Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Функция у = х2 и ее график

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Функция у = х2 и ее график



                                                 Функция У = X2 и её график


В главе 6 мы ввели термин «линейная функция», понимая под этим линейное уравнение вида у = kx + m с двумя переменными х, у. Правда, переменные х, у, фигурирующие в этом уравнении (в этой математической модели) считались неравноправными: х — независимая переменная (аргумент), которой мы могли придавать любые значения, независимо ни от чего; у — зависимая переменная, поскольку ее значение зависело от того, какое значение переменной х было выбрано. Но тогда возникает естественный вопрос: а не встречаются ли математические модели такого же плана, но такие, у которых у выражается через х не по формуле у = kx + m, а каким-то иным способом? Ответ ясен: конечно, встречаются. Если, например, х — сторона квадрата, а у — его
площадь, то у — х2. Если х — сторона куба, а у — его объем, то у — х3. Если х — одна сторона прямоугольника, площадь которого равна 100 см2, а у — другая его сторона, то Модель . Поэтому, естественно, что в математике не ограничиваются изучением модели y—kx + m, приходится изучать и модель у = х2, и модель у = х3, и модель Модель , и многие другие модели, имеющие такую же структуру: в левой части равенства находится переменная у, а в правой — какое-то выражение с переменной х. Для таких моделей сохраняют термин «функция», опуская прилагательное «линейная».

В этом параграфе мы рассмотрим функцию у = х2 и построим ее график.

Дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у (по формуле у = x2):

если х = 0, то у = О2 = 0;
если х = 1, то у = I2 = 1;
если х = 2, то у = 22 = 4;
если х = 3, то у = З2 = 9;
если х = - 1, то у = (- I2) — 1;
если х = - 2, то у = (- 2)2 = 4;
если х = - 3, то у = (- З)2 = 9;
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

  X   0
  1
  2
  3
  -1
  -2
  -3
  У   0
  1
  4
  9
  1
  4
  9


Построим найденные точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), на координатной плоскости хОу (рис. 54, а).

Эти точки расположены на некоторой линии, начертим ее (рис. 54, б). Эту линию называют параболой.


Координатная плоскость

Конечно, в идеале надо было бы дать аргументу х все возможные значения, вычислить соответствующие значения переменной у и построить полученные точки (х; у). Тогда график был бы абсолютно точным, безупречным. Однако это нереально, ведь таких точек бесконечно много. Поэтому математики поступают так: берут конечное множество точек, строят их на координатной плоскости и смотрят, какая линия намечается этими точками. Если контуры этой линии проявляются достаточно отчетливо (как это было у нас, скажем, в примере 1 из § 28), то эту линию проводят. Возможны ли ошибки? Не без этого. Поэтому и надо все глубже и глубже изучать математику, чтобы были средства избегать ошибок.

Попробуем, глядя на рисунок 54, описать геометрические свойства параболы.

Во-первых, отмечаем, что парабола выглядит довольно красиво, поскольку обладает симметрией. В самом деле, если провести выше оси х любую прямую, параллельную оси х, то эта прямая пересечет параболу в двух точках, расположенных на равных расстояниях от оси у, но по разные стороны от нее (рис. 55). Кстати, то же можно сказать и о точках, отмеченных на рисунке 54, а:

(1; 1} и (- 1; 1); (2; 4) и (-2; 4); C; 9) и (-3; 9).

Говорят, что ось у является осью симметрии параболы у=х2 или что парабола симметрична относительно оси у.

Во-вторых, замечаем, что ось симметрии как бы разрезает параболу на две части, которые обычно называют ветвями параболы.

В-третьих, отмечаем, что у параболы есть особая точка, в которой смыкаются обе ветви и которая лежит на оси симметрии параболы — точка (0; 0). Учитывая ее особенность, ей присвоили специальное название — вершина параболы.

В-четвертых, когда одна ветвь параболы соединяется в вершине с другой ветвью, это происходит плавно, без излома; парабола как бы «прижимается» к оси абсцисс. Обычно говорят: парабола касается оси абсцисс.

Теперь попробуем, глядя на рисунок 54, описать некоторые свойства функции у = х2.

Во-первых, замечаем, что у — 0 при х = 0, у > 0 при х > 0 и при х < 0.

Во-вторых, отмечаем, что yнаим. = 0, а унаиб не существует.

В-третьих, замечаем, что функция у = х2 убывает на луче (-°°, 0] — при этих значениях х, двигаясь по параболе слева направо, мы «спускаемся с горки» (см. рис. 55). Функция у = х2 возрастает на луче [0, +оо) — при этих значениях х, двигаясь по параболе слева направо, мы «поднимаемся в горку» (см. рис. 55).
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х2:

а) на отрезке [1, 3];
б) на отрезке [- 3, - 1,5];
в) на отрезке [- 3, 2].

Решение,

а) Построим параболу у = х2 и выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [1, 3] (рис. 56). Для выделенной части графика находим унаим. = 1 (при х = 1), унаиб. = 9 (при х = 3).

б) Построим параболу у = х2 и выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [-3, -1,5] (рис. 57). Для выделенной части графика находим yнаим. = 2,25 (при х = - 1,5), унаиб. = 9 (при х = - 3).

в) Построим параболу у = х2 и выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [-3, 2] (рис. 58). Для выделенной части графика находим унаим = 0 (при х = 0), унаиб. = 9 (при х = - 3).

Координатная плоскость


Совет. Чтобы каждый раз не строить график функции у — х2 по точкам, вырежьте из плотной бумаги шаблон параболы. С его помощью вы будете очень быстро чертить параболу.

Замечание. Предлагая вам заготовить шаблон параболы, мы как бы уравниваем в правах функцию у = х2 и линейную функцию у = кх + m. Ведь графиком линейной функции является прямая, а для изображения прямой используется обычная линейка — это и есть шаблон графика функции у = кх + m. Так пусть у вас будет и шаблон графика функции у = х2.

Пример 2. Найти точки пересечения параболы у = х2 и прямой у - х + 2.

Решение. Построим в одной системе координат параболу у = х2 прямую у = х + 2 (рис. 59). Они пересекаются в точках А и В, причем по чертежу нетрудно найти координаты этих точек А и В: для точки А имеем: x = - 1, y = 1, а для точки В имеем: х — 2, у = 4.

Ответ: парабола у = х2 и прямая у = х + 2 пересекаются в двух точках: А (-1; 1) и В(2;4).

Важное замечание. До сих пор мы с вами довольно смело делали выводы с помощью чертежа. Однако математики не слишком доверяют чертежам. Обнаружив на рисунке 59 две точки пересечения параболы и прямой и определив с помощью рисунка координаты этих точек, математик обычно проверяет себя: на самом ли деле точка (-1; 1) лежит как на прямой, так и на параболе; действительно ли точка (2; 4) лежит и на прямой, и на параболе?

Координатная плоскость

Для этого нужно подставить координаты точек А и В в уравнение прямой и в уравнение параболы, а затем убедиться, что и в том, и в другом случае получится верное равенство. В примере 2 в обоих случаях получатся верные равенства. Особенно часто производят такую проверку, когда сомневаются в точности чертежа.

В заключение отметим одно любопытное свойство параболы, открытое и доказанное совместно физиками и математиками.

Если рассматривать параболу у = х2 как экран, как отражающую поверхность, а в точке Точка поместить источник света, то лучи, отражаясь от параболы экрана, образуют параллельный пучок света (рис. 60). Точку Точка называют фокусом параболы. Эта идея используется в автомобилях: отражающая поверхность фары имеет параболическую форму, а лампочку помещают в фокусе — тогда свет от фары распространяется достаточно далеко.


Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.