Линейная функция и ее график - История изменений

User16 в 09:19, 17 августа 2015

2015-08-17T09:19:06Z

← Предыдущая		Версия 09:19, 17 августа 2015
Строка 206:		Строка 206:

	<br>		<br>
-	[[Image:7kl_LinFunk01.jpg\|~~500x500px~~\|ЛФ]]	+	[[Image:7kl_LinFunk01.jpg\|700x700px\|ЛФ]]
	<br>		<br>

Строка 212:		Строка 212:

	<br>		<br>
-	[[Image:7kl_LinFunk02.jpg\|~~500x500px~~\|ЛФ]]	+	[[Image:7kl_LinFunk02.jpg\|300x300px\|ЛФ]]
	<br>		<br>

User16 в 09:16, 17 августа 2015

2015-08-17T09:16:25Z

Внесённые изменения

User16 в 10:26, 15 июня 2012

2012-06-15T10:26:15Z

User16 в 10:25, 15 июня 2012

2012-06-15T10:25:58Z

Внесённые изменения

User16 в 08:59, 15 июня 2012

2012-06-15T08:59:11Z

Внесённые изменения

User16 в 09:57, 9 июня 2010

2010-06-09T09:57:02Z

← Предыдущая		Версия 09:57, 9 июня 2010
Строка 87:		Строка 87:
	б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная функция та же (у = -2х + 1), значит, и ее графиком служит та же прямая. Но — будьте внимательны! — на этот раз х е (-3, 2), т. е. значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат интервалу (- 3, 2). Как мы отмечали концы интервала на коорди натной прямой? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы говорили в § 26. Точно так же и точки (- 3; 7) и B; - 3) придется <br>отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоминать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = - 2х + 1, которые лежат между точками, отмеченными кружочками (рис. 40). Впрочем, иногда в таких случаях используют не светлые кружочки, а стрелки (рис. 41). Это непринципиально, главное, понимать, о чем идет речь.		б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная функция та же (у = -2х + 1), значит, и ее графиком служит та же прямая. Но — будьте внимательны! — на этот раз х е (-3, 2), т. е. значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат интервалу (- 3, 2). Как мы отмечали концы интервала на коорди натной прямой? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы говорили в § 26. Точно так же и точки (- 3; 7) и B; - 3) придется <br>отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоминать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = - 2х + 1, которые лежат между точками, отмеченными кружочками (рис. 40). Впрочем, иногда в таких случаях используют не светлые кружочки, а стрелки (рис. 41). Это непринципиально, главное, понимать, о чем идет речь.

-	[[Image:09-06-33.jpg]]<br>	+	[[Image:09-06-33.jpg]]<br>

-	<br>'''Пример 3.''' Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции [[Image:09-06-34.jpg]] на отрезке [0, 6]. <br>Решение. Составим таблицу для линейной функции [[Image:09-06-34.jpg]]<br>	+	<br>'''Пример 3.''' Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции [[Image:09-06-34.jpg]] на отрезке [0, 6]. <br>Решение. Составим таблицу для линейной функции [[Image:09-06-34.jpg]]<br>

-	[[Image:09-06-35.jpg]]<br><br>Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 4) и (6; 7) и проведем через них прямую — график линейной х функции [[Image:09-06-34.jpg]] (рис. 42). <br>	+	[[Image:09-06-35.jpg]]<br><br>Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 4) и (6; 7) и проведем через них прямую — график линейной х функции [[Image:09-06-34.jpg]] (рис. 42). <br>

-	[[Image:09-06-36.jpg]]<br>Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию не целиком, а на отрезке [0, 6], т. е. для х е [0, 6]. <br>	+	[[Image:09-06-36.jpg]]<br>Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию не целиком, а на отрезке [0, 6], т. е. для х е [0, 6]. <br>

	Соответствующий отрезок графика выделен на чертеже. Замечаем, что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 — <br>это и есть наибольшее значение линейной функции [[Image:09-06-34.jpg]] на отрезке [0, 6]. Обычно используют такую запись: у<sub>наиб</sub> =7. <br>Отмечаем, что самая маленькая ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке 42 части прямой, равна 4 — это и есть наименьшее значение линейной функции[[Image:09-06-34.jpg]] на отрезке [0, 6]. <br>Обычно используют такую запись: y<sub>наим.</sub> = 4.		Соответствующий отрезок графика выделен на чертеже. Замечаем, что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 — <br>это и есть наибольшее значение линейной функции [[Image:09-06-34.jpg]] на отрезке [0, 6]. Обычно используют такую запись: у<sub>наиб</sub> =7. <br>Отмечаем, что самая маленькая ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке 42 части прямой, равна 4 — это и есть наименьшее значение линейной функции[[Image:09-06-34.jpg]] на отрезке [0, 6]. <br>Обычно используют такую запись: y<sub>наим.</sub> = 4.
Строка 101:		Строка 101:
	Решение. Составим таблицу для линейной функции у = -l,5x + 3,5:		Решение. Составим таблицу для линейной функции у = -l,5x + 3,5:

-	[[Image:09-06-37.jpg]]<br><br>Построим на координатной плоскости хОу точки (1; 2) и (5; - 4) и проведем через них прямую (рис. 43-47). Выделим на построенной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка [1,5] (рис. 43), из интервала A, 5) (рис. 44), из полуинтервала [1, 5) (рис. 45), из луча [0, + со) (рис. 46),из луча	+	[[Image:09-06-37.jpg]]<br><br>Построим на координатной плоскости хОу точки (1; 2) и (5; - 4) и проведем через них прямую (рис. 43-47). Выделим на построенной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка [1,5] (рис. 43), из интервала A, 5) (рис. 44), из полуинтервала [1, 5) (рис. 45), из луча [0, + со) (рис. 46),из луча

	(- со, 3] (рис. 47).		(- со, 3] (рис. 47).
Строка 109:		Строка 109:
	б) Используя рисунок 44, делаем вывод: ни наибольшего, ни наименьшего значений на заданном интервале у данной линейной функции нет. Почему? Дело в том, что, в отличие от предыдущего случая, оба конца отрезка, в которых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрения ис- <br>ключены.		б) Используя рисунок 44, делаем вывод: ни наибольшего, ни наименьшего значений на заданном интервале у данной линейной функции нет. Почему? Дело в том, что, в отличие от предыдущего случая, оба конца отрезка, в которых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрения ис- <br>ключены.

		+	<br>

		+	[[Image:09-06-38.jpg]]<br><br><br>в) С помощью рисунка 45 заключаем, что y<sub>наиб</sub>. = 2 (как и в первом случае), а наименьшего значения у линейной функции нет (как и во втором случае). <br>г) Используя рисунок 46, делаем вывод: у<sub>наиб</sub> = 3,5 (этого значения линейная функция достигает при х = 0), а у<sub>наим</sub>. не существует. <br>д) С помощью рисунка 47 делаем вывод: y<sub>наим</sub> = -1 (этого значения линейная функция достигает при х = 3), а у<sub>наиб</sub>., не существует.

-	[[Image:09-06-38.jpg]]<br><br>120<br>в) С помощью рисунка 45 заключаем, что г/наи6. = 2 (как и в <br>первом случае), а наименьшего значения у линейной функции <br>нет (как и во втором случае). <br>г) Используя рисунок 46, делаем вывод: утиб = 3,5 (этого значе- <br>ния линейная функция достигает при х = 0), а унаим. не существует. <br>д) С помощью рисунка 47 делаем вывод: y^^ = -1 (этого значе- <br>ния линейная функция достигает при х = 3), а ушиб, не существует. <br>Пример 5. Построить график линейной функции <br>у = 2х - 6. С помощью графика ответить на следующие вопросы: <br>а) при каком значении х будет у = 0? <br>б) при каких значениях х будет у > 0? <br>в) при каких значениях х будет у < 0? <br>Ре ш е ни е. Составим таблицу для линейной функции у = 2х- 6: <br>X <br>У <br>0 <br>-6 <br>3 <br>0 <br>Через точки @; - 6) и C; 0) проведем прямую — график функ- <br>ции у = 2х - 6 (рис. 48). <br>а) у = 0 при х = 3. График пересекает ось х в точке х = 3, это и <br>есть точка с ординатой у = 0. <br>б) у > 0 при х > 3. В самом деле если х > 3, то прямая располо- <br>жена выше оси ж, значит, ординаты соответствующих точек <br>прямой положительны. <br>расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек <br>прямой отрицательны. A <br>Обратите внимание, что в этом примере мы с <br>помощью графика решили: <br>а) уравнение 2х - 6 = 0 (получили х = 3); <br>б) неравенство 2х - 6 > 0 (получили х > 3); <br>в) неравенство 2я - 6 < 0 (получили х < 3). <br>Замечание. В русском языке часто один и тот же объект <br>называют по-разному, например: «дом», «здание», «со- <br>оружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара», <br>«избушка». В математическом языке ситуация примерно <br>та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = кх + т, <br>где к, т — конкретные числа, можно назвать линейной <br>функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя <br>переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), мож- <br>но назвать формулой, можно назвать соотношением, свя- <br>зывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью <br>между х и у. Это неважно, главное, понимать, что во всех <br>случаях речь идет о математической модели у = кх + т. <br>у, <br>о <br>0 <br>-4 <br>\ <br>\ <br>1 <br>\ <br>\ <br>> <br>б <br>-] <br>ч <br>,ь <br>рс <br>со <br>5 <br>\ <br>у <br>1? <br>1" <br>0 <br>\ <br>V <br>> <br>1 <br>\ <br>\ <br>\ <br>¦- <br>ч <br>? <br>X <br>s <br>> <br>1 <br>У <br>\ <br>0 <br>\ <br>N <br>1 <br>\ <br>—ч <br>3 <br>1, <br>ix <br>X <br>у, <br>0 <br>-в <br>/ <br>f <br>1 <br>/ <br>1 <br>it <br>1 <br>1 <br>ч <br>•у <br>У <br>/ <br>^3 <br>»1 <br>/ <br>Рис. 45 <br>Рис. 46 <br>Рис. 47 <br>Рис. 48 <br>120 <br>6 <br>.30. <br>ЛИНЕЙНАЯ <br>ФУНКЦИЯ <br>1 <br>У1 <br>0 <br>t* <br>X <br>\ <br>\ <br>< <br>•> <br>0 <br>У <br>\ <br>s <br>s <br> <br>\ <br>X <br>4 <br>6.30. <br>ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ <br>Рис. 49, a <br>Рис. 49, б <br>возрастание <br>убывание <br>Рассмотрим график линейной функции, изоб- <br>раженный на рисунке 49, а. Если двигаться по это- <br>му графику слева направо, то ординаты точек гра- <br>фика все время увеличиваются, мы как бы «подни- <br>маемся в горку». В таких случаях математики <br>употребляют термин возрастание и говорят так: <br>если k>0, то линейная функция у = kx + m возра- <br>стает. <br>Рассмотрим график линейной функции, изоб- <br>раженный на рисунке 49, б. Если двигаться по этому графику <br>слева направо, то ординаты точек графика все время уменьшают- <br>ся, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математи- <br>ки употребляют термин убывание и говорят так: если k < О, то <br>линейная функция у = kx + m убывает. <br>§ 30. ПРЯМАЯ <br><br><br><br><br><br><br>	+	Пример 5. Построить график линейной функции <br>у = 2х - 6. С помощью графика ответить на следующие вопросы: <br>а) при каком значении х будет у = 0? <br>б) при каких значениях х будет у > 0? <br>в) при каких значениях х будет у < 0? <br>Ре ш е ни е. Составим таблицу для линейной функции у = 2х- 6:

-	<br> <br> <sub>Школьная библиотека [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], учебники и книги по всему предметам, Математика 7 класс [[Математика\|скачать]]</sub>	+	[[Image:09-06-39.jpg]]<br><br>Через точки (0; - 6) и (3; 0) проведем прямую — график функции у = 2х - 6 (рис. 48). <br>а) у = 0 при х = 3. График пересекает ось х в точке х = 3, это и есть точка с ординатой у = 0. <br>б) у > 0 при х > 3. В самом деле если х > 3, то прямая расположена выше оси ж, значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны.
		+
		+	[[Image:09-06-40.jpg]]
		+
		+	в) у < 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A <br>Обратите внимание, что в этом примере мы с помощью графика решили: <br>а) уравнение 2х - 6 = 0 (получили х = 3); <br>б) неравенство 2х - 6 > 0 (получили х > 3); <br>в) неравенство 2x - 6 < 0 (получили х < 3).
		+
		+	'''''Замечание.''''' В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, например: «дом», «здание», «сооружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара», «избушка». В математическом языке ситуация примерно та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = кх + m, где к, m — конкретные числа, можно назвать линейной функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), можно назвать формулой, можно назвать соотношением, связывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью между х и у. Это неважно, главное, понимать, что во всех случаях речь идет о математической модели у = кх + m
		+
		+	[[Image:09-06-41.jpg]]
		+
		+
		+
		+	[[Image:09-06-42.jpg]].
		+
		+	<br>Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, а. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время увеличиваются, мы как бы «поднимаемся в горку». В таких случаях математики употребляют термин возрастание и говорят так: <br>если k>0, то линейная функция у = kx + m возрастает.
		+
		+	Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, б. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время уменьшаются, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математики употребляют термин убывание и говорят так: если k < О, то <br>линейная функция у = kx + m убывает. <br><br><br><br> <br> <sub>Школьная библиотека [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], учебники и книги по всему предметам, Математика 7 класс [[Математика\|скачать]]</sub>

	<br>		<br>

User16 в 09:38, 9 июня 2010

2010-06-09T09:38:39Z

Внесённые изменения

User16 в 09:18, 9 июня 2010

2010-06-09T09:18:12Z

Внесённые изменения

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-09T08:50:53Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Линейная функция, ее график</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]>>Математика:Линейная функция и ее график'''

 

 '''                                                         ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК'''

 Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0, который мы сформулировали в § 28, при всей его четкости и определенности математикам не очень нравится. Обычно они выдвигают претензии к первым двум шагам алгоритма. Зачем, говорят они, дважды решать уравнение относительно переменной у: сначала ах1 + Ьу + с = О, затем ахг + Ьу + с = О? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения ах + by + с = 0, тогда легче будет проводить вычисления (и, главное, быстрее)? Давайте проверим. Рассмотрим сначала уравнение 3x - 2у + 6 = 0 (см. пример 2 из § 28).

Имеем:

[[Image:09-06-20.jpg]] Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответствующие значения у. Например, при х = 0 получаем у = 3; при х = -2 имеем у = 0; при х = 2 имеем у = 6; при х = 4 получаем: у = 9.

Видите, как легко и быстро найдены точки (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) и (4; 9), которые были выделены в примере 2 из § 28.

Точно так же уравнение Ьх - 2у = 0 (см. пример 4 из § 28) можно было преобразовать к виду 2у =16 -3x . далее у = 2,5x; нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), удовлетворяющие этому уравнению. Наконец, уравнение 3x + 2у - 16 = 0 из того же примера можно преобразовать к виду 2y = 16 -3x и далее [[Image:09-06-21.jpg]] нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), которые ему удовлетворяют.

Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде. Имеем:

[[Image:09-06-22.jpg]] 

Таким образом, линейное уравнение (1) с двумя переменными хиу всегда можно преобразовать к виду y = kx + m,(2) где k,m — числа (коэффициенты), причем [[Image:09-06-23.jpg]].

Этот частный вид линейного уравнения будем называть линейной функцией. С помощью равенства (2) легко, указав конкретное значение х, вычислить соответствующее значение у. Пусть, например,

у = 2х + 3. Тогда: если х = 0, то у = 3; если х = 1, то у = 5; если х = -1, то у = 1; если х = 3, то у = 9 и т. д.

Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы:

[[Image:09-06-24.jpg]] Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х + 3, соответственно, в точках х = 0, х = 1, х = -1,х=-3. В уравнении (1) переменные хну равноправны, а в уравнении (2) — нет: конкретные значения мы придаем одной из них — переменной х, тогда как значение переменной у зависит от выбранного значения переменной х. Поэтому обычно говорят, что х — независимая переменная (или аргумент), у — зависимая переменная.

 специальный вид линейного уравнения с двумя пе- ременными. Графиком уравнения у — kx + т, как всякого линейного уравнения с двумя переменны- ми, является прямая — ее называют также графи- ком линейной функции y = kx + тп. Таким образом, справедлива следующая теорема. Графиком линейной функции у = kx + m является прямая. Теорема 2. Пример 1. Построить график линейной функции у = 2х + 3. Решение. Составим таблицу: / У к 3. 7 / 0 | ]/ / 1 / X X У 0 3 1 5 Рис. 36 Построим на координатной плоскости хОу точки @; 3) и A; 5) и проведем через них пря- мую. Это и есть график линейной функции у = 2х + 3 (рис. 36). <¦ Замечание. В § 25 мы уже говорили о том, как обстоит дело в математике с новыми понятиями, но- выми терминами. Часто бывает так: ввели новое поня- тие, работают с ним, но затем, по мере дальнейшего изучения математики, начинают осознавать, что вве- денное понятие требует уточнения, развития. Именно так обстояло дело с понятием «тождество». Точно так же обстоит дело и с понятием «функция». Мы еще довольно долго будем привыкать к нему, наби- раться опыта, работать с этим понятием пока не при- дем к строгому определению (зто будет в 9 классе). Многие реальные ситуации описываются математическими моделями, представляющими собой линейные функции. Приве- Приведем примеры. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Первая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали подвозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4, 10 дней? Если пройдет х дней, то количество у угля на складе (в тоннах) выразится формулой у — 500 + ЗОд:. Таким образом, линейная фун- кция у = ЗОд: + 500 есть математическая модель ситуации. Теперь нетрудно установить, что: при х = 2 имеем у = 560 (в уравнение у = ЗОд: + 500 подставили х = 2 и получили у = 560); при х = 4 имеем у = 620; при х = 10 имеем у = 800. Вторая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали увозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4,10 дней? Здесь математической моделью ситуации является линейная функция у = 500 - ЗОд:. С помощью этой модели нетрудно отве- тить на вопрос задачи: если х = 2, то у = 440 (в уравнение у = 500 - ЗОд: подставили х — 2 и получили у = 440); если х = 4, то у = 380; если х = 10, то у = 200. Третья ситуация. Турист проехал на автобусе 15 км от пункта А до Б, а затем продолжил движение из пункта В в том же направлении, но уже пешком, со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии от А будет турист через 2 ч, через 4 ч, через 5 ч ходьбы? Математической моделью ситуации является линейная функ- ция у=15 + 4х, где х — время ходьбы (в часах), у — расстояние от А (в километрах). С помощью этой модели отвечаем на вопрос задачи: если х = 2, то у = 23 (в уравнение у = 15 + 4д: подставили х = 2 и получили у = 23); если д: = 4, то у = 31; если х = 6, то у = 39. На самом деле во всех математических моделях этих трех ситуаций мы допустили неточности, по- скольку ничего не сказали о тех ограничениях на х, которые вытекают из смысла задачи. Ведь ясно, что в первой ситуации независимая переменная х 114 может принимать только значения 1, 2, 3, ..., поскольку х — число дней. Следовательно, уточненная математическая модель первой ситуации выглядит так: у = 500 + ЗОд:, где х — натуральное число. Во второй ситуации независимая переменная х, обозначаю- щая, как и в первой ситуации, число дней, может принимать толь- ко значения 1, 2, 3, ..., 16. Действительно, если х = 16, то по формуле у = 500 - ЗОд: находим: у = 500 - 30 • 16 = 20. Значит, уже на 17-й день вывезти со склада 30 т угля не удастся, посколь- ку на складе к этому дню останется всего 20 т и процесс вывоза угля придется прекратить. Следовательно, уточненная математи- ческая модель второй ситуации выглядит так: у = 500 - ЗОд:, где х = 1, 2, 3, .... 16. В третьей ситуации независимая переменная х теоретически мо- жет принять любое неотрицательное значение (напр., значение х = 0, значение х = 2, значение х = 3,5 и т. д.), но практически турист не может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько угодно времени. Значит, нам нужно было сделать разумные ограни- чения на х, скажем, 0 < х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч). Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного неравег -тва 0 < х < 6 служит отрезок [0, 6] (рис. 37). Значит, уточ- ненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку [0, 6]. х 0 6 Рис. 37 Условимся вместо фразы *х принадлежит множеству X» писать хт X (читают: «элемент х принадлежит множеству X», е — знак принадлежности). Как видите, наше знакомство с матема- тическим языком постоянно продолжается. Если линейную функцию у = kx + m надо рассматривать не при всех значениях х, а лишь для значений х из некоторого чис- лового промежутка X, то пишут: У ¦¦ kx + т, х е X. Пример 2. Построить график линейной функции: -2*+l, xe[-3,2]; -2*+1, хе(-3,2). Решение, а) Составим таблицу для линейной функции X У -3 7 2 -3 Построим на координатной плоскости хОу точки (-3; 7) и B; -3) и проведем через них прямую линию. Это — график урав- нения у = -2д: + 1. Далее, выделим отрезок, соединяющий постро- енные точки (рис. 38). Этот отрезок и есть график линейной фун- кции у = -2х+1, гдехе [-3, 2]. Обычно говорят так: мы построили график линейной функ- ции у = - 2х + 1 на отрезке [- 3, 2]. б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная функция та же (у = -2х + 1), значит, и ее графиком служит та же прямая. Но — будьте внимательны! — на этот раз х е (-3, 2), т. е. значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат интервалу (- 3, 2). Как мы отмечали концы интервала на коорди- -302* Рис. 39 -{ \ \ ¦1 \ \ \ 0 о 1 у \ 1 : \ X | \ ч N \ 0 \ _ V 1 у \ L : \ 1 1 \ X t к yt \ \ 0 о I 1 \ V X Рис. 38 Рис. 40 Рис. 41 117 натной прямой? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы го- ворили в § 26. Точно так же и точки (- 3; 7) и B; - 3) придется отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоми- нать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = - 2х + 1, которые лежат между точками, отмеченными кружочками (рис. 40). Впрочем, иногда в таких случаях используют не свет- лые кружочки, а стрелки (рис. 41). Это не- принципиально, главное, понимать, о чем идет речь. <И Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции у = -г + 4 на отрезке [0, 6]. Решение. Составим таблицу для ли- нейной функции у—^ +4: 6 29 4. 0 1 к* 1 у 1 V 1 X У 0 4 6 7 Рис. 42 Построим на координатной плоскости хОу точки @; 4) и F; 7) и проведем через них прямую — график линейной х функции у = -г + 4 (рис. 42). Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию не целиком, а на отрезке [0, 6], т. е. для х е [0, 6]. Соответствующий отрезок графика выделен на чер- теже. Замечаем, что самая большая ордината у то- чек, принадлежащих выделенной части, равна 7 — это и есть наибольшее значение линейной функции у — -z + 4 на отрезке [0, 6]. Обычно используют такую запись: унаиб =7. Отмечаем, что самая маленькая ордината у то- чек, принадлежащих выделенной на рисунке 42 ча- сти прямой, равна 4 — это и есть наименьшее значе- х ние линейной функции y=~z +4 на отрезке [0, 6]. Обычно используют такую запись: г/наим. = 4. Пример 4. Найти унаив- и уМт для линейной функции у а) на отрезке [1,5]; б) на интервале A,5); в) на полуинтервале [1, 5); г) на луче [0, + со); д) на луче (- со, 3]. Решение. Составим таблицу для линейной функции у = -l,5x + 3,5: X У 1 2 5 -4 Построим на координатной плоскости хОу точки A; 2) и E; - 4) и проведем через них прямую (рис. 43-47). Выделим на построен- ной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка [1,5] (рис. 43), из интервала A, 5) (рис. 44), из полуинтервала [1, 5) (рис. 45), из луча [0, + со) (рис. 46), из луча (- со, 3] (рис. 47). а) С помощью рисунка 43 нетрудно сделать вывод, что унаиб = 2 (этого значения линейная функция достигает при х = 1), а утим_ = - 4 (этого значения линейная функция достигает при х = 5). б) Используя рисунок 44, делаем вывод: ни наибольшего, ни наименьшего значений на заданном интервале у данной ли- нейной функции нет. Почему? Дело в том, что, в отличие от пре- дыдущего случая, оба конца отрезка, в которых как раз и дости- гались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрения ис- ключены. yi о 0 -4 Л \ S 1 \ \ 5 h \ \ ,5 *-» X 3, 5 У о 0 -Л \ \ 1 ч \ \ -1 5 ъ \ ,5 К з, X 5 Рис. 43 Рис. 44 118 в) С помощью рисунка 45 заключаем, что г/наи6. = 2 (как и в первом случае), а наименьшего значения у линейной функции нет (как и во втором случае). г) Используя рисунок 46, делаем вывод: утиб = 3,5 (этого значе- ния линейная функция достигает при х = 0), а унаим. не существует. д) С помощью рисунка 47 делаем вывод: y^^ = -1 (этого значе- ния линейная функция достигает при х = 3), а ушиб, не существует. Пример 5. Построить график линейной функции у = 2х - 6. С помощью графика ответить на следующие вопросы: а) при каком значении х будет у = 0? б) при каких значениях х будет у > 0? в) при каких значениях х будет у < 0? Ре ш е ни е. Составим таблицу для линейной функции у = 2х- 6: X У 0 -6 3 0 Через точки @; - 6) и C; 0) проведем прямую — график функ- ции у = 2х - 6 (рис. 48). а) у = 0 при х = 3. График пересекает ось х в точке х = 3, это и есть точка с ординатой у = 0. б) у > 0 при х > 3. В самом деле если х > 3, то прямая располо- жена выше оси ж, значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны. расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A Обратите внимание, что в этом примере мы с помощью графика решили: а) уравнение 2х - 6 = 0 (получили х = 3); б) неравенство 2х - 6 > 0 (получили х > 3); в) неравенство 2я - 6 < 0 (получили х < 3). Замечание. В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, например: «дом», «здание», «со- оружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара», «избушка». В математическом языке ситуация примерно та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = кх + т, где к, т — конкретные числа, можно назвать линейной функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), мож- но назвать формулой, можно назвать соотношением, свя- зывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью между х и у. Это неважно, главное, понимать, что во всех случаях речь идет о математической модели у = кх + т. у, о 0 -4 \ \ 1 \ \ > б -] *ч ,ь рс со 5 \ у 1? 1" 0 \ V > 1 \ \ \ ¦*- ч ? X s > 1 У \ 0 \ N 1 \ —ч 3 1, ix X у, 0 -в / f 1 / 1 it 1 1 ч •у У / ^3 »1 / Рис. 45 Рис. 46 Рис. 47 Рис. 48 120 6 .30. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 1 У1 0 t* X \ \ < •*> 0 У \ s s * \ X 4 6.30. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Рис. 49, a Рис. 49, б возрастание убывание Рассмотрим график линейной функции, изоб- раженный на рисунке 49, а. Если двигаться по это- му графику слева направо, то ординаты точек гра- фика все время увеличиваются, мы как бы «подни- маемся в горку». В таких случаях математики употребляют термин возрастание и говорят так: если k>0, то линейная функция у = kx + m возра- стает. Рассмотрим график линейной функции, изоб- раженный на рисунке 49, б. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время уменьшают- ся, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математи- ки употребляют термин убывание и говорят так: если k < О, то линейная функция у = kx + m убывает. § 30. ПРЯМАЯ 

 
Школьная библиотека [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], учебники и книги по всему предметам, Математика 7 класс [[Математика|скачать]]

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

← Предыдущая		Версия 10:26, 15 июня 2012
Строка 5:		Строка 5:
	<br>		<br>

-	<br>'''~~                                 ~~                        '''[[Закриті вправи: Графічний спосіб розв'язування системи лінійних рівнянь з двома змінними\|'''Линейная функция и ее график''']]'''<br> '''	+	<br>'''                        '''[[Закриті вправи: Графічний спосіб розв'язування системи лінійних рівнянь з двома змінними\|'''Линейная функция и ее график''']]'''<br> '''

	'''<br> '''Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0, который мы сформулировали в § 28, при всей его четкости и определенности математикам не очень нравится. Обычно они выдвигают претензии к первым двум шагам алгоритма. Зачем, говорят они, дважды решать уравнение относительно переменной у: сначала ах1 + Ьу + с = О, затем ахг + Ьу + с = О? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения ах + by + с = 0, тогда легче будет проводить вычисления (и, главное, быстрее)? Давайте проверим. Рассмотрим сначала '''[[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку\|уравнение]]''' 3x - 2у + 6 = 0 (см. пример 2 из § 28).		'''<br> '''Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0, который мы сформулировали в § 28, при всей его четкости и определенности математикам не очень нравится. Обычно они выдвигают претензии к первым двум шагам алгоритма. Зачем, говорят они, дважды решать уравнение относительно переменной у: сначала ах1 + Ьу + с = О, затем ахг + Ьу + с = О? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения ах + by + с = 0, тогда легче будет проводить вычисления (и, главное, быстрее)? Давайте проверим. Рассмотрим сначала '''[[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку\|уравнение]]''' 3x - 2у + 6 = 0 (см. пример 2 из § 28).
Строка 35:		Строка 35:
	Обычно эти результаты оформляют в виде '''[[Табличные информационные модели\|таблицы]]''':		Обычно эти результаты оформляют в виде '''[[Табличные информационные модели\|таблицы]]''':

-		+	<br>

	[[Image:09-06-24.jpg\|180px\|Таблица]]<br><br>Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х + 3, соответственно, в точках х = 0, х = 1, х = -1,х=-3. <br>		[[Image:09-06-24.jpg\|180px\|Таблица]]<br><br>Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х + 3, соответственно, в точках х = 0, х = 1, х = -1,х=-3. <br>
Строка 99:		Строка 99:
	Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного неравенства 0 < х < 6 служит отрезок [0, 6] (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку [0, 6].		Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного неравенства 0 < х < 6 служит отрезок [0, 6] (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку [0, 6].

-		+	<br>

	[[Image:09-06-28.jpg\|240px\|Отрезок]]<br><br>Условимся вместо фразы «х принадлежит множеству X» писать[[Image:09-06-29.jpg\|40px\|Элемент х принадлежит множеству X]] (читают: «элемент х принадлежит множеству X», е — знак принадлежности). Как видите, наше знакомство с математическим языком постоянно продолжается.		[[Image:09-06-28.jpg\|240px\|Отрезок]]<br><br>Условимся вместо фразы «х принадлежит множеству X» писать[[Image:09-06-29.jpg\|40px\|Элемент х принадлежит множеству X]] (читают: «элемент х принадлежит множеству X», е — знак принадлежности). Как видите, наше знакомство с математическим языком постоянно продолжается.
Строка 105:		Строка 105:
	Если линейную функцию у = kx + m надо рассматривать не при всех значениях х, а лишь для значений х из некоторого числового промежутка X, то пишут:		Если линейную функцию у = kx + m надо рассматривать не при всех значениях х, а лишь для значений х из некоторого числового промежутка X, то пишут:

-		+	<br>

	[[Image:09-06-30.jpg\|180px\|Линейная функция]]<br><br>Пример 2. Построить график линейной функции:		[[Image:09-06-30.jpg\|180px\|Линейная функция]]<br><br>Пример 2. Построить график линейной функции:

-		+	<br>

	[[Image:09-06-31.jpg\|360px\|График линейной функции]]<br><br>Решение, а) Составим таблицу для линейной функции  y = 2x + 1		[[Image:09-06-31.jpg\|360px\|График линейной функции]]<br><br>Решение, а) Составим таблицу для линейной функции  y = 2x + 1
Строка 119:		Строка 119:
	б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная функция та же (у = -2х + 1), значит, и ее графиком служит та же прямая. Но — будьте внимательны! — на этот раз х е (-3, 2), т. е. значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат интервалу (- 3, 2). Как мы отмечали концы интервала на координатной прямой? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы говорили в § 26. Точно так же и точки (- 3; 7) и B; - 3) придется отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоминать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = - 2х + 1, которые лежат между точками, отмеченными кружочками (рис. 40). Впрочем, иногда в таких случаях используют не светлые кружочки, а стрелки (рис. 41). Это непринципиально, главное, понимать, о чем идет речь.		б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная функция та же (у = -2х + 1), значит, и ее графиком служит та же прямая. Но — будьте внимательны! — на этот раз х е (-3, 2), т. е. значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат интервалу (- 3, 2). Как мы отмечали концы интервала на координатной прямой? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы говорили в § 26. Точно так же и точки (- 3; 7) и B; - 3) придется отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоминать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = - 2х + 1, которые лежат между точками, отмеченными кружочками (рис. 40). Впрочем, иногда в таких случаях используют не светлые кружочки, а стрелки (рис. 41). Это непринципиально, главное, понимать, о чем идет речь.

-		+	<br>

	[[Image:09-06-33.jpg\|480px\|Графики]]<br>		[[Image:09-06-33.jpg\|480px\|Графики]]<br>

-	<br>'''Пример 3.''' Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции [[Image:09-06-34.jpg\|60px\|Линейная функция ]] на отрезке [0, 6]. <br>Решение. Составим таблицу для линейной функции [[Image:09-06-34.jpg\|60px\|Линейная функция ]]<br>	+	<br>'''Пример 3.''' Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции [[Image:09-06-34.jpg\|60px\|Линейная функция]] на отрезке [0, 6]. <br>Решение. Составим таблицу для линейной функции [[Image:09-06-34.jpg\|60px\|Линейная функция]]<br>

-	[[Image:09-06-35.jpg\|160px\|Таблица]]<br><br>Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 4) и (6; 7) и проведем через них прямую — график линейной х функции [[Image:09-06-34.jpg\|60px\|Линейная функция ]] (рис. 42). <br>	+	[[Image:09-06-35.jpg\|160px\|Таблица]]<br><br>Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 4) и (6; 7) и проведем через них прямую — график линейной х функции [[Image:09-06-34.jpg\|60px\|Линейная функция]] (рис. 42). <br>

		+	<br>

-		+	[[Image:09-06-36.jpg\|180px\|График линейной функции]]
-	[[Image:09-06-36.jpg\|180px\|График линейной функции]]	+

	<br>Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию не целиком, а на отрезке [0, 6], т. е. для х е [0, 6]. <br>		<br>Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию не целиком, а на отрезке [0, 6], т. е. для х е [0, 6]. <br>

-	Соответствующий отрезок графика выделен на чертеже. Замечаем, что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 — это и есть наибольшее значение линейной функции [[Image:09-06-34.jpg\|60px\|Линейная функция ]] на отрезке [0, 6]. Обычно используют такую запись: у<sub>наиб</sub> =7.	+	Соответствующий отрезок графика выделен на чертеже. Замечаем, что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 — это и есть наибольшее значение линейной функции [[Image:09-06-34.jpg\|60px\|Линейная функция]] на отрезке [0, 6]. Обычно используют такую запись: у<sub>наиб</sub> =7.

-	Отмечаем, что самая маленькая ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке 42 части прямой, равна 4 — это и есть наименьшее значение линейной функции[[Image:09-06-34.jpg\|60px\|Линейная функция ]] на отрезке [0, 6]. <br>Обычно используют такую запись: y<sub>наим.</sub> = 4.	+	Отмечаем, что самая маленькая ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке 42 части прямой, равна 4 — это и есть наименьшее значение линейной функции[[Image:09-06-34.jpg\|60px\|Линейная функция]] на отрезке [0, 6]. <br>Обычно используют такую запись: y<sub>наим.</sub> = 4.

	'''Пример 4.''' Найти у<sub>наиб</sub> и y<sub>наим.</sub> для линейной функции y =  -1,5x + 3,5		'''Пример 4.''' Найти у<sub>наиб</sub> и y<sub>наим.</sub> для линейной функции y =  -1,5x + 3,5
Строка 189:		Строка 189:
	Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, б. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время уменьшаются, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математики употребляют термин убывание и говорят так: если k < О, то линейная функция у = kx + m убывает. <br><br><br><br> <br>		Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, б. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время уменьшаются, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математики употребляют термин убывание и говорят так: если k < О, то линейная функция у = kx + m убывает. <br><br><br><br> <br>

-		+	<br> <sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], Математика в школе [[Математика\|скачать]]</sub>
-	<sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], Математика в школе [[Математика\|скачать]]</sub>	+

	<br>		<br>