Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Тангенс суммы и разности аргументов

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Тангенс суммы и разности аргументов


§ 23. Тангенс суммы и разности аргументов


В § 21 и 22 мы получили формулы, выражающие синус и косинус суммы и разности аргументов через синусы и косинусы аргументов. В этом параграфе речь пойдет о том, как тангенс суммы или разности аргументов выражается через тангенсы аргументов. Соответствующие формулы выглядят следующим образом:

Формула
При этом, разумеется, предполагается, что все тангенсы имеют смысл, т.е. что Формула (для первой формулы), Формула  (для второй формулы).
Доказательства этих формул достаточно сложны, мы приведем одно из них в конце параграфа. Но сначала рассмотрим ряд примеров, показывающих, как используются эти формулы на практике.
Пример 1. Вычислить: Задание
Решение, а) Воспользуемся тем, что 75° = 45° + 30°. Получим:

Задание
Есть смысл избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив и числитель, и знаменатель полученной дроби на

Задание
Есть смысл избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив и числитель, и знаменатель полученной дроби на

Задание
в) Заметим, что заданное выражение представляет собой правую часть формулы «тангенс суммы» для аргументов 27° и 18°. Значит,

Задание
Пример 2. Доказать тождество: Задание
Решение. Применим к правой части проверяемого тождества формулу «тангенс разности». Имеем:

Задание
Замечание. Когда речь идет о доказательстве тригонометрического тождества или о преобразовании тригонометрического выражения, всегда предполагается, что аргументы принимают только допустимые значения. Так, в рассмотренном примере доказанное тождество справедливо при условии, что Формула
Пример 3. Вычислить Задание
Решение. Воспользуемся тождеством, полученным в предыдущем примере:

Формула
Если мы вычислим tg х, то вычислим и Формула
Значение соs x; задано, значение tg х найдем с помощью соотношения

Задание
По условию аргумент x принадлежит второй четверти, а в ней тангенс отрицателен. Поэтому из равенства Задание
Подставим найденное значение в правую часть формулы (1):

Задание
В заключение докажем, как было обещано, формулу тангенса суммы. Кроме того, приведем довольно любопытный пример, показывающий неожиданное применение формулы тангенса суммы.
Имеем:
Формула
Разделим в полученной дроби и числитель, и знаменатель почленно на соs х соз у. Получим:

Задание
Пример 4. Доказать, что 1° — иррациональное число.
Решение. Предположим противное, что tg 1°— рациональное число :tg 1 °=r, где г — рациональное число. Имеем:

Формула
Получилось рациональное число, обозначим его q; итак tg 2°=q.
Рассуждая аналогично, устанавливаем, что: Формула  снова получили рациональное число. Продолжая процесс, получим, что 4°, 5°, 60° — рациональные числа. Но Alga464.jpg а это — иррациональное число. Получили противоречие, значит, сделанное предположение неверно, т.е. tg 1° — иррациональное число.   


А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс


Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.