Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Функции у = x-n (n є N), их свойства и графики

 Функции у = x-n (n є N), их свойства и графики

Продолжаем расширять класс функций, с которыми нам нужно, образно говоря, познакомиться накоротке. В предыдущем параграфе таковыми были степенные функции с натуральным показателем у=xⁿ, а в этом параграфе мы рассмотрим функции вида у = x^-n где n — натуральное число. Их называют степенными функциями с отрицательным целым показателем.
По определению степени с отрицательным показателем,
Поэтому вместо записи у = х^-n можно использовать запись

Одну функцию такого вида мы с вами изучили в курсе алгебры 8-го класса — это была функция Вам известны и свойства этой функции, и ее график — гипербола (рис. 81). Сделаем следующий шаг: рассмотрим функцию Начнем с исследования функции на четность, что, видимо, вас не удивит. Вспомните, ведь и в предыдущем параграфе мы начинали с использования четности функции у = х⁴ и нечетности функции у = х³.
Итак, докажем, что — четная функция.
Заметим прежде всего, что область определения функции — множество всех действительных чисел, за исключением значения х = 0; это — симметричное множество. Далее имеем:

таким образом, для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х) = f(х). Это значит, что — четная функция.
Свойство четности функции нам сейчас очень пригодится. Мы ведь знаем, что график четной функции симметричен относительно оси ординат. Значит, можно поступить так: рассмотреть эту функцию на открытом луче (0, ) и построить ее график на указанном луче. Затем, используя симметрию, построить график функции на всей числовой прямой и с его помощью перечислить свойства функции по той схеме, которая была использована в предыдущем параграфе.
1. Функция , x > О
Составим таблицу значений для этой функции:

Построим точки на координатной плоскости (рис. 82а), они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 826).

2. Функция у = x^-2

Рассмотрим график, изображенный на рис. 826. Добавив к нему ветвь, симметричную построенной относительно оси ординат, получим график функции

Свойства функции у = х ^-2:
1 )
2)    четная функция;
3)    убывает на открытом луче (0, +оо), возрастает на открытом луче (-оо, 0);
4)    ограничена снизу, не ограничена сверху;
5)    нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6)    непрерывна при х < 0 (т.е. на открытом луче (-оо, 0)) и при х > 0 (т.е. на открытом луче (0, +оо));
7) Е(f)    = (0,+оо);
8)    выпукла вниз и при х < 0, и при х > 0.

Как и в предыдущем параграфе, свойства 1) - 5) мы в состоянии доказать строго. Докажем для примера убывание функции при х > 0. Пусть х₁> х₂> 0. По свойствам числовых неравенств, имеем:

Итак, для функции у = f(х), где f(х) = х^-2, мы доказали, что из х₁ > х₂ > 0 следует f(х₂) < f(х₂), а это и означает убывание функции на открытом луче (0, +оо).

3. Функция у = х^-2n
Речь идет о функциях График любой такой функции похож на график функции   (рис. 83). Отметим, что кривая асимптотически приближается к осям координат. Говорят также, что ось х (т.е. прямая у = 0) является горизонтальной асимптотой графика функции , а ось у (т.е. прямая х = 0) является вертикальной асимптотой этого графика.

4. Функция  у = x^-(2n+1)

Речь идет о функциях График любой такой функции похож на график функции (рис. 81).
Отметим, что ось х является горизонтальной асимптотой графика функции а ось у является вертикальной асимптотой этого графика.

Свойства функции

2)    нечетная функция;
3)    убывает на открытом луче (0, +оо) и на открытом луче (+оо,0);
4)    не ограничена ни снизу, ни сверху;
5)    нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6)    непрерывна при х < 0 и при х > 0;
7)    Е(f) = (+оо,0) U (0, +оо);
8)    выпукла вверх при х < 0, выпукла вниз при х > 0.
Пример 1.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке:
а)
Решение.

Для ответа на поставленный вопрос можно использовать график функции (рис. 83), а можно опираться на свойство монотонности; ниже мы будем действовать и так, и так.

а)Функция убывает при х > 0, значит, свое наименьшее и наибольшее значения она может достигать только на концах промежутка (соответственно, на правом и левом), если, разумеется, эти концы принадлежат промежутку. В рассматриваемом случае

б) Функция возрастает при х < 0, значит, свое наименьшее и наибольшее значения она может достигать только на концах промежутка (соответственно на левом и правом), если, разумеется, эти концы принадлежат промежутку. В рассматриваемом случае   не существует (правый конец не принадлежит заданному промежутку).

в) С помощью графика функции (рис. 83) устанавливаем, что не существует, а = 1.
Пример 2.

Построить график функции у = (х- I)^-3 + 2.

Решение.

1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; 2) (пунктирные прямые x= 1 и у = 2 на рис. 84а).

2) Привяжем функцию у = х^-3 к новой системе координат — это и будет требуемый график (рис. 846).

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.