Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Что означает в математике запись у = f(x)

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Что означает в математике запись у = f(x)



         Что означает в математике запись  у = f(x)


Изучая какой-либо реальный процесс, обычно обращают внимание на две величины, участвующие в процессе (в более сложных процессах участвуют не две величины, а три, четыре и т.д., но мы пока такие процессы не рассматриваем): одна из них меняется как бы сама по себе, независимо ни от чего (такую переменную мы обозначили буквой х), а другая величина принимает значения, которые зависят от выбранных значений переменной х (такую зависимую переменную мы обозначили буквой у). Математической моделью реального процесса как раз и является запись на математическом языке зависимости у от х, т.е. связи между переменными х и у. Еще раз напомним, что к настоящему моменту мы изучили следующие математические модели: у = b, у = kx, y = kx + m, у = х2.

Есть ли у этих математических моделей что-либо общее? Есть! Их структура одинакова: у = f(x).

Эту запись следует понимать так: имеется выражение f(x) с переменной х, с помощью которого находятся значения переменной у.

Математики предпочитают запись у = f(x) не случайно. Пусть, например, f(x) = х2, т. е. речь идет о функции у = х2. Пусть нам надо выделить несколько значений аргумента и соответствующих значений функции. До сих пор мы писали так:

если х = 1, то у = I2 = 1;
если х = - 3, то у = (- З)2 = 9 и т. д.

Если же использовать обозначение f(x) = х2, то запись становится более экономной:

f(1) = 12=1;
f(-3) = (-3)2 = 9.

Итак, мы познакомились еще с одним фрагментом математического языка: фраза «значение функции у = х2 в точке х = 2 равно 4» записывается короче:

«если у = f(x), где f(x) = x2, то f(2) = 4».

А вот образец обратного перевода:

Если у = f(x), где f(x) = x2, то f(- 3) = 9. По-другому — значение функции у = х2 в точке х = - 3 равно 9.

П р и м е р 1. Дана функция у = f(x), где f(x) = х3. Вычислить:

а) f(1);             б) f(- 4);       в) f(о);           г) f(2а);
д) f(а-1);          е) f(3х);       ж) f(-х).

Решение. Во всех случаях план действий один и тот же: нужно в выражении f(x) подставить вместо х то значение аргумента, которое указано в скобках, и выполнить соответствующие вычисления и преобразования. Имеем:


Выражения


Замечание. Разумеется, вместо буквы f можно использовать любую другую букву (в основном, из латинского алфавита): g(x), h (х), s (х) и т. д.

Пример 2. Даны две функции: у = f(x), где f(x) = х2, и у = g (х), где g (х) = х3. Доказать, что:

а) f(-x) = f(x);                  b) g(-x)= -g(x).

Р е ш е н и е. а) Так как  f(x) = х2, то f(- х) = (- х)2 = х2. Итак,  f(x) = х2,  f(- х) = х2, значит, f(- x) =f (x)

б) Так как g{x) = х3, то g(- x) = -x3, т.e. g(-x) = -g(x).

Использование математической модели вида у = f(x) оказывается удобным во многих случаях, в частности, тогда, когда реальный процесс описывается различными формулами на разных промежутках изменения независимой переменной.

Пример 3. Дана функция у = f{x), где

Функция


а) Вычислить: f(- 5), f(- 2), f(1,5),f(4), f(0).

б) Построить график функции у = f(x).

Решение,

а) Что такое f-5)? Это значение заданной функции в точке х = -5. Но функция задана не одним выражением, а двумя: 2х и х2. Каким из них воспользоваться? Это зависит от выбранного значения аргумента. Мы выбрали х = -5, а число -5 удовлетворяет неравенству х < 0; в этом случае функция задается выражением, стоящим в первой строке, т.е. f(x) — 2x. Тогда f(-5) = 2-(-5) = -10.

Аналогично вычисляем f(- 2): если x = -2, то х < 0  и, значит, f(x) = 2х, т. е. f(- 2) = 2 • (- 2)= - 4.

Вычислим f(1,5), т.е. значение функции у = f(x) в точке х = 1,5. Это значение х удовлетворяет условию х > 0, и, следовательно, функция задается выражением, стоящим во второй строке, т. е. f{x) = х2. Поэтому f(1,5) = 1,52 = 2,25.


Графики


Аналогично находим f(4): если х = 4, то х > 0 и, значит, f(x) = х2, т.е.f(4) = 42 = 16.
Осталось вычислить f(0). Значение х = 0, удовлетворяет условию х>0, следовательно, f(x) = х2, т.е. f(О) = О2 = 0.

б) Мы умеем строить графики функций у = 2х (рис. 62) и у = х2 (рис. 63). Заданная функция y = f(x) совпадает с функцией у = 2х при х < 0 — эта часть графика выделена на рисунке 62. Заданная функция у = f(x) совпадает с функцией у = х2 при х > 0 — эта часть графика выделена на рисунке 63. Если мы теперь изобразим обе выделенные части в одной системе координат, то получим требуемый график функции у = f(x) (рис. 64).

Конечно, математики не строят подобные графики так долго. Обычно все делается сразу в одной системе координат. Только, естественно, прямая у = 2х берется не целиком, а лишь при условии х < 0, у т. е. на промежутке (- оо, 0), и парабола у = х2 берется не целиком, а лишь при условии х > 0, т. е. на
промежутке [0, +оо). Вот так, «по кусочкам» и воспроизводится весь график. Поэтому функции такого типа, как в примере 3, называют кусочными.

Пример 4. Дана функция у = f(x), где

Функция

Графики

а) Вычислить: f(- 4), f(- 2),f(-0,5), f(0), f(1A);

б) построить график функции у = f(x).

Решение. а) Значение x = -4 удовлетворяет условию  -4<л:<-1, а в этом случае f(x) = х + 2. Поэтому f(- 4) = -4 + 2 = -2.

Значение х = - 2 удовлетворяет условию -4<х<-1,а в этом случае f(x) = х + 2. Значит, f(- 2) = - 2 + 2 = 0.

Значение х = - 0,5 удовлетворяет условию -1<х<0, а в этом случае f(x) = х2. Следовательно, f( - 0,5) = (-0.5)2 = 0,25.

Значение х = 0 удовлетворяет условию -1<x<0, а в этом случае f(x) = x2. Тогда f(0) = О2 = 0.

Значение х = 1 удовлетворяет условию 0 <x< 4, а в этом случае f(x) = 2. Имеем  f(1) = 2.
Значение x = 5 не удовлетворяет ни одному из имеющихся условий: ни первому -4 < х <-1, ни второму -1 <x< 0, ни третьему 0 < х <4.
Поэтому вычислить f(5) мы не можем, это задание некорректно.

б) График функции у = f(x) построим «по кусочкам». На рисунке 65 изображен график функции  у = х + 2, х є [-4, -1]. На рисунке 66 представлен
график функции у = х2, где х є [-1, 0]. На рисунке 67 изображен график функции у = 4, где  x є[ 0, 4].

Наконец, на рисунке 68 все «кусочки» воссоединены в одно целое — в график функции у = f(x).

Вот так с помощью известных графиков «по кусочкам» можно строить графики на координатной плоскости.

Опишем с помощью построенного на рисунке 68 графика некоторые свойства функции у — f(x) — такое описание свойств обычно называют чтением графика.

Чтение графика — это своеобразный переход от геометрической модели (от графической модели) к словесной модели (к описанию свойств функции). А
построение графика — это переход от аналитической модели (она представлена в условии примера 4) к геометрической модели.

Итак, приступаем к чтению графика функции у = f(x) (см. рис. 68).

1. Независимая переменная х пробегает все значения от - 4 до 4. Иными словами, для каждого значения х из отрезка [- 4, 4] можно вычислить значение функции f(x). Говорят так: [-4, 4] — область определения функции.

Почему при решении примера 4 мы сказали, что найти f(5) нельзя? Да потому, что значение х = 5 не принадлежит области определения функции.

2. yнаим= -2 (этого значения функция достигает при х = -4); Унанб. = 2 (этого значения функция достигает в любой точке полуинтервала (0, 4].

3. у = 0, если 1 = -2 и если х = 0; в этих точках график функции y = f(x) пересекает ось х.

4. у > 0, если х є (-2, 0) или если x є (0, 4]; на этих промежутках график функции y = f(x) расположен выше оси х.

5. у < 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.

6. Функция возрастает на отрезке [—4, -1], убывает на отрезке [-1, 0] и постоянна (ни возрастает, ни убывает) на полуинтервале (0,4].

По мере того как мы с вами будем изучать новые свойства функций, процесс чтения графика будет становиться более насыщенным, содержательным и интересным.

Обсудим одно из таких новых свойств. График функции, рассмотренной в примере 4, состоит из трех ветвей (из трех «кусочков»). Первая и вторая  ветви (отрезок прямой у = х + 2 и часть параболы) «состыкованы» удачно: отрезок заканчивается в к точке (-1; 1), а участок параболы начинается в  той же точке. А вот вторая и третья ветви менее  удачно «состыкованы»: третья ветвь («кусочек» горизонтальной прямой) начинается не в точке (0; 0), а в точке (0; 4). Математики говорят так: «функция у = f(x) претерпевает разрыв при х = 0 (или в точке х = 0)». Если же функция не имеет точек разрыва, то ее называют непрерывной. Так, все функции, с которыми мы познакомились в предыдущих параграфах (у = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) — непрерывные.

Пример 5. Дана функция Функция. Требуется построить и прочитать ее график.

Решение. Как видите, здесь функция задана достаточно сложным выражением. Но математика — единая и цельная наука, ее разделы тесно связаны друг с другом. Воспользуемся тем, что мы изучали в главе 5, и сократим алгебраическую дробь


Алгебраическая дробь

справедливо лишь при ограничениих не равно 2 Следовательно, мы можем переформулировать задачу так: вместо функции у = х2
будем рассматривать функцию у = х2, где Функция Построим на координатной плоскости хОу параболу у = х2.
Прямая х = 2 пересекает ее в точке (2; 4). Но по условию х не равно 2, значит, точку (2; 4) параболы мы должны исключить из рассмотрения, для чего на чертеже отметим эту точку светлым кружком.

Таким образом, график функции построен — это парабола у = х2 с «выколотой» точкой (2; 4) (рис. 69).

График функции
Перейдем к описанию свойств функции у = f (x), т. е. к чтению ее графика:

1. Независимая переменная х принимает любые значения, кроме х = 2. Значит, область определения функции состоит из двух открытых лучей (- 0о, 2) и

(2 + оо).

2. унаим = 0 (достигается при х = 0), унаиб_ не существует.

3. Функция не является непрерывной, она претерпевает разрыв при х = 2 (в точке х = 2).

4. у = 0, если х = 0.

5. у > 0, если х є (-оо, 0), если х є (0, 2) и если х є (B,+оо).
6. Функция убывает на луче (- со, 0], возрастает на полуинтервале [0, 2) и на открытом луче(2, +оо].


Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.