Методы решения систем уравнений - История изменений

Marisha в 11:35, 7 июля 2015

2015-07-07T11:35:21Z

← Предыдущая		Версия 11:35, 7 июля 2015
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Методы решения систем уравнений<metakeywords>Методы решения систем уравнений, систем уравнений, алгоритмом, Переменные, уравнение, алгебраического сложения, рациональных уравнений, методом подстановки, иррациональных</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Методы решения систем уравнений<metakeywords>Методы решения систем уравнений, систем уравнений, алгоритмом, Переменные, уравнение, алгебраического сложения, рациональных уравнений, методом подстановки, иррациональных</metakeywords>'''
-
-	~~<br>~~
-
-	~~'''Методы решения систем уравнений'''~~

	<h2>Какие существуют методы решения систем уравнения?</h2>		<h2>Какие существуют методы решения систем уравнения?</h2>

User16 в 10:45, 7 июля 2015

2015-07-07T10:45:04Z

← Предыдущая		Версия 10:45, 7 июля 2015
Строка 5:		Строка 5:
	'''Методы решения систем уравнений'''		'''Методы решения систем уравнений'''

-	Какие существуют методы решения систем уравнения?	+	<h2>Какие существуют методы решения систем уравнения?</h2>

	В этом параграфе мы обсудим три метода решения [[Системы уравнений. Основные понятия\|систем уравнений]], более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.		В этом параграфе мы обсудим три метода решения [[Системы уравнений. Основные понятия\|систем уравнений]], более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.

User16 в 10:43, 7 июля 2015

2015-07-07T10:43:05Z

← Предыдущая		Версия 10:43, 7 июля 2015
Строка 52:		Строка 52:

	Ответ:  [[Image:Al615.jpg\|120px\|Ответ]]		Ответ:  [[Image:Al615.jpg\|120px\|Ответ]]
-


Строка 121:		Строка 120:
	Все три метода (подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных), которые мы обсудили в этом параграфе, абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной первоначальной системе.<br>		Все три метода (подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных), которые мы обсудили в этом параграфе, абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной первоначальной системе.<br>

-	''<br>''	+	<h2>Графический метод решения систем уравнений</h2>
		+
		+	Мы уже с вами научились решать системы уравнений такими распространенными и надежными способами, как метод подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных. А теперь давайте с вами вспомним, метод, который вы уже изучали на предыдущем уроке. То есть давайте повторим, что вы знаете о графическом методе решения.
		+
		+	Метод решения систем уравнения графическим способом представляет собой построение
		+	графика для каждого из конкретных уравнений, которые входят в данную систему и находятся в одной координатной плоскости, а также где требуется найти пересечения точек этих графиков. Для решения данной системы уравнений являются координаты этой точки (x; y).
		+
		+	Следует вспомнить, что для графической системы уравнений свойственно
		+	иметь либо одно единственное верное решение, либо бесконечное множество решений, либо же не иметь решений вообще.
		+
		+	А теперь на каждом из этих решений остановимся подробнее. И так, система уравнений может иметь единственное решение в случае, если прямые, которые являются графиками уравнений системы, пересекаются. Если же эти прямые параллельны, то такая система уравнений абсолютно не имеет решений. В случае же совпадения прямых графиков уравнений системы, то тогда такая система позволяет найти множество решений.
		+
		+	Ну а теперь давайте с вами рассмотрим алгоритм решения системы двух уравнений с 2-мя неизвестными графическим методом:
		+
		+	• Во-первых, вначале мы с вами строим график 1-го уравнения;<br>
		+	• Вторым этапом будет построение графика, который относится ко второму уравнению;<br>
		+	• В-третьих, нам необходимо найти точки пересечения графиков.<br>
		+	• И в итоге мы получаем координаты каждой точки пересечения, которые и будут решением системы уравнений.<br>
		+
		+	Давайте этот метод рассмотрим более подробно на примере. Нам дана система уравнений, которую необходимо решить:
		+
		+	<br>
		+	[[Image:9kl_Graf_Metod01.jpg\|200x500px\|графический метод]]
		+	<br>
		+
		+	'''Решение уравнений'''
		+
		+	1. Вначале мы с вами будем строить график данного уравнения: x2+y2=9.<br>
		+
		+	Но следует заметить, что данным графиком уравнений будет окружность, имеющая центр в начале координат, а ее радиус будет равен трем.
		+
		+	2. Следующим нашим шагом будет построение графика такого уравнения, как:
		+	y = x – 3.<br>
		+
		+	В этом случае, мы должны построить прямую и найти точки (0;−3) и (3;0).
		+
		+	<br>
		+	[[Image:9kl_Graf_Metod02.jpg\|500x500px\|графический метод]]
		+	<br>
		+
		+	3. Смотрим, что у нас получилось. Мы видим, что прямая пересекает окружность в двух ее точках A и B. <br>
		+
		+	Теперь мы с вами ищем координаты этих точек. Мы видим, что координаты (3;0) соответствуют точке А, а координаты (0;−3) соответственно точке В.
		+
		+	И что мы получаем в итоге?
		+
		+	Получившиеся при пересечении прямой с окружностью числа (3;0) и (0;−3), как раз и являются решениями обоих уравнений системы. А из этого следует, что данные числа являются и решениями этой системы уравнений.
		+
		+	То есть, ответом этого решения являются числа: (3;0) и (0;−3).

	''А.Г. Мордкович [http://xvatit.com/vuzi/ Алгебра] 9 класс''		''А.Г. Мордкович [http://xvatit.com/vuzi/ Алгебра] 9 класс''

User16 в 10:39, 7 июля 2015

2015-07-07T10:39:08Z

← Предыдущая		Версия 10:39, 7 июля 2015
Строка 3:		Строка 3:
	<br>		<br>

-	~~ ~~'''Методы решения систем уравнений'''~~<br>~~	+	'''Методы решения систем уравнений'''

-	~~<br>В этом параграфе мы обсудим три метода~~ решения ~~[[Системы уравнений. Основные понятия\|~~систем ~~уравнений]], более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.~~	+	Какие существуют методы решения систем уравнения?

-	<br>~~'''1.~~ Метод подстановки~~'''~~	+	В этом параграфе мы обсудим три метода решения [[Системы уравнений. Основные понятия\|систем уравнений]], более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.
		+
		+	<h2>Метод подстановки</h2>

	Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим [[Урок 4. Программа действий. Алгоритм\|алгоритмом]] мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).		Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим [[Урок 4. Программа действий. Алгоритм\|алгоритмом]] мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).
Строка 21:		Строка 23:
	[[Image:Al61.jpg\|120px\|Система уравнений]]		[[Image:Al61.jpg\|120px\|Система уравнений]]

-	'''~~Р е ш е н и е~~. '''	+	'''Решение. '''

	1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у.<br>2)Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у — 2.<br>3)Решим полученное [[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку\|уравнение]]:		1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у.<br>2)Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у — 2.<br>3)Решим полученное [[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку\|уравнение]]:
Строка 27:		Строка 29:
	[[Image:Al62.jpg\|160px\|Система уравнений]]<br>4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу. Если [[Image:Al63.jpg]] то [[Image:Al64.jpg\|120px\|Уравнение]]<br>5)    Пары (2; 1) и [[Image:Al65.jpg]] решения заданной системы уравнений.		[[Image:Al62.jpg\|160px\|Система уравнений]]<br>4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу. Если [[Image:Al63.jpg]] то [[Image:Al64.jpg\|120px\|Уравнение]]<br>5)    Пары (2; 1) и [[Image:Al65.jpg]] решения заданной системы уравнений.

-	~~О тв е т~~: (2; 1); [[Image:Al65.jpg]]	+	Ответ: (2; 1); [[Image:Al65.jpg]]

-	<br>~~'''2.~~ Метод алгебраического сложения~~'''~~	+	<h2>Метод алгебраического сложения</h2>

	Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере.		Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере.
Строка 53:		Строка 55:


-	~~'''3.~~ Метод введения новых переменных~~'''~~	+	<h2>Метод введения новых переменных</h2>

	С методом введения новой переменной при решении [[Рациональные уравнения\|рациональных уравнений]] с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.		С методом введения новой переменной при решении [[Рациональные уравнения\|рациональных уравнений]] с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.
Строка 122:		Строка 124:

	''А.Г. Мордкович [http://xvatit.com/vuzi/ Алгебра] 9 класс''		''А.Г. Мордкович [http://xvatit.com/vuzi/ Алгебра] 9 класс''
-
-	~~<br>~~
-
-	<sub>Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать]]</sub>
-
-	~~'''<u>Содержание урока</u>'''~~
-	~~'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] конспект урока '''~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] презентация урока~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии~~
-
-	~~'''<u>Практика</u>'''~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] самопроверка~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] домашние задания~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников~~
-
-	~~'''<u>Иллюстрации</u>'''~~
-	~~'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты~~
-
-	~~'''<u>Дополнения</u>'''~~
-	~~'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] статьи~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] прочие~~
-
-	~~<u>Совершенствование учебников и уроков~~
-	~~</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми~~
-
-	~~'''<u>Только для учителей</u>'''~~
-	~~'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] программы~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] обсуждения~~
-
-
-	~~'''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>~~
-	~~</u>~~
-
-	~~<br>~~
-
-	~~Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].~~
-
-	Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

User17 в 07:07, 10 октября 2012

2012-10-10T07:07:34Z

Внесённые изменения

User9 в 07:35, 29 июня 2010

2010-06-29T07:35:16Z

← Предыдущая		Версия 07:35, 29 июня 2010
Строка 17:		Строка 17:
	'''Ответ:'''  [[Image:Al615.jpg]]		'''Ответ:'''  [[Image:Al615.jpg]]

-	'''3. Метод введения новых переменных'''<br>С методом введения новой переменной при решении рациональных уравнений с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.<br>'''Пример 3.''' Решить систему уравнений [[Image:~~al616~~.jpg]]	+	'''3. Метод введения новых переменных'''<br>С методом введения новой переменной при решении рациональных уравнений с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.<br>'''Пример 3.''' Решить систему уравнений [[Image:Al616.jpg]]

-	'''Решение.''' Введем новую переменную [[Image:~~al617~~.jpg]] Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: [[Image:~~al618~~.jpg]] Решим это уравнение относительно переменной t:	+	'''Решение.''' Введем новую переменную [[Image:Al617.jpg]] Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: [[Image:Al618.jpg]] Решим это уравнение относительно переменной t:

-	[[Image:~~al619~~.jpg]]<br>Оба эти значения удовлетворяют условию [[Image:~~al620~~.jpg]], а потому являются корнями рационального уравнения с переменной t.<br>Но [[Image:~~al621~~.jpg]] значит, либо [[Image:~~al622~~.jpg]] откуда находим, что х = 2у, либо [[Image:~~al623~~.jpg]]<br>Таким образом, с помощью метода введения новой переменной нам удалось как бы «расслоить» первое уравнение системы, достаточно сложное по виду, на два более простых уравнения:<br>х = 2 у; у — 2х.<br>	+	[[Image:Al619.jpg]]<br>Оба эти значения удовлетворяют условию [[Image:Al620.jpg]], а потому являются корнями рационального уравнения с переменной t.<br>Но [[Image:Al621.jpg]] значит, либо [[Image:Al622.jpg]] откуда находим, что х = 2у, либо [[Image:Al623.jpg]]<br>Таким образом, с помощью метода введения новой переменной нам удалось как бы «расслоить» первое уравнение системы, достаточно сложное по виду, на два более простых уравнения:<br>х = 2 у; у — 2х.<br>

-	Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х<sup>2</sup> - у<sup>2</sup> = 3, о котором мы пока не вспоминали. Иными словами, задача сводится к решению двух систем уравнений:	+	Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х<sup>2</sup> - у<sup>2</sup> = 3, о котором мы пока не вспоминали. Иными словами, задача сводится к решению двух систем уравнений:

-	[[Image:~~al624~~.jpg]]	+	[[Image:Al624.jpg]]

-	Надо найти решения первой системы, второй системы и все полученные пары значений включить в ответ. Решим первую систему уравнений:	+	Надо найти решения первой системы, второй системы и все полученные пары значений включить в ответ. Решим первую систему уравнений:

-	[[Image:~~al625~~.jpg]]<br>Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. Получим [[Image:~~al626~~.jpg]]<br>Так как х = 2у, то находим соответственно х<sub>1</sub> = 2, х<sub>2</sub> = 2. Тем самым получены два решения заданной системы: (2; 1) и (-2; -1). Решим вторую систему уравнений: [[Image:~~al627~~.jpg]]<br>Снова воспользуемся методом подстановки: подставим выражение 2х вместо у во второе уравнение системы. Получим [[Image:~~al628~~.jpg]]<br>Это уравнение не имеет корней, значит, и система уравнений не имеет решений. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы.<br>'''Ответ:''' (2; 1); (-2;-1).<br>Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах. '''''Первый вариант:''''' вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы. Именно так обстояло дело в примере 3.'''''Второй вариант:''''' вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы. Так будет обстоять дело в примере 4.<br>'''Пример 4.''' Решить систему уравнений  2    3<br>х-3у 8<br>2 х + у 9<br>= 2, = 1.<br>х-3у 2 х + у Решение. Введем две новые переменные: а =<br>6 =<br>Учтем, что тогда<br>8<br>х-3 у<br>- 4а,<br>= 36.<br>2х + у    '    х-Зу " ' х ~ Зу<br>Это позволит переписать заданную систему в значительно более простом виде, но относительно новых переменных а и Ь:<br>\а + Ь = 2,<br>[~~4а - 36 = 1.<br>Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:<br>ГЗа + ЗЬ = 6,~~ [~~4а- 36 = 1.<br>7а =7; а=1.<br>Так как а = 1, то из уравнения а + 6 = 2 находим~~: ~~1 + 6 = 2; 6=1~~. Таким образом, относительно переменных а и 6 мы получили одно решение:<br>[а = 1, [6 = 1.<br>Возвращаясь к переменным х и у, получаем систему уравнений<br>2<br>х-3у 3<br>2х + у<br>= 1, = 1,<br>т.е.<br>х-3 у = 2, 2х + у = 3.<br>52<br>2.6. I<br>СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ<br>Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:<br>+ Г-3 у-2, [6х + 3у = 9.<br>7х = 11; 11<br>11<br>И 7 22<br>Так как х = у, то из уравнения 2 + у = 3 находим: у~3-2х =<br>= 3-2-у=3- ?<br>Таким образом, относительно перемен-<br>ных хиу мы получили одно решение:<br>11<br>1<br><br>Ответ:<br>Г11 1<br>7 ' 7<br>обратите внимание<br>равносильность систем уравнений<br>Завершим этот параграф кратким, но достаточно серьезным теоретическим разговором. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что основная идея решения уравнения состоит в постепенном переходе от одного уравнения к другому, более простому, но равносильному заданному. В предыдущем параграфе мы ввели понятие равносильности для уравнений с двумя переменными. Используют это понятие и для систем уравнений.<br>Определение. Две системы уравнений с переменными х и у называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.<br>Все три метода (подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных), которые<br>53<br>	+	[[Image:Al625.jpg]]<br>Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. Получим [[Image:Al626.jpg]]<br>Так как х = 2у, то находим соответственно х<sub>1</sub> = 2, х<sub>2</sub> = 2. Тем самым получены два решения заданной системы: (2; 1) и (-2; -1). Решим вторую систему уравнений: [[Image:Al627.jpg]]<br>Снова воспользуемся методом подстановки: подставим выражение 2х вместо у во второе уравнение системы. Получим [[Image:Al628.jpg]]<br>Это уравнение не имеет корней, значит, и система уравнений не имеет решений. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы.<br>'''Ответ:''' (2; 1); (-2;-1).<br>Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах. '''''Первый вариант:''''' вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы. Именно так обстояло дело в примере 3.'''''Второй вариант:''''' вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы. Так будет обстоять дело в примере 4.<br>'''Пример 4.''' Решить систему уравнений [[Image:al629.jpg]]

-	2.6. I<br>~~СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ~~<br>мы обсудили в этом параграфе, абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной первоначальной системе.<br>	+	'''Решение.''' Введем две новые переменные: [[Image:al630.jpg]] Учтем, что тогда [[Image:al631.jpg]]
		+
		+	Это позволит переписать заданную систему в значительно более простом виде, но относительно новых переменных а и b:
		+
		+	[[Image:al632.jpg]]<br>Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:
		+
		+	[[Image:al633.jpg]]<br>Так как а = 1, то из уравнения а + 6 = 2 находим: 1 + 6 = 2; 6=1. Таким образом, относительно переменных а и b мы получили одно решение:
		+
		+	[[Image:al634.jpg]]<br>Возвращаясь к переменным х и у, получаем систему уравнений
		+
		+	[[Image:al635.jpg]]<br>Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения: [[Image:al636.jpg]]<br>Так как [[Image:al637.jpg]] то из уравнения 2x + y = 3  находим: [[Image:al638.jpg]]<br>Таким образом, относительно переменных хиу мы получили одно решение: [[Image:al639.jpg]]<br>'''Ответ:''' [[Image:al640.jpg]]<br>Завершим этот параграф кратким, но достаточно серьезным теоретическим разговором. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что основная идея решения уравнения состоит в постепенном переходе от одного уравнения к другому, более простому, но равносильному заданному. В предыдущем параграфе мы ввели понятие равносильности для уравнений с двумя переменными. Используют это понятие и для систем уравнений.<br>'''Определение.''' Две системы уравнений с переменными х и у называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.<br>Все три метода (подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных), которые мы обсудили в этом параграфе, абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной первоначальной системе.<br>

	<br>		<br>

User9 в 07:22, 29 июня 2010

2010-06-29T07:22:45Z

Внесённые изменения

User9 в 07:08, 29 июня 2010

2010-06-29T07:08:13Z

← Предыдущая		Версия 07:08, 29 июня 2010
Строка 1:		Строка 1:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Методы решения систем уравнений<metakeywords>Методы решения систем уравнений</metakeywords>'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 9 класс\|Математика 9 класс]]>>Математика: Методы решения систем уравнений<metakeywords>Методы решения систем уравнений</metakeywords>'''
		+
		+	<br>
		+
		+	'''МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ'''<br>
		+
		+	<br>В этом параграфе мы обсудим три метода решения систем уравнений, более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.<br>'''1. Метод подстановки'''<br>Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим алгоритмом мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).<br>'''''Алгоритм использования метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными х, у.'''''<br>'''1.'''    Выразить у через х из одного уравнения системы.<br>'''2.'''    Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.<br>'''3.'''    Решить полученное уравнение относительно х.<br>'''4.'''    Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге.<br>'''5.'''    Записать ответ в виде пар значений (х; у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.<br>Переменные х и у, разумеется, равноправны, поэтому с таким же успехом мы можем на первом шаге алгоритма выразить не у через х, а х через у из одного уравнения. Обычно выбирают то уравнение, которое представляется более простым, и выражают ту переменную из него, для которой эта процедура представляется более простой.<br>'''Пример 1.''' Решить систему уравнений [[Image:al61.jpg]]<br>'''Р е ш е н и е. 1)''' Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у.<br>'''2)  '''  Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у — 2.<br>'''3) '''   Решим полученное уравнение: [[Image:al62.jpg]]<br>'''4)'''    Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу. Если [[Image:al63.jpg]] то [[Image:al64.jpg]]<br>'''5)'''    Пары (2; 1) и [[Image:al65.jpg]] решения заданной системы уравнений.
		+
		+	'''О тв е т:''' (2; 1); [[Image:al65.jpg]]<br>'''2. Метод алгебраического сложения'''<br>Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере.<br>'''Пример 2.''' Решить систему уравнений [[Image:al66.jpg]]<br>'''Решение.''' Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения: [[Image:al67.jpg]]<br>Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения:
		+
		+	[[Image:al68.jpg]]<br>В результате алгебраического сложения двух уравнений исходной системы получилось уравнение, более простое, чем первое и второе уравнения заданной системы. Этим более простым уравнением мы имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например второе. Тогда заданная система уравнений заменится более простой системой: [[Image:al69.jpg]]<br>Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения находим [[Image:al610.jpg]] Подставив это выражение вместо у в первое уравнение системы, получим
		+
		+	[[Image:al611.jpg]]<br>Осталось подставить найденные значения х в формулу [[Image:al612.jpg]]
		+
		+	Если х = 2, то [[Image:al613.jpg]]<br>Таким образом, мы нашли два решения системы: [[Image:al614.jpg]]
		+
		+	'''Ответ:'''  [[Image:al615.jpg]]
		+
		+	'''3. Метод введения новых переменных'''<br>С методом введения новой переменной при решении рациональных уравнений с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.<br>Пример 3. Решить систему уравнений<br>— + — = 2,5, У х<br>х2 - у2 = 3.<br>х<br>Решение. Введем новую переменную --• Тогда первое<br>У<br>уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: Ь + ~ = 2,5. Решим это уравнение относительно переменной I:<br>I 2<br>2;2 + 2 - ы _ л 21<br>22 -5* +2 = 0;<br>Оба эти значения удовлетворяют условию 21Ф 0, а потому являются корнями рационального уравнения с переменной I.<br>X    X<br>Но I = - , значит, либо — = 2, откуда находим, что х = 2у, либо У    У<br>х 1<br>— = - , откуда находим, что у = 2х. У 2<br>Таким образом, с помощью метода введения новой переменной нам удалось как бы «расслоить» первое уравнение системы, достаточно сложное по виду, на два более простых уравнения:<br>х=2у; у — 2х.<br>
		+
		+	Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х2 - у2 = 3, о котором мы пока не вспоминали. Иными словами, задача сводится к решению двух систем уравнений:<br>50<br>2.5.<br>СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ<br>х = 2 у,    Г у = 2х,<br>х2 - у2 = 3; \х2 - у2 = 3. Надо найти решения первой системы, второй системы и все полученные пары значений включить в ответ. Решим первую систему уравнений:<br>х = 2 у, х2 - у2 = 3.<br>Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. Получим<br>(2у)2-у2 = 3; 4 У2 - у2 —3; Зу2 = 3; У2 = 1; 2/1 = !> У2 = -1-<br>Так как х = 2у, то находим соответственно хх = 2, х2 = -2. Тем самым получены два решения заданной системы: (2; 1) и (-2; -1). Решим вторую систему уравнений:<br>у = 2х,<br>х2 - у2 = 3.<br>Снова воспользуемся методом подстановки: подставим выражение 2х вместо у во второе уравнение системы. Получим<br>х2-(2х)2 = 3; х2 -4.x2 = 3; -Зх2 = 3; х2 = -1.<br>Это уравнение не имеет корней, значит, и система уравнений не имеет решений. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы.<br>Ответ: (2; 1); (-2;-1).<br>Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах. Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном<br>4<br>51<br>2.6. I<br>СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ<br>уравнении системы. Именно так обстояло дело в примере 3. Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы. Так будет обстоять дело в примере 4.<br>Пример 4. Решить систему уравнений 2    3<br>х-3у 8<br>2 х + у 9<br>= 2, = 1.<br>х-3у 2 х + у Решение. Введем две новые переменные: а =<br>6 =<br>Учтем, что тогда<br>8<br>х-3 у<br>- 4а,<br>= 36.<br>2х + у    '    х-Зу " ' х ~ Зу<br>Это позволит переписать заданную систему в значительно более простом виде, но относительно новых переменных а и Ь:<br>\а + Ь = 2,<br>[4а - 36 = 1.<br>Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:<br>ГЗа + ЗЬ = 6, [4а- 36 = 1.<br>7а =7; а=1.<br>Так как а = 1, то из уравнения а + 6 = 2 находим: 1 + 6 = 2; 6=1. Таким образом, относительно переменных а и 6 мы получили одно решение:<br>[а = 1, [6 = 1.<br>Возвращаясь к переменным х и у, получаем систему уравнений<br>2<br>х-3у 3<br>2х + у<br>= 1, = 1,<br>т.е.<br>х-3 у = 2, 2х + у = 3.<br>52<br>2.6. I<br>СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ<br>Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:<br>+ Г-3 у-2, [6х + 3у = 9.<br>7х = 11; 11<br>11<br>И 7 22<br>Так как х = у, то из уравнения 2* + у = 3 находим: у~3-2х =<br>= 3-2-у=3- ?<br>Таким образом, относительно перемен-<br>ных хиу мы получили одно решение:<br>11<br>1<br><br>Ответ:<br>Г11 1<br>7 ' 7<br>обратите внимание<br>равносильность систем уравнений<br>Завершим этот параграф кратким, но достаточно серьезным теоретическим разговором. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что основная идея решения уравнения состоит в постепенном переходе от одного уравнения к другому, более простому, но равносильному заданному. В предыдущем параграфе мы ввели понятие равносильности для уравнений с двумя переменными. Используют это понятие и для систем уравнений.<br>Определение. Две системы уравнений с переменными х и у называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.<br>Все три метода (подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных), которые<br>53<br>
		+
		+	2.6. I<br>СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ<br>мы обсудили в этом параграфе, абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной первоначальной системе.<br>
		+
		+	<br>

	А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс		А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

User9: Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

2010-06-29T06:37:54Z

Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...

Новая страница

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]>>Математика: Методы решения систем уравнений<metakeywords>Методы решения систем уравнений</metakeywords>'''

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

 

Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие

Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

← Предыдущая		Версия 10:39, 7 июля 2015
Строка 3:		Строка 3:
	<br>		<br>

-	~~ ~~'''Методы решения систем уравнений'''~~<br>~~	+	'''Методы решения систем уравнений'''

-	~~<br>В этом параграфе мы обсудим три метода~~ решения ~~[[Системы уравнений. Основные понятия\|~~систем ~~уравнений]], более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.~~	+	Какие существуют методы решения систем уравнения?

-	<br>~~'''1.~~ Метод подстановки~~'''~~	+	В этом параграфе мы обсудим три метода решения [[Системы уравнений. Основные понятия\|систем уравнений]], более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.
		+
		+	<h2>Метод подстановки</h2>

	Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим [[Урок 4. Программа действий. Алгоритм\|алгоритмом]] мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).		Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим [[Урок 4. Программа действий. Алгоритм\|алгоритмом]] мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).
Строка 21:		Строка 23:
	[[Image:Al61.jpg\|120px\|Система уравнений]]		[[Image:Al61.jpg\|120px\|Система уравнений]]

-	'''~~Р е ш е н и е~~. '''	+	'''Решение. '''

	1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у.<br>2)Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у — 2.<br>3)Решим полученное [[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку\|уравнение]]:		1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у.<br>2)Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у — 2.<br>3)Решим полученное [[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку\|уравнение]]:
Строка 27:		Строка 29:
	[[Image:Al62.jpg\|160px\|Система уравнений]]<br>4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу. Если [[Image:Al63.jpg]] то [[Image:Al64.jpg\|120px\|Уравнение]]<br>5)    Пары (2; 1) и [[Image:Al65.jpg]] решения заданной системы уравнений.		[[Image:Al62.jpg\|160px\|Система уравнений]]<br>4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу. Если [[Image:Al63.jpg]] то [[Image:Al64.jpg\|120px\|Уравнение]]<br>5)    Пары (2; 1) и [[Image:Al65.jpg]] решения заданной системы уравнений.

-	~~О тв е т~~: (2; 1); [[Image:Al65.jpg]]	+	Ответ: (2; 1); [[Image:Al65.jpg]]

-	<br>~~'''2.~~ Метод алгебраического сложения~~'''~~	+	<h2>Метод алгебраического сложения</h2>

	Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере.		Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере.
Строка 53:		Строка 55:


-	~~'''3.~~ Метод введения новых переменных~~'''~~	+	<h2>Метод введения новых переменных</h2>

	С методом введения новой переменной при решении [[Рациональные уравнения\|рациональных уравнений]] с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.		С методом введения новой переменной при решении [[Рациональные уравнения\|рациональных уравнений]] с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.
Строка 122:		Строка 124:

	''А.Г. Мордкович [http://xvatit.com/vuzi/ Алгебра] 9 класс''		''А.Г. Мордкович [http://xvatit.com/vuzi/ Алгебра] 9 класс''
-
-	~~<br>~~
-
-	<sub>Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика\|скачать]]</sub>
-
-	~~'''<u>Содержание урока</u>'''~~
-	~~'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] конспект урока '''~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] презентация урока~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии~~
-
-	~~'''<u>Практика</u>'''~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] самопроверка~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] домашние задания~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников~~
-
-	~~'''<u>Иллюстрации</u>'''~~
-	~~'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты~~
-
-	~~'''<u>Дополнения</u>'''~~
-	~~'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] статьи~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] прочие~~
-
-	~~<u>Совершенствование учебников и уроков~~
-	~~</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми~~
-
-	~~'''<u>Только для учителей</u>'''~~
-	~~'''[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] программы~~
-	~~[[Image:1236084776 kr.jpg\|10x10px\|1236084776 kr.jpg]] обсуждения~~
-
-
-	~~'''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>~~
-	~~</u>~~
-
-	~~<br>~~
-
-	~~Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].~~
-
-	Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].