Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Функция у = ах2 + bх + с, ее свойства и график

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Функция у = ах2 + bх + с, ее свойства и график


Функция у = ах2 + bх + с, ее свойства и график


Рассмотрим многочлен ах2 + bх + с, где а, b, с — числа (коэффициенты), причем а 11-06-160.jpg. Его обычно называют квадратным трехчленом; при этом одночлен ах2 называют старшим членом квадратного трехчлена, а коэффициент а — старшим коэффициентом.

Функцию у = ах2 + bх + с, где а, b, с — произвольные числа, причем а 11-06-160.jpg, называют квадратичной функцией. Это название можно объяснить тем, что старший член трехчлена  ах2 +bх + с содержит х в квадрате.

Опираясь на результаты, полученные выше, мы с вами сможем построить график любой квадратичной функции. Один такой график мы построили в конце предыдущего параграфа, воспользовавшись методом выделения полного квадрата. Рассмотрим еще один пример.

Пример 1. Построить график функции у = - bх2 - 6х + 1.

Решение. Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене -bх2 - 6х + 1. Имеем
-Зх2 - вх + 1 = -3(х2 + 2х) + 1 = -3((х2 + 2х + 1) - 1) + 1 =  - 3 ((x + I)2 - 1) + 1 = - 3 (х + I)2 + 3 + 1 = - 3 (х + I)2 + 4.

Для построения графика функции у = -3(х + I)2 + 4 перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 4) (пунктирные прямые х = -1 и у = 4 на рис. 61).

Привяжем функцию у = - Зх2 к новой системе координат.

С этой целью выберем контрольные точки для функции у = - Зх2, например: (0; 0), (1; -3), (-1; -3), (2; -12), (-2; -12), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 61). По этим точкам построим параболу — получим требуемый график (рис. 62).

Итак, применив метод выделения полного квадрата, мы преобразовали квадратный трехчлен к виду а(х + I)2 + m и использовали алгоритм 2 из §12 (заметим, что с равным успехом мы могли бы использовать и алгоритм 1 — кому что  нравится). Оказалось что графиком функции  у = -Зх2- 6x = 1 является парабола которая получается из параболы у = -Зх2 параллельным переносом А в конце предыдущего параграфа мы установили, что графиком функции у = х2 - 4x+ 5 так же является парабола; она получается из параболы у = х2 параллельным переносом. Оказывается график любой квадратичной функции у = ах2+ bх + с можно получить из параболы у = ах2 параллельным переносом, причем для доказательства этого факта используется та же идея — выделение полного квадрата.

Функция у = ах2 + bх + с, ее свойства и график

Доказательство. Воспользуемся методом выделения полного квадрата. Имеем

Доказательство

Доказательство

Итак, нам удалось преобразовать квадратный трехчлен ах2 + bх + с к виду а(х + I)2 + m, гдеДоказательство

Чтобы построить график функции у = а(х + I)2 + m, нужно выполнить параллельный перенос параболы у = ах2 так, чтобы вершина параболы оказалась в точке (-l; m) (рис. 63). Теорема доказана.


График
Обратите внимание на следующее важное обстоятельство: из проведенного доказательства следует, что вершиной параболы у = ах2 + bх + с служит точка (-l; m). Осью параболы является прямая х = -l, т. е. Формула
Итак, осью параболы у = ах2 + bх + с служит прямая Формула; абсцисса х0 вершины параболы у = ах2 + bх + с вычисляется по формуле

Формула

Формулу для ординаты вершины параболы запоминать не нужно (речь идет о формуле у0 = m, т.е. Формула

Во-первых, она довольно громоздкая, а во-вторых, если известна абсцисса х0, то ординату у0 всегда можно вычислить по формуле
y0= f(х0 ), где f(х) =ax2 + bx = c,

Пример 2. Не выполняя построения графика функции y = - 3x2 - 6 = 1 ответить на следующие вопросы:

а) Какая прямая служит осью параболы?

б) Каковы координаты вершины параболы?

в) Куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы?

Решение, а) Здесь а = - 3, b = - 6. Уравнение оси параболы Решение
б) Абсцисса х0 вершины параболы нам уже известна: х0 = - 1. Ординату у0 найдем по формуле у0 = f(x0), где f(x) = -bх2 - 6х + 1.
Имеем
Уо = f(xо) = f(- 1) = - 3(- I)2 - 6(- 1) + 1 = 4.
Итак, вершиной параболы служит точка (- 1; 4).

в) Парабола у = - 3х2 - 6х + 1 получается параллельным переносом параболы у = -Зх2. Ветви параболы у = -Зх2 направлены вниз (поскольку коэффициент при х2 отрицателен), значит, и у параболы у = - Зх2 - 6х + 1 ветви направлены вниз.

Замечание. Сравните примеры 1 и 2. Речь в них идет об одной и той же параболе, но в примере 1 мы ее построили, а в примере 2 строить параболу было не нужно. Проверьте по рис. 62 правильность ответов на вопросы примера 2. Для любой функции вида у = ах2 + bх + с можно ответить на поставленные в примере 2 вопросы, не строя параболу — график функции. Легче всего ответить на вопрос, куда направлены ветви параболы:

ветви параболы у = ах2 + bх + с направлены вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0.

Несколько сложнее найти уравнение оси параболы: Формула (сложнее, поскольку приходится немного посчитать). И еще сложнее (требуется больше вычислений) находятся координаты вершины параболы: абсциссой является число Формула а ордината у0 вычисляется по формуле у0 = f(x0), где f(x) = ах2 + bх + с, 4ас-b2
или по формуле Формула
ПримерЗ. Построить график функции у = 2х2 - 6х + 1.

Решение. Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх, поскольку старший коэффициент 2 — положительное число. Найдем координаты вершины параболы.

Имеем а = 2, b = -6;

Формула


y0 =f(x0) = f (1,5), где f(x) = 2х2 -6х + 1. Значит, у0 = f(1,5) = 2 • 1,52 - 6 • 1,5 + 1 =  -3,5.

На рис. 64 отмечена точка (1,5; - 3,5) — вершина искомой параболы, проведена ось параболы. Чтобы построить саму параболу, поступим  так: возьмем на оси х две точки, симметричные  относительно оси параболы, например точки х = 0 и х = 3; вычислим значения функции в этих точках, учтя, что f (0) =f(3). Имеем f(0) = 1, значит, и f(3) = 1. Точки (0; 1) и (3; 1) отмечены на рис. 64. А теперь, зная три точки, построим искомую параболу (рис. 65)


Графики


Фактически мы получили алгоритм построения графика квадратичной функции. Оформим его.

Алгоритм построения параболы у = ах2 + bх + с

1. Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось параболы.

2. Отметить на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы (чаще всего в качестве одной из таких точек берут точку х = 0), найти значения функции в этих точках; построить на координатной плоскости соответствующие точки.

3. Через полученные три точки провести параболу (в случае необходимости берут еще пару точек, симметричных относительно оси параболы, и строят параболу по пяти точкам).

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = - 2х2 + 8x - 5 на отрезке [0, 3].

Решение.

Первый этап. Построим параболу, служащую графиком заданной функции. Воспользуемся алгоритмом.
1) Имеем
Решение

Значит, вершиной параболы служит точка (2; 3), а осью параболы — прямая х = 2 (рис. 66).

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = 0 и х = 4. Имеем f(0) =f(4) = = -5; построим на координатной плоскости точки (0; - 5) и (4; - 5) (рис. 66).
Графики

3) Через точки (2; 3), (0; -5), (4; -5) проводим параболу (рис. 67).

Второй этап. Выделим часть построенного графика на отрезке [0, 3]. Замечаем (см. выделенную часть параболы на рис. 67), что унаим. = - 5 (достигается при х = 0), а yнаиб. = 3 (достигается при х = 2).

Решение

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Книги и учебники согласно календарному плануванння по математике 8 класса скачать, помощь школьнику онлайн

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.