Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


29. Числовые последовательности

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Числовые последовательности


§ 29. Числовые последовательности


1. Определение числовой последовательности и способы ее задания.

Что такое числовая последовательность и как она задается, вам известно из курса алгебры 9-го класса. Напомним соответствующее определение.

Определение 1. Функцию вида Функция называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают Числовые последовательности

Иногда для обозначения последовательности используется запись (уn).

Последовательности можно задавать различными способами, например словесно, когда правило задания последовательности описано словами, без указания каких-то формул. Так, словесно задается последовательность простых чисел:


2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...


Особенно важны аналитический и рекуррентный способы задания последовательности.

Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее п-го члена.

Приведем три примера.

1)    уп =п2. Это — аналитическое задание последовательности
1,4, 9,16, ...,п2, ...

Указав конкретное значение п, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если, например, п =9, Числовые последовательности Напротив, если взят определенный член последовательности, можно указать его номер. Например, если уп =625, то из уравнения п2 =625 находим, что п =25. Это значит, что 25-й член заданной последовательности равен 625.

2)    уп =С. Здесь речь идет о последовательности Числовые последовательности

Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).

3)    уп =2n. Это — аналитическое задание последовательности Числовые последовательности

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить п-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Например, арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (а„), заданная рекуррентно соотношениями:

Числовые последовательности

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность , заданная рекуррентно соотношениями:

Числовые последовательности — знаменатель геометрической прогрессии). Прогрессии вы изучали в курсе алгебры 9-го класса.

2. Свойства числовых последовательностей

Числовая последовательность — частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций (ограниченность, монотонность) рассматривают и для последовательностей.

Определение 2. Последовательность (у„) называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Иными словами, последовательность (у„) ограничена сверху, если существует числом такое, что для любого л выполняется неравенство уn<М. Число М называют верхней границей последовательности.

Например, последовательность -1, -4, -9, -16, ...,-п2, ... ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взятьчисло -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.

Определение 3. Последовательность (у„) называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Иными словами, последовательность (уn) ограничена снизу, если существует число т такое, что для любого л выполняется неравенство у„>M. Число m называют нижней границей последовательности.

Например, последовательность 1, 4, 9, 16, ..., п2, ... ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше 1.

Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, то ее называют ограниченной. Например, Числовые последовательности Эта последовательность ограничена и сверху, и снизу. В качестве верхней границы можно взять число 1, в качестве нижней границы — число 0.

Если построить график последовательности

График
 в прямоугольной системе координат, то окажется, что весь он расположен в полосе между некоторыми горизонтальными прямыми, например, у=0, и у = 1 (рис. 97), а в зтом и состоит, как известно, геометрический признак ограниченности функции.

Особенно наглядным становится свойство ограниченности последовательности, если члены последовательности отметить точками на числовой прямой. Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности (точнее, соответствующие им точки прямой) принадлежат некоторому отрезку. Так, изобразив члены последовательности точками на числовой прямой, замечаем, что все они принадлежат отрезку [0, 1] (рис. 98).

Числовые последовательности
Определение 4. Последовательность (у„) называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего:

Числовые последовательности
Например, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... — возрастающая последовательность.

Определение 5. Последовательность (у„) называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего:
Числовые последовательности
Например, Числовые последовательности  убывающая последовательность.
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности. Приведем еще несколько примеров.
Числовые последовательности Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотбнная последовательность).
2)    уn =2n. Речь идет о последовательности 2, 4, 8, 16, 32, ... Это — возрастающая последовательность.
Вообще, если а > 1, то последовательность уnn возрастает.
Задание
Речь идет о последовательности Числовые последовательности
Это — убывающая последовательность.
Вообще, если 0 <а < 1, то последовательность уnn убывает.


А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс


Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.