Версия 08:12, 29 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций 

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ

Вам известно, что система двух уравнений с двумя переменными может служить математической моделью реальной ситуации. Первый опыт в решении таких задач вы приобрели в курсе алгебры 7-го класса. Правда, там встречались только системы двух линейных уравнений с двумя переменными. В § 4 мы рассмотрели задачу, математическая модель которой представляла собой систему двух уравнений, но одно из них уже не было линейным. Вернитесь еще раз к этой задаче, и вы убедитесь, что в технологии ее решения ничего особенно нового не было — те же три этапа математического моделирования. То же относится и к задачам, которые рассматриваются в этом параграфе.
Пример 1. В райцентре два кинотеатра — «Факел» и «Слава», первый — на 400, а второй — на 600 мест. В зрительном зале кинотеатра «Слава» на 4 ряда больше, чем в кинотеатре «Факел», и, кроме того, в каждом ряду на 5 мест больше, чем в кинотеатре «Факел». Сколько рядов в зрительном зале кинотеатра «Факел», если известно, что в каждом ряду кинотеатра «Слава» более 25 мест?
Решение. Первый этап. Составление математической модели.
Пусть х — число рядов в кинотеатре «Факел», у — число мест в каждом ряду кинотеатра «Факел». Тогда х + 4 — число рядов в кинотеатре «Слава», у + 5 — число мест в каждом ряду кинотеатра «Слава». Зная число рядов и число мест в ряду, можно найти общее число мест в каждом кинотеатре: ху — число мест в кинотеатре «Факел», (х + 4)(у +5) — число мест в кинотеатре «Слава». По условию, в кинотеатре «Факел» — 400 мест, т.е. ху — 400, а в кинотеатре «Слава» — 600 мест, т.е. (х + 4){у + 5) = 600.
Таким образом, мы приходим к системе двух уравнений с двумя переменными:
Математическая модель задачи составлена.

Второй этап. Работа с составленной моделью. Имеем

Применим метод алгебраического сложения: вычтем первое уравнение из второго. Получим
Заменим этим уравнением второе уравнение системы (1):
Система (2) несколько проще, чем система (1), ее можно решить методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы  Подставим это выражение вместо у в первое уравнение системы (2):   (обе части предыдущего уравнения почленно разделили на 5);

Так как то получаем: если х = 20, то у = 20; если x = 16, то у = 25.
Итак, система (2), а с ней и система (1) имеют два решения: (20; 20) и (16; 25).
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Опираясь на полученные решения системы, мы должны проанализировать две возможности: либо в кинотеатре «Факел» 20 рядов по 20 мест в каждом ряду, либо 16 рядов по 25 мест в каждом ряду. Если выбрать первую возможность, то в кинотеатре «Слава» будет 24 ряда (по условию, там на 4 ряда больше) по 25 мест в каждом ряду (по условию, в каждом ряду «Славы» на 5 мест больше, чем в «Факеле»). Это нас не устраивает, поскольку, по условию, в каждом ряду «Славы» более 25 мест. Рассмотрим вторую возможность: в «Факеле» 16 рядов по 25 мест в каждом. Тогда в «Славе» будет 20 рядов по 30 мест в каждом. Это нас устраивает.

О т в е т: 16 рядов.
На самом деле эта задача не является для вас новой, мы решали ее в учебнике «Алгебра-8», но по-другому: математической моделью задачи было рациональное уравнение с одной переменной. Приведем краткие наброски для составления такой модели:

Получаем уравнение  Это математическая модель задачи.
Сравним два варианта решения задачи. В первом варианте была более сложная математическая модель (система уравнений), значит, более трудным был второй этап — работа с составленной моделью. Зато менее трудным был первый этап, сама математическая модель была составлена легче и быстрее. Поскольку первый этап, где больше творчества, сложнее, чем второй (технический), то часто предпочтительнее упрощать именно этап составления модели, т.е. работать с двумя переменными.
Пример 2. Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки соответственно на 30 км и 45 км (рис. 41). Моторная лодка отходит от пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и приходит в В, затратив на весь путь 4 ч 40 мин. В другой раз эта же лодка отошла от пристани С, дошла до А, сразу повернула назад и пришла в В, затратив на весь путь 7 ч. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения реки?

Решение. Первый этап. Составление математической модели. Введем две переменные: х км/ч — собственная скорость лодки, у км/ч — скорость течения реки. Тогда х + у км/ч — скорость движения лодки по течению реки, х-у км/ч — скорость движения лодки против течения реки. Рассмотрим первый рейс лодки. Он составил 45 км по течению и 15 км против течения. Имеем:   — время движения лодки от А до С (в первом рейсе),  время движения лодки от С до В (в первом рейсе). Всего на первый рейс лодка затратила 4 ч 40 мин, т.е.
Таким образом, получаем уравнение
45 15
х + у х-у
14 3 '
Рассмотрим второй рейс лодки. Он составил 45 км против течения и 30 км по течению. Имеем:
45
х-у 30
ч — время движения лодки от С до А (во втором рейсе), ч — время движения лодки от А до В (во втором рейсе).
х+у
Всего на второй рейс лодка затратила 7 ч. Таким образом, получаем уравнение
45 30
-+-
= 7.
х-у х+у
Математическая модель задачи представляет собой систему двух уравнений с двумя переменными:
45 15
■ + ■
х+у х-у
14 3 '
45 + _30_ = ?
~У х + у
Второй этап. Работа с составленной моделью. Для решения системы уравнений воспользуемся методом введения новых переменных. Положим:
15
Х+У
Тогда система примет вид
= а,
15
= Ь.
3а + Ь =
14
3 '
2а + ЗЪ = 7.
Решив эту систему двух линейных уравнений с двумя переменны-
5
ми а и Ь (сделайте это!), получим а = 1,Ь= -.
3
58
2.6. I
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Итак,
15 1 -= 1, т.е. х + у = 15;
х + у
15 5    „
-= —, т.е. х-у — У.
х~у 3'    *
Остается решить совсем простую систему уравнений
х + у. = 15,
х-у = 9.
Получаем х = 12, у = 3.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Требуется определить скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки. Первую скорость мы обозначили буквой х, получили х = 12; значит, собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения мы обозначили буквой у, получили у = 3. Значит, скорость течения реки составляет 3 км/ч.
О т в е т: 12 км/ч; 3 км/ч.
Пример 3. Мастер и его ученик планировали сообща выполнить некоторую работу за 6 дней. Сначала за дело взялся ученик. Выполнив 20% задания, он заболел. Остальная работа пришлась на долю мастера. В итоге выполнение задания растянулось на 11 дней. За сколько дней мог бы его выполнить мастер и за сколько дней ученик, действуя в одиночку, если известно, что и то и другое количество дней выражаются целыми числами?
Решение. Первый этап. Составление математической модели.
Если речь идет о выполнении некоторой работы, не охарактеризованной в количественном плане (т.е. не сказано, сколько деталей надо сделать, сколько кубометров земли вынуть и т.д.), то объем работы считают равным 1, а части работы выражают в долях единицы.
Пусть х — число дней, необходимых мастеру, чтобы выполнить в одиночку всю работу, а у — число дней, необходимых ученику, чтобы справиться в одиночку со всей работой. Если объем всей работы (т.е. 1) разделить на число дней, то узнаем долю работы, выполняемую за 1 день. Итак,
^ — доля работы, которую выполняет мастер за 1 день,
— —доля работы, которую выполняет ученик за 1 день.
59
2.6. I
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

По условию, работая вместе, мастер и ученик могли бы выполнить всю работу за 6 дней. Доля работы мастера за 6 дней выража-1 6
ется формулой — • 6, т.е. — . Доля работы ученика за 6 дней выра-х    х
жается формулой —" 6, т.е. ~.
Поскольку вместе они выполнят всю работу (т.е. 1), составляем уравнение
6 6 ,
- + - = 1. * У
По условию, ученик выполнил, трудясь в одиночку до своей болезни, 20% задания, т.е. — часть всей работы. Сколько времени он
потратил? Естественно, что - часть того времени, которое нужно ему
на выполнение всей работы, т.е. \ • у дней. Потом пришел мастер,
5
4    4
сделал оставшуюся работу, т.е. - задания, на что затратил - ■ х дней.
&    5
По условию, выполнение задания растянулось на 11 дней, т.е.
* + — = 11 5 5 '
или
у + 4* = 55.
Таким образом, математическая модель задачи составлена — система двух уравнений с двумя переменными
[у + 4* = 55.
Второй этап. Работа с составленной моделью. Воспользуемся методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы: у = 55-4*. Подставим выражение 55-4* вместо у в первое уравнение системы:
60
2.6. I
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
6 6
* 55-4*
= 1.
Решая это рациональное уравнение, последовательно получаем:
.N>5-4*
_ ьеьа = 0
55-4х
6(55 - 4х)+6х-х(55 - 4х) _ *(55-4*)
4а:2 - 73х + 330 = 0;
33
*1 = 10> *2=Т-
Оба найденных значения удовлетворяют условию х(55 - 4х) Ф 0, т.е. являются корнями рационального уравнения с переменной х.
Осталось найти соответствующие значения у. Для этого воспользуемся уравнением у = 55 - 4х. Если х = 10, то из этого уравнения
33
находим у = 15; если х= — , то из того же уравнения находим у = 22. Итак, составленная система уравнений имеет два решения:
33
(10; 15) и ( — ; 22). Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
По условию, количество дней, необходимых как мастеру, так и ученику для выполнения в одиночку всего задания, выражается
33
целым числом. Значит, пара (— ; 22) нас не устраивает. Остается
лишь одна возможность: х = 10, у = 15. О т в е т: 10 дней; 15 дней.
Замечание. Обратите внимание на то, что, решая системы уравнений, составленные в рассмотренных задачах, мы применили все методы, о которых шла речь в предыдущем параграфе: и подстановки, и алгебраического сложения, и введения новых переменных.
61
2.6. I    СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.