Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


3. Числовая окружность на координатной плоскости

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Числовая окружность на координатной плоскости


Числовая окружность на координатной плоскости


Расположим окружности в декартовой прямоугольной системе координат хОу так, как показано на рис. 104: центр окружности совмещен с началом координат, радиус окружности принимается за масштабный отрезок. Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой (1; 0) на оси х. При этом координаты Каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем: у точек первой четверти — х > 0, у> 0; у точек второй четверти — х < 0, у > 0; у точек третьей четверти — х < 0, у < 0; у точек четвертой четверти — х > 0, у < 0 (рис. 104).

Числовая окружность
 Для любой точки М(х; у) числовой окружности выполняются неравенства: неравенства
Нетрудно составить уравнение числовой окружности. Для этого заметим, во-первых, что центром окружности служит начало координат, а уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х2 + у2 = R2. Заметим, во-вторых, что R— 1; значит, уравнение числовой окружности имеет вид х22 = 1.
Нам важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, прежде всего тех, которые представлены на первом и втором макетах (рис. 100 и 101). Начнем с точек первого макета:

координаты точек
Точка Alg25.jpg середина первой четверти. Опустим из точки М. перпендикуляр М на прямую ОА и рассмотрим треугольник ОМ}Р (рис. 105). Так как дуга АМХ составляет половину дуги АВ, то Alg26.jpg Значит, ОМ1Р — равнобедренный прямоугольный треугольник; его катеты ОР и М1Р равны, т.е. у точки Мх абсцисса и ордината равны: х = у. Кроме того, координаты точки М1х; у) удовлетворяют уравнению окружности х2 + у2 = 1. Таким образом, для отыскания координат точки Мх нужно решить систему уравнений

система  уравнений
Подставив х вместо у во второе уравнение системы, получим:

уравнение
1 1 -ЛИ
(мы учли, что абсцисса точки М1 положительна). А так как у = х,то И

Числовая окружность
Итак,

формула
Проанализируем полученное равенство. Что означает запись Alg211.jpg  Она означает, что точка М1 числовой окружности соответствует числу Alg215.jpg А что означает запись Alg216.jpg Она означает,

что точка имеет соответствующие координаты в прямоугольной системе координат хОу. И в дальнейшем будем придерживаться подобного способа записи: если будет написано М(1), то это значит, что точка М числовой окружности соответствует числу Ц если будет написано М(х; у), то это значит, что числа хиу являются соответственно абсциссой и ординатой точки М. Таким образом, (х; у) — декартовы координаты точки М, а I — «криволинейная» координата точки М на числовой окружности.
Рассмотрим точку Alg217.jpg  середину второй четверти. Рассуждая, как и выше, получим для модуля абсциссы и для модуля ординаты этой точки те же значенияAlg218.jpg Но, учтя, что во второй четверти х < 0, а у > О, делаем вывод:

решение

таблица
Теперь найдем координаты точек, изображенных на втором макете (рис. 101). Возьмем точку Alg221.jpg  опустим из нее перпендикуляр М1Р на прямую ОА и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМхР (рис. 106). Гипотенузой этого треугольника является ОМ , причем ОМх = 1. Угол МуОР равен 30°, поскольку дуга АМ1 составляет треть дуги АВ, а дуга АВ содержит 90°. Из геометрии известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, Alg222.jpg это ордината точки М:

Числовая окружность

По теореме Пифагора,

решение
(мы учли, что точка Alg225.jpg принадлежит первой четверти, а потому обе ее координаты — положительные числа).
С точкой Alg226.jpgсвязан тот же прямоугольный треугольник, только ориентированный по-другому (рис. 106). Получаем решение

Те же самые значения (с точностью до знака) будут координатами всех остальных точек второго макета (исключая, разумеется, точки решение причем по чертежу нетрудно определить, какая координата равна по модулю числу Alg229.jpg а какая —числу Alg230.jpg Возьмем для примера точку Alg231.jpg (рис. 106). Будем рассуждать так. Проведем перпендикуляр М2L к оси х. Во-первых, Alg232.jpg
Значит, из двух чисел Alg233.jpg в качестве ординаты точки М3 нужно взять меньшее. Окончательно получаем

решение
А теперь возьмите точку Alg235.jpg  и попробуйте, проведя аналогичные рассуждения, наити декартовы координаты точки. Мы же пока приведем итоговую таблицу, с помощью которой вы сможете
проверить правильность своего вывода.

таблица
А теперь проверьте себя: решение (см. предпоследнюю колонку таблицы 2).
Пример 1. Найти координаты точек числовой окружности:

решение
Решение. Во всех четырех случаях воспользуемся утверждением, полученным в предыдущем параграфе: числам t и Alg239.jpg соответствует одна и та же точка числовой окружности.
Пример 2. Найти на числовой окружности точки с ординатой Alg240.jpg и записать, каким числам t они соответствуют.
Решение. Прямая Alg240.jpg пересекает числовую окружность в двух точках: М и Р (рис. 107). Точка М соответствует числу Alg241.jpg (см. второй макет — рис. 101), а значит, и любому числу вида

Alg242.jpg а значит, и любому числу вида Alg243.jpg Получили, как обычно говорят в таких случаях, две серии значений:

решение + 2пк и — + 2т1к.

Числовая окружность

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс




Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.