Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Функции у = sin х, у = cos x, их свойства и графики

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Функции у = sin х, у = cos x, их свойства и графики


Функции у = sin х, у = cos x, их свойства и графики


В этом параграфе мы обсудим некоторые свойства функций у = sin х,у = соs х и построим их графики.


1. Функция у = sin X.

Выше, в § 20, мы сформулировали правило, позволяющее каждому числу t поставить в соответствие число cos t, т.е. охарактеризовали функцию y = sin t. Отметим некоторые ее свойства.

Свойства функции u = sin t.

Свойство 1.

Область определения — множество К действительных чисел.
Это следует из того, что любому числу 2 соответствует на числовой окружности точка М(1), которая имеет вполне определенную ординату; эта ордината и есть cos t.

Свойство 2.

u = sin t — нечетная функция.

Это следует из того, что, как было доказано в § 19, для любого t выполняется равенство Alg61.jpg
Значит, график функции и = sin t, как график любой нечетной функции, симметричен относительно начала координат в прямоугольной системе координат tOи.


Свойство 3.

Функция u = sin t возрастает на отрезке Свойство
Это следует из того, что при движении точки по первой четверти числовой окружности Точка ордината постепенно увеличивается (от 0 до 1 — см. рис. 115), а при движении точки по второй четверти числовой окружности Alg64.jpg ордината постепенно уменьшается (от 1 до 0 — см. рис. 116).

Числовая окружность


Свойство 4.

Функция u = sin t ограничена и снизу, и сверху. Это следует из того, что, как мы видели в § 19, для любого t справедливо неравенство

Неравенство


Свойство 5.

Свойство (этого значения функция достигает в любои точке видаСвойство (этого значения функция достигает в любой точке вида Функция
Воспользовавшись полученными свойствами, построим график интересующей нас функции. Но (внимание!) вместо u — sin t будем писать у = sin x (ведь нам привычнее запись у = f(х), а не u = f(t)). Значит, и строить график будем в привычной системе координат хОу (а не tOy).

Составим таблицу значений функции у — sin х:

Таблица


Замечание.

Приведем одну из версий происхождения термина «синус». По-латыни sinus означает изгиб (тетива лука).

Построенный график в какой-то степени оправдывает эту терминологию.
Графики
 Линию, служащую графиком функции у = sin х, называют синусоидой. Ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 118 или 119, называют волной синусоиды, а ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 117, называют полуволной или аркой синусоиды.


2. Функция у = соs х.

Изучение функции у = соs х можно было бы провести примерно по той же схеме, которая была использована выше для функции у = sin х. Но мы выберем путь, быстрее приводящий к цели. Сначала докажем две формулы, важные сами по себе (в этом вы убедитесь в старших классах), но пока имеющие для наших целей лишь вспомогательное значение.

Для любого значения t справедливы равенства

Формулы
Доказательство. Пусть числу t соответствует точка М числовой n окружности, а числу * + — —точка Р (рис. 124; ради простоты мы взяли точку М в первой четверти). Дуги АМ и ВР равны, соответственно равны и прямоугольные треугольники ОКМ и ОЬР. Значит, О К = ОЬ, МК = РЬ. Из этих равенств и из расположения треугольников ОКМ и ОЬР в системе координат делаем два вывода:

1) ордината точки Р и по модулю и по знаку совпадает с абсциссой точки М; это значит, что

Числовая окружность

2) абсцисса точки Р по модулю равна ординате точки М, но отличается от нее знаком; это значит, что

Равенство
Примерно так же проводятся соответствующие рассуждения в тех случаях, когда точка М принадлежит не первой четверти.
Воспользуемся формулой Формула (это — формула, доказанная выше, только вместо переменной t мы используем переменную х). Что дает нам эта формула? Она позволяет утверждать, что функции

Функции тождественны, значит, их графики совпадают.
Построим график функцииЗадание Для этого перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке Задание (пунктирная прямая Задание проведена на рис. 125). Привяжем функцию у = sin х к новой системе координат — это и будет график функции Задание (рис. 125), т.е. график функции у - соs х. Его, как и график функции у = sin х, называют синусоидой (что вполне естественно).


Свойства функции у = соs х.

Свойство 1.

Свойство

Свойство 2.

у = соs х — четная функция.

График
Этапы построения отражены на рис. 126:

График

1)    строим график функции у = соs х (точнее, одну полуволну);
2)    растянув построенный график от оси х с коэффициентом 0,5, получим одну полуволну требуемого графика;
3)    с помощью полученной полуволны строим весь график функции у = 0,5 соs х.


А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс


Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.