KNOWLEDGE HYPERMARKET



2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Что такое разложение многочлена на множители и зачем оно нужно

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Что такое разложение многочлена на множители и зачем оно нужно



              Что такое разложение многочлена на множители и зачем оно нужно

Для начала выполним знакомую операцию: умножим многочлен 2х - 3 на многочлен х + 2. Имеем:
(2х - 3) (ч + 2) = 2х • х + 2х • 2 - 3 • х - 3 • 2= 2x2 + 4х - Зх - 6 = 2x2 + х - 6.

Итак, (2х - 3) (х + 2) = 2х2 + х- 6.

Это равенство можно записать по-другому, поменяв его части местами:

2x2 + х - 6 = (2х - 3) (х + 2).
Такая запись означает, что многочлен 2x2 + х - 6 представлен в виде произведения более простых многочленов 2х - 3 и х + 2.

Обычно в таких случаях говорят, что многочлен удалось разложить на множители.

На самом деле термин «разложение многочлена на множители» вам уже знаком, мы несколько раз использовали его в главе 4, но там же мы говорили, что позднее более подробно обсудим эту проблему (проблему разложения многочлена на множители).

Это время пришло. Однако сначала убедимся в том, что разложение многочлена на множители — вещь полезная (иначе зачем нам этим заниматься?).

Представьте себе, что вам предложили решить уравнение 2х - 3 = 0. Вы справитесь с этим без труда: 2х — 3, х — 1,5. Затем вам предложили решить уравнение х + 2 = 0. И с ним вы справитесь легко: х = - 2. Пусть теперь вам предлагают решить уравнение
2x2 + х - 6 = 0, т. е. дать ответ на вопрос, при каких значениях х трехчлен 2x2 + х - 6 обращается в нуль, — эти значения х обычно называют корнями уравнения. Для таких уравнений имеется специальное правило решения, но вы его пока не знаете. Как быть?

Воспользуемся полученным выше разложением многочлена 2x2 + х - 6 на множители: 2x2 + х - 6 = (2x - 3) (x + 2). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:

(2x - 3) (x + 2) = 0.

Теперь остается воспользоваться следующим известным фактом: если произведение двух множителей равно нулю, то один из множителей равен нулю. Значит, либо 2x - 3 = 0, либо х + 2 = 0.

Задача свелась к решению двух более простых уравнений. Из уравнения 2x - 3 = 0 получаем x = 1,5. Из уравнения х + 2 = 0 получаем х = - 2. Уравнение решено, оно имеет два корня: 1,5 и - 2.

Итак, разложение многочлена на множители может пригодиться нам для решения уравнений.

Рассмотрим другую ситуацию. Пусть нужно найти значение числового выражения Числовое выражение. Самое эффективное решение — дважды воспользоваться формулой разности квадратов:


Разложение на множители

Разложение на множители позволило нам сократить дробь. Позднее мы оценим это и при выполнении действий с алгебраической дроби.

Таким образом, разложение многочлена на множители используется для решения уравнений, для преобразования числовых и алгебраических выражений. Применяется оно и в других ситуациях, как, скажем, в следующем довольно трудном, но красивом примере, где ключ к успеху опять таки в разложении на множители.

Пример. Доказать, что для любого натурального числа n выражение n3 + Зn2 + 2n делится без остатка на 6.

Решение. Пусть р (n) = n3 + Зn2 + 2n.
Если n = 1, то р(3) = 1 + 3 + 2 = 6. Значит, р (3) делится на 6 без остатка.
Если n = 2, то р(2) = 23 + 3•22 + 2•2 = 8 + 12 + 4 = 24. Следовательно, и р(2) делится на 6 без остатка.

Если n = 3, то р(З) = З8 + 3•32 + 2•3 = 27 + 27 + 6 = 60.Поэтому и р(3) делится на 6 без остатка.

Но вы же понимаете, что перебрать так все натуральные числа нам не удастся. Как быть? На помощь приходят алгебраические методы.

Имеем:
n3 + Зn2 + 2n = n (n + 1) (n + 2).

В самом деле n(n + 1) = n2+ n

a (n2+ n)(n+ 2)=n3+ 2n2+ n2+ 2n=n3+ 3n2+ 2n

Итак,
р(n) = n(n+1)(n + 2),


т. е. р (n) есть произведение трех идущих подряд натуральных чисел n,n + 1,n + 2. Но из трех таких чисел одно обязательно делится на 3, значит, и их произведение делится на 3. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел — четное, т. е. делится на 2, значит, и произведение делится на 2. Итак, р (n) делится и на 2, и на 3, т. е. делится и на 6.

Все прекрасно, скажете вы, но как догадаться, что n3 + Зn2 + 2n = n (n + 1) (n + 2)?

Ответ очевиден: надо учиться разложению многочленов на множители. К этому и перейдем: в каждом из следующих параграфов этой главы мы будем изучать тот или иной прием разложения многочлена на множители.


Материалы по математике за 7 класс  скачать, конспект по математике , учебники и книги скатать бесплатно, школьная программа онлайн



А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений



Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.