Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Умножение одночленов, Возведение одночлена в натуральную степень

                    Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень

В § 10 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов. Оказалось, что эти операции применимы только к подобным одночленам. А как обстоит дело с умножением одночленов?

Очень просто: если между двумя одночленами поставить знак умножения, то снова получится одночлен; остается лишь привести его к стандартному виду (фактически это мы уже делали в примере из § 9). Не вызывает затруднений и возведение одночлена в степень. При этом используются правила действий со степенями (фактически в примере 3 из § 7 мы уже возводили одночлен в степень).

Пример 1. Найти произведение трех одночленов: 2a²bc⁵,
Решение. Имеем:

Пример 2. Упростить выражение (- 2a²bc³)⁵(т. е. представить его в виде одночлена).

Р е ш е н и е. (- 2a²bc³)⁵ = - 2⁵(a²)⁵b⁵(c³)⁵=-32a¹⁰b⁵c15.

Мы использовали, во-первых, то, что при возведении произведения в степень надо возвести в эту степень каждый множитель. Поэтому у нас появилась запись 2⁵(a²)⁵b5(c³)⁵.

Во-вторых, мы воспользовались тем, что (- 2)⁵ = - 2⁵ .

В-третьих, мы использовали то, что при возведении степени в степень показатели перемножаются. Поэтому вместо (а²)⁵ мы написали а¹⁰, а вместо (с³)⁵ мы написали с¹⁵.

Пример 3. Представить одночлен 36a²b⁴c⁵ в виде произведения одночленов.

Решение. Здесь, как и в примере 2 из § 10, решение не единственно. Вот несколько вариантов решения:

36a²b⁴c⁵ =( 18a²)•(2b⁴c⁵);
36a²b⁴c⁵ =( 36abc) • (аb³с⁴),
36а² b⁴c⁵= (- Зb⁴) • (- 12а²с⁵);
36а² b⁴c⁵=(2a³)•(3bc) •(6b³c⁴)

Попробуйте сами придумать еще несколько решений примера 3.

Пример 4. Представить данный одночлен А в виде В", где В — одночлен, если:

а)А = 32a⁵,n = 5;    
б) А = а³b⁶. n = 3;

в) А =49а²b⁴c⁶. n = 2;

г) А = - 27a³b⁹, n = 3;

д) А = 16a⁸b⁵, n = 4;

Решение.
а) Имеем: 32a⁵ - 2⁵a⁵ = (2a)⁵. Значит, А = В⁵, где В = 2с.
б) Имеем: а³b⁶ = a³(b²)³ = (ab²)³. Следовательно, А = B³, где B = ab².
в) Так как 49a²b⁴c⁶ =7²a²(b²)²(c³)³=(7ab²c³)²
то А=В² , где В=7ab²c³

г) Поскольку - 27a³b⁹ = (- 3)³a³(b³)³, заключаем, что А - В³, где В - Зab³.
д) Имеем: 16a⁸ =2⁴(a²)⁴=(2a²)⁴.

Если бы не было множителя b⁵, то задача решалась бы без труда:
16a⁸ = 2⁴(a²)⁴=(2a²)⁴ 

Если бы вместо b⁵ был множитель b¹², то мы решили бы задачу так:
16a⁸b¹² = 2⁴(a²)⁴(b³)⁴ =(2a²b³)⁴ 

Однако множитель b⁵ нельзя представить в виде (b^k)4, где k — натуральное число, этот множитель, как говорится, «портит все дело». Значит, одночлен

16a⁸ b⁵ нельзя представить в виде В⁴, где В — некоторый одночлен, в Пример показывает, что в математике далеко не все всегда получается, не любая задача имеет решение (как и в реальной жизни).

Кстати, если математику предлагают решить задачу, которая на самом деле не имеет решения, то он говорит: «Задача поставлена некорректно» или «Это — некорректная задача». Тот, кто предложил некорректную задачу, должен извиниться. Вот и автор извиняется за пример 4д). Хотя согласитесь,  что он был дан не без пользы.

Раз уж мы заговорили о корректных и некорректных задачах, приведем еще несколько примеров и тех, и других, а вы попытайтесь объяснить, почему задача корректна или некорректна.

Корректные задачи:

1. Упростить 2ab²•(3ab)³.
2. Упростить 7ab + 8ab + аЬ.
3. Вычислить
4. Представить одночлен 13a⁴b⁵ в виде суммы одночленов.
5. Представить одночлен 48х³у⁵z в виде произведения одночленов.
6. Представить одночлен А = 25a⁴ в виде квадрата некоторого одночлена В.

Некорректные задачи:
1. Сложить одночлены ЗaЬ², 5аb² и 7a²b
2. Вычислить
3. Представить одночлен А в виде квадрата некоторого одночлена В, если А = - 25а⁴.
4. Представить одночлен А в виде куба некоторого одночлена В, если А — 8a⁴.

_{Сборник конспектов уроков по математике скачать, календарно-тематическое планирование, учебники по всем предметам онлайн}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.