KNOWLEDGE HYPERMARKET


Параллельные прямые. Полные уроки
Строка 66: Строка 66:
[[Image:25102010 1.jpg|501x167px|25102010 1.jpg]]  
[[Image:25102010 1.jpg|501x167px|25102010 1.jpg]]  
-
<u>'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Признаки</span>''' параллельности двух прямых. </u>
+
'''<u><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Признаки</span> параллельности двух прямых.</u>'''
-
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>Прямая с называется секущей ми отношению к прямым а
+
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Прямая с называется секущей ми отношению к прямым а
-
и </u></span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;"><u>b</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>, если она пересекает их в двух
+
и </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">, если она пересекает их в двух
-
точках (рис. 3). При пересечении прямых а и </u></span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;"><u>b</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
+
точках (рис. 3). При пересечении прямых а и </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
-
<u>секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 3 обозначены цифрами.
+
секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 3 обозначены цифрами.
-
Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:</u></span><u></u>
+
Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:</span>  
-
<u>''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">накрест</span>'' лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;</u>
+
''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">накрест</span>'' лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;  
-
<u>''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">односторонние</span>'' углы: 4 и 5, 3 и 6; соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.</u>
+
''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">односторонние</span>'' углы: 4 и 5, 3 и 6; соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.  
-
<u>[[Image:25102010 2.jpg|300x238px|25102010 2.jpg]]</u>
+
<u>[[Image:25102010 2.jpg|300x238px|25102010 2.jpg]]</u>  
-
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>Рассмотрим
+
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Рассмотрим
-
три признака параллельности двух прямых, связанные с этими парами углов.</u></span><u></u>
+
три признака параллельности двух прямых, связанные с этими парами углов.</span>  
-
<u>'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Теорема.</span>'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
+
'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Теорема.</span>'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые
-
параллельны.</span></u>
+
параллельны.</span>  
-
<u>'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Доказательство.</span>'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
+
'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Доказательство.</span>'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
Пусть при пересечении прямых а и </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"> секущей
Пусть при пересечении прямых а и </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"> секущей
-
АВ накрест лежащие углы равны: </span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">1=</span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">2 (рис. 4, а).</span></u>
+
АВ накрест лежащие углы равны: </span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">1=</span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">2 (рис. 4, а).</span>  
-
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>окажем,
+
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">окажем,
-
что а||</u></span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;"><u>b</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 4, б), то прямые а и </u></span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;"><u>b</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
+
что а||</span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 4, б), то прямые а и </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
-
<u>перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны. Рассмотрим случай,
+
перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны. Рассмотрим случай,
когда углы 1 и 2 не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН
когда углы 1 и 2 не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН
-
к прямой а (рис. 4, в). На прямой </u></span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;"><u>b</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u> от точки
+
к прямой а (рис. 4, в). На прямой </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"> от точки
-
В отложим отрезок ВН1 равный отрезку </u></span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;"><u>AH</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>, как
+
В отложим отрезок ВН1 равный отрезку </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">AH</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">, как
показано на рисунке 4, в, и проведем отрезок ОН1. Треугольники ОНА и ОН1В
показано на рисунке 4, в, и проведем отрезок ОН1. Треугольники ОНА и ОН1В
-
равны по двум сторонам и углу между ними (АО=ВО. АН=ВН1 </u></span><span lang="RU"><u>∠</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>1=</u></span><span lang="RU"><u>∠</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>2), поэтому </u></span><span lang="RU"><u>∠</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>3=</u></span><span lang="RU"><u>∠</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>4 и </u></span><span lang="RU"><u>∠</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>15=</u></span><span lang="RU"><u>∠</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>16. Из равенства </u></span><span lang="RU"><u>∠</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>3=</u></span><span lang="RU"><u>∠</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>4 следует, что точка Н1 лежит на
+
равны по двум сторонам и углу между ними (АО=ВО. АН=ВН1 </span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">1=</span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">2), поэтому </span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">3=</span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">4 и </span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">15=</span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">16. Из равенства </span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">3=</span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">4 следует, что точка Н1 лежит на
продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н1 лежат на одной прямой, а из
продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н1 лежат на одной прямой, а из
-
равенства </u></span><span lang="RU"><u>∠</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>5=</u></span><span lang="RU"><u>∠</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>6 следует, что угол 6 —
+
равенства </span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">5=</span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">6 следует, что угол 6 —
-
прямой (так как угол 5 — прямой). Значит, прямые а и </u></span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;"><u>b</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
+
прямой (так как угол 5 — прямой). Значит, прямые а и </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
-
<u>перпендикулярны к прямой НН1 поэтому они параллельны. Теорема доказана.
+
перпендикулярны к прямой НН1 поэтому они параллельны. Теорема доказана.
-
</u></span><u></u>
+
</span>  
-
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>[[Image:25102010 3.jpg|499x166px|25102010 3.jpg]]</u></span><u></u>
+
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">[[Image:25102010 3.jpg|499x166px|25102010 3.jpg]]</span>  
-
<u>'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Теорема.</span>'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
+
'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Теорема.</span>'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые
-
параллельны.</span></u>
+
параллельны.</span>  
-
<u>'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Доказательство.</span>'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
+
'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Доказательство.</span>'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
Пусть при пересечении прямых а и </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"> секущей
Пусть при пересечении прямых а и </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"> секущей
с соответственные углы равны, например </span><span>∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">1=</span><span>∠</span><span style="font-size: 10pt;">2</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"> (рис. 5). Так как углы 2 и 3 - </span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">вертикальные,
с соответственные углы равны, например </span><span>∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">1=</span><span>∠</span><span style="font-size: 10pt;">2</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"> (рис. 5). Так как углы 2 и 3 - </span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">вертикальные,
Строка 118: Строка 118:
1=</span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">3.
1=</span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">3.
Но углы 1 и 3 — накрест лежащие, поэтому прямые а и </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
Но углы 1 и 3 — накрест лежащие, поэтому прямые а и </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
-
параллельны. Теорема доказана.</span></u>
+
параллельны. Теорема доказана.</span>  
-
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>Теорема.
+
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Теорема.
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°,
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°,
-
то прямые параллельны.</u></span><u></u>
+
то прямые параллельны.</span>  
-
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>Доказательство.
+
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Доказательство.
-
Пусть при пересечении прямых а и </u></span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;"><u>b</u></span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;"><u> </u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>секущей
+
Пусть при пересечении прямых а и </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;"> </span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">секущей
-
с сумма односторонних углов равна 180°, например </u></span><span lang="RU"><u>∠</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>1+</u></span><span lang="RU"><u>∠</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>4=180° (см. рис. 5). Так как
+
с сумма односторонних углов равна 180°, например </span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">1+</span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">4=180° (см. рис. 5). Так как
-
углы 3 и 4 — смежные, то </u></span><span lang="RU"><u>∠</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>3+</u></span><span lang="RU"><u>∠</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>4=180°. Из этих двух равенств следует, что накрест
+
углы 3 и 4 — смежные, то </span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">3+</span><span lang="RU">∠</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">4=180°. Из этих двух равенств следует, что накрест
-
лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и </u></span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;"><u>b</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
+
лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">
-
<u>параллельны. Теорема доказана.</u></span><u></u>
+
параллельны. Теорема доказана.</span>  
-
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>[[Image:25102010 4.jpg|300x266px|25102010 4.jpg]]</u></span><u></u>
+
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">[[Image:25102010 4.jpg|300x266px|25102010 4.jpg]]</span>  
-
<u><br></u>
+
<br>  
-
<u>'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Практические способы построения параллельных прямых.</span>'''</u>
+
'''<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Практические способы построения параллельных прямых.</span>'''  
-
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>Признаки параллельности
+
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Признаки параллельности
прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью
прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью
различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения
различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения
Строка 144: Строка 144:
угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем, передвигая
угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем, передвигая
угольник вдоль линейки, добьемся того, чтобы точ ка М оказалась на стороне
угольник вдоль линейки, добьемся того, чтобы точ ка М оказалась на стороне
-
угольника, и проведем прямую </u></span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;"><u>b</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>. Прямые
+
угольника, и проведем прямую </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;">. Прямые
-
а и </u></span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;"><u>b</u></span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u> параллельны, так как
+
а и </span><span lang="EN-US" style="font-size: 10pt;">b</span><span lang="RU" style="font-size: 10pt;"> параллельны, так как
-
соответственные углы, обозначенные на рисунке 103 буквами альфа</u></span><u></u>
+
соответственные углы, обозначенные на рисунке 103 буквами альфа</span>  
-
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u
+
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">и
-
бета, равны.</u></span><u></u>
+
бета, равны.</span>  
-
<u>[[Image:25102010 5.jpg|400x269px|25102010 5.jpg]]</u>
+
[[Image:25102010 5.jpg|400x269px|25102010 5.jpg]]  
-
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>Еще есть способ построения параллельных прямых при
+
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Еще есть способ построения параллельных прямых при
-
помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертежной практике.</u></span><u></u>
+
помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертежной практике.</span>  
-
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;"><u>Аналогичный
+
<span lang="RU" style="font-size: 10pt;">Аналогичный
способ применяется при выполнении столярных работ, где для разметки
способ применяется при выполнении столярных работ, где для разметки
параллельных прямых используется малка (две деревянные планки, скрепленные
параллельных прямых используется малка (две деревянные планки, скрепленные
-
шарниром).</u></span><u></u>
+
шарниром).</span><u></u>  
-
<u>{{#ev:youtube|_fJkecAiJY0}}</u><u></u>
+
<u>{{#ev:youtube|_fJkecAiJY0}}</u><u></u>  
-
<u>&lt;u&gt;'''Вопросы:'''</u>  
+
<u>'''Вопросы:'''</u>  
#Какие прямые называются параллельными?  
#Какие прямые называются параллельными?  

Версия 08:27, 25 октября 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Геометрические фигуры. Полные уроки


Параллельные прямые.


Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельность прямых а и b обозначают так: а||b. На рисунке 1 изображены прямые a и b, перпендикулярные к прямой с. Такие прямые а и b не пересекаются, т. е. они параллельны.

25102010.jpg

Наряду с параллельными прямыми часто рассматривают параллельные отрезки. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. На рисунке (рис. 2,а) отрез­ки АВ и СD параллельны (АВ||СО) а отрезки МN и СD не параллельны. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой (рис. 2,б), луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей(рис. 2,в).

25102010 1.jpg

Признаки параллельности двух прямых.

Прямая с называется секущей ми отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках (рис. 3). При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 3 обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6; соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

25102010 2.jpg

Рассмотрим три признака параллельности двух прямых, связанные с этими парами углов.

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны: 1=2 (рис. 4, а).

окажем, что а||b. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 4, б), то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 4, в). На прямой b от точки В отложим отрезок ВН1 равный отрезку AH, как показано на рисунке 4, в, и проведем отрезок ОН1. Треугольники ОНА и ОН1В равны по двум сторонам и углу между ними (АО=ВО. АН=ВН1 1=2), поэтому 3=4 и 15=16. Из равенства 3=4 следует, что точка Н1 лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н1 лежат на одной прямой, а из равенства 5=6 следует, что угол 6 — прямой (так как угол 5 — прямой). Значит, прямые а и b перпендикулярны к прямой НН1 поэтому они параллельны. Теорема доказана.

25102010 3.jpg

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например 1=2 (рис. 5). Так как углы 2 и 3 - вертикальные, то 2=3. Из этих двух равенств следует, что 1=3. Но углы 1 и 3 — накрест лежащие, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например 1+4=180° (см. рис. 5). Так как углы 3 и 4 — смежные, то 3+4=180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

25102010 4.jpg


Практические способы построения параллельных прямых.

Признаки параллельности прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки. Чтобы построить прямую, проходящую через точку М и параллельную данной прямой а, приложим чертежный угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем, передвигая угольник вдоль линейки, добьемся того, чтобы точ ка М оказалась на стороне угольника, и проведем прямую b. Прямые а и b параллельны, так как соответственные углы, обозначенные на рисунке 103 буквами альфа

и бета, равны.

25102010 5.jpg

Еще есть способ построения параллельных прямых при помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертежной практике.

Аналогичный способ применяется при выполнении столярных работ, где для разметки параллельных прямых используется малка (две деревянные планки, скрепленные шарниром).

Вопросы:

  1. Какие прямые называются параллельными?
  2. Какие практические способы построения параллельных прямых существуют.?

Список использованных источников:

  1. Погорелов, Геометрия 7-11 класс.
  2. Атанасян, Геометрия 7-9 класс.
  3. http ://moodle.nci.kz



Отредактировано и выслано Потурнаком С .А.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Предмети > Математика > Математика 7 класс