может выполняться только равенство x - 2 = 0, откуда получаем x= 2.

Ответ:a) 3,4;в) 2


Видеопо математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам онлайн


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.