KNOWLEDGE HYPERMARKET


Теорема Виета
Строка 3: Строка 3:
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика: Теорема Виета)'''  
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика: Теорема Виета)'''  
-
Теорема Виета
+
<br> '''Теорема Виета'''
-
</p><p><br />В этом параграфе мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).  
+
<br>В этом параграфе мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).  
-
</p><p><br />
+
-
</p><p><img src="/images/c/c5/14-06-47.jpg" _fck_mw_filename="14-06-47.jpg" alt="" /><br /><br />Например, для уравнения Зx<sup>2</sup> - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна <img src="/images/6/60/14-06-48.jpg" _fck_mw_filename="14-06-48.jpg" alt="" />, а произведение корней равно <img src="/images/8/80/14-06-49.jpg" _fck_mw_filename="14-06-49.jpg" alt="" /><br /> т. е. - 2. А для уравнения х<sup>2</sup> - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2. <br />Доказательство теоремы Виета. Корни х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> квадратного уравнения ах<sup>2</sup> + bх + с = 0 находятся по формулам
+
-
</p><p><img src="/images/9/9a/14-06-50.jpg" _fck_mw_filename="14-06-50.jpg" alt="" /><br /><br />где D = b<sup>2</sup> — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни, <br />получим
+
-
</p><p><img src="/images/9/95/14-06-51.jpg" _fck_mw_filename="14-06-51.jpg" alt="" /><br /><br />Теперь вычислим произведение корней х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> Имеем
+
-
</p><p><img src="/images/d/df/14-06-52.jpg" _fck_mw_filename="14-06-52.jpg" alt="" /><br /><br />Второе соотношение доказано: <img src="/images/4/48/14-06-53.jpg" _fck_mw_filename="14-06-53.jpg" alt="" /><br /><i><b>Замечание.</b></i> Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения. <br />Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х<sup>2</sup> + рх + q = 0. В этом случае получаем:
+
-
</p><p>x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub> = -p, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> =q<br /><i><b>т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.</b></i><br />С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> — корни приведенного квадратного уравнения х<sup>2</sup> + рх + q = 0. Тогда
+
-
</p><p><img src="/images/4/4f/14-06-54.jpg" _fck_mw_filename="14-06-54.jpg" alt="" /><br /><br />Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.
+
-
</p><p><br />
+
-
</p><p><img src="/images/6/6c/14-06-55.jpg" _fck_mw_filename="14-06-55.jpg" alt="" /><br /><br />Доказательство. Имеем
+
-
</p><p><img src="/images/3/33/14-06-56.jpg" _fck_mw_filename="14-06-56.jpg" alt="" /><br /><b><br />Пример 1</b>. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх<sup>2</sup> - 10x + 3. <br />Решение. Решив уравнение Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх<sup>2</sup> - 10x + 3: х<sub>1</sub> = 3, х2 = <img src="/images/d/dd/14-06-57.jpg" _fck_mw_filename="14-06-57.jpg" alt="" />. <br />Воспользовавшись теоремой 2, получим <br />
+
-
</p><p><img src="/images/3/3d/14-06-58.jpg" _fck_mw_filename="14-06-58.jpg" alt="" /><br /><br />Есть смысл вместо <img src="/images/7/7c/14-06-59.jpg" _fck_mw_filename="14-06-59.jpg" alt="" /> написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1). <br />Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки: <br />
+
-
</p><p>Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = Зх<sup>2</sup> - 9х - х + 3 = <br />= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1). <br />
+
-
</p><p>Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован. <br /><b>Пример 1</b>. Сократить дробь <br />
+
-
</p><p><img src="/images/0/00/14-06-60.jpg" _fck_mw_filename="14-06-60.jpg" alt="" /><br /><br />Решение. Из уравнения 2х<sup>2</sup> + 5х + 2 = 0 находим х<sub>1</sub> = - 2, <br />
+
-
</p><p><img src="/images/9/92/14-06-61.jpg" _fck_mw_filename="14-06-61.jpg" alt="" /><br /><br />Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х<sub>1</sub> = 6, х<sub>2</sub> = -2. Поэтому <br />х<sup>2</sup>- 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2). <br />А теперь сократим заданную дробь:<br />
+
-
</p><p><img src="/images/4/45/14-06-62.jpg" _fck_mw_filename="14-06-62.jpg" alt="" /><br /><br /><b>Пример 3</b>. Разложить на множители выражения: <br />а)x4 + 5x<sup>2</sup>+6; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; б)2x+<img src="/images/8/8d/14-06-63.jpg" _fck_mw_filename="14-06-63.jpg" alt="" />-3<br />Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х<sup>2</sup>. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у<sup>2</sup> + bу + 6. <br />Решив уравнение у<sup>2</sup> + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у<sup>2</sup> + 5у + 6: у<sub>1</sub> = - 2, у<sub>2</sub> = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим<br />
+
-
</p><p>у<sup>2</sup> + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3). <br />Осталось вспомнить, что у = x<sup>2</sup> , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, <br />x<sup>4</sup> + 5х<sup>2</sup>+ 6 = (х<sup>2</sup> + 2)(х<sup>2</sup> + 3). <br />б) Введем новую переменную у = <img src="/images/8/8d/14-06-63.jpg" _fck_mw_filename="14-06-63.jpg" alt="" />. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у<sup>2</sup> + у - 3. Решив уравнение <br />2у<sup>2</sup> + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у<sup>2</sup> + у - 3: <br />y<sub>1</sub> = 1,&nbsp;&nbsp;&nbsp; y<sub>2</sub>= <img src="/images/7/7a/14-06-64.jpg" _fck_mw_filename="14-06-64.jpg" alt="" />. Далее, используя теорему 2, получим: <br />
+
-
</p><p><img src="/images/6/64/14-06-65.jpg" _fck_mw_filename="14-06-65.jpg" alt="" /><br /><br />Осталось вспомнить, что у =  , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, <br />
+
-
</p><p><img src="/images/4/4f/14-06-66.jpg" _fck_mw_filename="14-06-66.jpg" alt="" /><br /><br />В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением: <br />если числа х<sub>1</sub>, х<sub>2</sub> таковы, что х<sup>1</sup> + х<sup>2</sup> = - р, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> = q, то эти числа — корни уравнения <br />С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.
+
-
</p><p>1) х<sup>2</sup> - 11х + 24 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = 11, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 24. Нетрудно догадаться, что х<sub>1</sub> = 8, х<sub>2</sub> = 3.
+
-
</p><p>2) х<sup>2</sup> + 11х + 30 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = -11,&nbsp; х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 30. Нетрудно догадаться, что х<sub>1</sub> = -5, х<sub>2</sub> = -6. <br />Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.
+
-
</p><p>3) х<sup>2</sup> + х - 12 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = -1, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = -12. Легко догадаться, что х<sub>1</sub> = 3, х2 = -4. <br />Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.
+
-
</p><p>4) 5х<sup>2</sup> + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х<sub>1</sub> = 1 — корень уравнения. Так как х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = -<img src="/images/e/ee/14-06-67.jpg" _fck_mw_filename="14-06-67.jpg" alt="" />, а х<sub>1</sub> = 1, то получаем, что х<sub>2</sub> = -<img src="/images/e/ee/14-06-67.jpg" _fck_mw_filename="14-06-67.jpg" alt="" /> .
+
-
</p><p>5) х<sup>2</sup> - 293x + 2830 = 0. Здесь х<sub>1</sub>+ х<sub>2</sub> = 293, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х<sub>1</sub> = 283, х<sub>2</sub> = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).
+
-
</p><p>6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х<sub>1</sub> = 8, х<sub>2</sub> = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х<sup>2</sup> + рх + q = 0. <br />Имеем х<sub>1</sub>+ х<sub>2</sub>= -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub>= q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х<sup>2</sup>-4х-32 = 0. <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
+
-
</p><p><br />
+
-
</p><p><br />
+
-
</p><p><sub>Математика за 8 класс бесплатно <a href="Математика">скачать</a>, планы конспектов уроков, готовимся к школе <a href="Гипермаркет знаний - первый в мире!">онлайн</a></sub>
+
-
</p><p><br />
+
-
</p>
+
-
<pre class="_fck_mw_lspace"><b><u>Содержание урока</u></b>
+
-
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> конспект урока                      </b>
+
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> опорный каркас 
+
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> презентация урока
+
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> акселеративные методы
+
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> интерактивные технологии
+
-
<b><u>Практика</u></b>
+
<br> Например, для уравнения Зx<sup>2</sup> - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна &lt;img src="/images/6/60/14-06-48.jpg" _fck_mw_filename="14-06-48.jpg" alt="" /&gt;, а произведение корней равно &lt;img src="/images/8/80/14-06-49.jpg" _fck_mw_filename="14-06-49.jpg" alt="" /&gt;<br> т. е. - 2. А для уравнения х<sup>2</sup> - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2. <br>Доказательство теоремы Виета. Корни х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> квадратного уравнения ах<sup>2</sup> + bх + с = 0 находятся по формулам
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> задачи и упражнения
+
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> самопроверка
+
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> домашние задания
+
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> дискуссионные вопросы
+
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> риторические вопросы от учеников
+
-
+
-
<b><u>Иллюстрации</u></b>
+
-
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> аудио-, видеоклипы и мультимедиа </b>
+
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> фотографии, картинки
+
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> графики, таблицы, схемы
+
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+
-
<b><u>Дополнения</u></b>
+
&lt;img src="/images/9/9a/14-06-50.jpg" _fck_mw_filename="14-06-50.jpg" alt="" /&gt;<br><br>где D = b<sup>2</sup> — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни, <br>получим
-
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> рефераты</b>
+
 
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> статьи
+
&lt;img src="/images/9/95/14-06-51.jpg" _fck_mw_filename="14-06-51.jpg" alt="" /&gt;<br><br>Теперь вычислим произведение корней х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> Имеем
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> фишки для любознательных
+
 
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> шпаргалки
+
&lt;img src="/images/d/df/14-06-52.jpg" _fck_mw_filename="14-06-52.jpg" alt="" /&gt;<br><br>Второе соотношение доказано: &lt;img src="/images/4/48/14-06-53.jpg" _fck_mw_filename="14-06-53.jpg" alt="" /&gt;<br>'''''Замечание.''''' Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения. <br>Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х<sup>2</sup> + рх + q = 0. В этом случае получаем:
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> учебники основные и дополнительные
+
 
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> словарь терминов                         
+
x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub> = -p, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> =q<br>'''''т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.'''''<br>С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> — корни приведенного квадратного уравнения х<sup>2</sup> + рх + q = 0. Тогда
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> прочие
+
 
-
<b><u></u></b>
+
&lt;img src="/images/4/4f/14-06-54.jpg" _fck_mw_filename="14-06-54.jpg" alt="" /&gt;<br><br>Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.
-
<u>Совершенствование учебников и уроков
+
 
-
</u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> исправление ошибок в учебнике</b>
+
<br>
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> обновление фрагмента в учебнике
+
 
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> элементы новаторства на уроке
+
&lt;img src="/images/6/6c/14-06-55.jpg" _fck_mw_filename="14-06-55.jpg" alt="" /&gt;<br><br>Доказательство. Имеем
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> замена устаревших знаний новыми
+
 
 +
&lt;img src="/images/3/33/14-06-56.jpg" _fck_mw_filename="14-06-56.jpg" alt="" /&gt;<br>'''<br>Пример 1'''. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх<sup>2</sup> - 10x + 3. <br>Решение. Решив уравнение Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх<sup>2</sup> - 10x + 3: х<sub>1</sub> = 3, х2 = &lt;img src="/images/d/dd/14-06-57.jpg" _fck_mw_filename="14-06-57.jpg" alt="" /&gt;. <br>Воспользовавшись теоремой 2, получим <br>
 +
 
 +
&lt;img src="/images/3/3d/14-06-58.jpg" _fck_mw_filename="14-06-58.jpg" alt="" /&gt;<br><br>Есть смысл вместо &lt;img src="/images/7/7c/14-06-59.jpg" _fck_mw_filename="14-06-59.jpg" alt="" /&gt; написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1). <br>Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки: <br>
 +
 
 +
Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = Зх<sup>2</sup> - 9х - х + 3 = <br>= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1). <br>  
 +
 
 +
Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован. <br>'''Пример 1'''. Сократить дробь <br>
 +
 
 +
&lt;img src="/images/0/00/14-06-60.jpg" _fck_mw_filename="14-06-60.jpg" alt="" /&gt;<br><br>Решение. Из уравнения 2х<sup>2</sup> + 5х + 2 = 0 находим х<sub>1</sub> = - 2, <br>
 +
 
 +
&lt;img src="/images/9/92/14-06-61.jpg" _fck_mw_filename="14-06-61.jpg" alt="" /&gt;<br><br>Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х<sub>1</sub> = 6, х<sub>2</sub> = -2. Поэтому <br>х<sup>2</sup>- 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2). <br>А теперь сократим заданную дробь:<br>
 +
 
 +
&lt;img src="/images/4/45/14-06-62.jpg" _fck_mw_filename="14-06-62.jpg" alt="" /&gt;<br><br>'''Пример 3'''. Разложить на множители выражения: <br>а)x4 + 5x<sup>2</sup>+6; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; б)2x+&lt;img src="/images/8/8d/14-06-63.jpg" _fck_mw_filename="14-06-63.jpg" alt="" /&gt;-3<br>Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х<sup>2</sup>. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у<sup>2</sup> + bу + 6. <br>Решив уравнение у<sup>2</sup> + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у<sup>2</sup> + 5у + 6: у<sub>1</sub> = - 2, у<sub>2</sub> = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим<br>  
 +
 
 +
у<sup>2</sup> + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3). <br>Осталось вспомнить, что у = x<sup>2</sup> , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, <br>x<sup>4</sup> + 5х<sup>2</sup>+ 6 = (х<sup>2</sup> + 2)(х<sup>2</sup> + 3). <br>б) Введем новую переменную у = &lt;img src="/images/8/8d/14-06-63.jpg" _fck_mw_filename="14-06-63.jpg" alt="" /&gt;. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у<sup>2</sup> + у - 3. Решив уравнение <br>2у<sup>2</sup> + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у<sup>2</sup> + у - 3: <br>y<sub>1</sub> = 1,&nbsp;&nbsp;&nbsp; y<sub>2</sub>= &lt;img src="/images/7/7a/14-06-64.jpg" _fck_mw_filename="14-06-64.jpg" alt="" /&gt;. Далее, используя теорему 2, получим: <br>  
 +
 
 +
&lt;img src="/images/6/64/14-06-65.jpg" _fck_mw_filename="14-06-65.jpg" alt="" /&gt;<br><br>Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, <br>
 +
 
 +
&lt;img src="/images/4/4f/14-06-66.jpg" _fck_mw_filename="14-06-66.jpg" alt="" /&gt;<br><br>В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением: <br>если числа х<sub>1</sub>, х<sub>2</sub> таковы, что х<sup>1</sup> + х<sup>2</sup> = - р, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> = q, то эти числа — корни уравнения <br>С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.
 +
 
 +
1) х<sup>2</sup> - 11х + 24 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = 11, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 24. Нетрудно догадаться, что х<sub>1</sub> = 8, х<sub>2</sub> = 3.
 +
 
 +
2) х<sup>2</sup> + 11х + 30 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = -11,&nbsp; х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 30. Нетрудно догадаться, что х<sub>1</sub> = -5, х<sub>2</sub> = -6. <br>Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.
 +
 
 +
3) х<sup>2</sup> + х - 12 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = -1, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = -12. Легко догадаться, что х<sub>1</sub> = 3, х2 = -4. <br>Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.
 +
 
 +
4) 5х<sup>2</sup> + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х<sub>1</sub> = 1 — корень уравнения. Так как х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = -&lt;img src="/images/e/ee/14-06-67.jpg" _fck_mw_filename="14-06-67.jpg" alt="" /&gt;, а х<sub>1</sub> = 1, то получаем, что х<sub>2</sub> = -&lt;img src="/images/e/ee/14-06-67.jpg" _fck_mw_filename="14-06-67.jpg" alt="" /&gt; .
 +
 
 +
5) х<sup>2</sup> - 293x + 2830 = 0. Здесь х<sub>1</sub>+ х<sub>2</sub> = 293, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х<sub>1</sub> = 283, х<sub>2</sub> = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).
 +
 
 +
6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х<sub>1</sub> = 8, х<sub>2</sub> = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х<sup>2</sup> + рх + q = 0. <br>Имеем х<sub>1</sub>+ х<sub>2</sub>= -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub>= q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х<sup>2</sup>-4х-32 = 0.
 +
 
 +
''Мордкович А. Г., [http://xvatit.com/vuzi/ '''Алгебра''']. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил. ''
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
<sub>[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]] библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса [[Математика|скачать]]</sub>
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
'''<u>Содержание урока</u>'''
 +
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                      '''
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас 
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии
   
   
-
<b><u>Только для учителей</u></b>
+
'''<u>Практика</u>'''
-
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> идеальные уроки </b>
+
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> календарный план на год  
+
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> методические рекомендации  
+
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> программы
+
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> обсуждения
+
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
 +
 +
'''<u>Иллюстрации</u>'''
 +
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
 +
 +
'''<u>Дополнения</u>'''
 +
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи
 +
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов                         
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие
 +
'''<u></u>'''
 +
  <u>Совершенствование учебников и уроков
 +
</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми
 +
 +
'''<u>Только для учителей</u>'''
 +
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год 
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации 
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
 +
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
 +
 +
 +
'''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>
 +
</u>
 +
 
 +
<br>  
 +
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].
-
<b><u>Интегрированные уроки</u></b><u>
+
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
-
</u>
+
-
</pre>
+
-
<p><br />
+
-
</p><p>Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, <a href="http://xvatit.com/index.php?do=feedback">напишите нам</a>.
+
-
</p><p>Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - <a href="http://xvatit.com/forum/">Образовательный форум</a>.
+
-
</p>
+

Версия 10:48, 8 октября 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Теорема Виета)


Теорема Виета


В этом параграфе мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).


Например, для уравнения Зx2 - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна <img src="/images/6/60/14-06-48.jpg" _fck_mw_filename="14-06-48.jpg" alt="" />, а произведение корней равно <img src="/images/8/80/14-06-49.jpg" _fck_mw_filename="14-06-49.jpg" alt="" />
т. е. - 2. А для уравнения х2 - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2.
Доказательство теоремы Виета. Корни х1 и х2 квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 находятся по формулам

<img src="/images/9/9a/14-06-50.jpg" _fck_mw_filename="14-06-50.jpg" alt="" />

где D = b2 — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни,
получим

<img src="/images/9/95/14-06-51.jpg" _fck_mw_filename="14-06-51.jpg" alt="" />

Теперь вычислим произведение корней х1 и х2 Имеем

<img src="/images/d/df/14-06-52.jpg" _fck_mw_filename="14-06-52.jpg" alt="" />

Второе соотношение доказано: <img src="/images/4/48/14-06-53.jpg" _fck_mw_filename="14-06-53.jpg" alt="" />
Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.
Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. В этом случае получаем:

x1 = x2 = -p, x1x2 =q
т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х1 и х2 — корни приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. Тогда

<img src="/images/4/4f/14-06-54.jpg" _fck_mw_filename="14-06-54.jpg" alt="" />

Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.


<img src="/images/6/6c/14-06-55.jpg" _fck_mw_filename="14-06-55.jpg" alt="" />

Доказательство. Имеем

<img src="/images/3/33/14-06-56.jpg" _fck_mw_filename="14-06-56.jpg" alt="" />

Пример 1
. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх2 - 10x + 3.
Решение. Решив уравнение Зх2 - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх2 - 10x + 3: х1 = 3, х2 = <img src="/images/d/dd/14-06-57.jpg" _fck_mw_filename="14-06-57.jpg" alt="" />.
Воспользовавшись теоремой 2, получим

<img src="/images/3/3d/14-06-58.jpg" _fck_mw_filename="14-06-58.jpg" alt="" />

Есть смысл вместо <img src="/images/7/7c/14-06-59.jpg" _fck_mw_filename="14-06-59.jpg" alt="" /> написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх2 - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1).
Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки:

Зх2 - 10x + 3 = Зх2 - 9х - х + 3 =
= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1).

Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован.
Пример 1. Сократить дробь

<img src="/images/0/00/14-06-60.jpg" _fck_mw_filename="14-06-60.jpg" alt="" />

Решение. Из уравнения 2х2 + 5х + 2 = 0 находим х1 = - 2,

<img src="/images/9/92/14-06-61.jpg" _fck_mw_filename="14-06-61.jpg" alt="" />

Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х1 = 6, х2 = -2. Поэтому
х2- 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2).
А теперь сократим заданную дробь:

<img src="/images/4/45/14-06-62.jpg" _fck_mw_filename="14-06-62.jpg" alt="" />

Пример 3. Разложить на множители выражения:
а)x4 + 5x2+6;               б)2x+<img src="/images/8/8d/14-06-63.jpg" _fck_mw_filename="14-06-63.jpg" alt="" />-3
Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х2. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у2 + bу + 6.
Решив уравнение у2 + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у2 + 5у + 6: у1 = - 2, у2 = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим

у2 + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3).
Осталось вспомнить, что у = x2 , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,
x4 + 5х2+ 6 = (х2 + 2)(х2 + 3).
б) Введем новую переменную у = <img src="/images/8/8d/14-06-63.jpg" _fck_mw_filename="14-06-63.jpg" alt="" />. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у2 + у - 3. Решив уравнение
2 + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у2 + у - 3:
y1 = 1,    y2= <img src="/images/7/7a/14-06-64.jpg" _fck_mw_filename="14-06-64.jpg" alt="" />. Далее, используя теорему 2, получим:

<img src="/images/6/64/14-06-65.jpg" _fck_mw_filename="14-06-65.jpg" alt="" />

Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,

<img src="/images/4/4f/14-06-66.jpg" _fck_mw_filename="14-06-66.jpg" alt="" />

В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением:
если числа х1, х2 таковы, что х1 + х2 = - р, x1x2 = q, то эти числа — корни уравнения
С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.

1) х2 - 11х + 24 = 0. Здесь x1 + х2 = 11, х1х2 = 24. Нетрудно догадаться, что х1 = 8, х2 = 3.

2) х2 + 11х + 30 = 0. Здесь x1 + х2 = -11,  х1х2 = 30. Нетрудно догадаться, что х1 = -5, х2 = -6.
Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.

3) х2 + х - 12 = 0. Здесь x1 + х2 = -1, х1х2 = -12. Легко догадаться, что х1 = 3, х2 = -4.
Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.

4) 5х2 + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х1 = 1 — корень уравнения. Так как х1х2 = -<img src="/images/e/ee/14-06-67.jpg" _fck_mw_filename="14-06-67.jpg" alt="" />, а х1 = 1, то получаем, что х2 = -<img src="/images/e/ee/14-06-67.jpg" _fck_mw_filename="14-06-67.jpg" alt="" /> .

5) х2 - 293x + 2830 = 0. Здесь х1+ х2 = 293, х1х2 = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х1 = 283, х2 = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).

6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х1 = 8, х2 = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q = 0.
Имеем х1+ х2= -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х1х2= q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х2-4х-32 = 0.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


онлайн библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса скачать


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.