KNOWLEDGE HYPERMARKET


Параллелограмм. Полные уроки
Строка 3: Строка 3:
----
----
-
<metakeywords>Гипермаркет знаний, Геометрия, Планиметрия, 8 класс, Параллелограмм</metakeywords>ТЕМА&nbsp;УРОКА: <u>'''Параллелограмм.'''</u><br>  
+
<metakeywords>Гипермаркет знаний, Геометрия, Планиметрия, 8 класс, Параллелограмм</metakeywords>
-
=== Цели урока:  ===
+
==Тема урока==
 +
*'''Параллелограмм'''
 +
 
 +
== Цели урока ==
*Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “параллелограмм”; выработка основных навыков.  
*Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “параллелограмм”; выработка основных навыков.  
Строка 11: Строка 14:
*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
-
=== <br>Задачи урока:  ===
+
== Задачи урока ==
*Проверить умение учащихся решать задачи.
*Проверить умение учащихся решать задачи.
-
<br>
+
== План урока ==
-
 
+
-
=== План урока:  ===
+
#Введение.  
#Введение.  
Строка 25: Строка 26:
#Дополнительный материал.
#Дополнительный материал.
-
<br>
+
=== Введение ===
-
 
+
-
=== <u>Введение.</u><br>  ===
+
-
Для начала я решил узнать, откуда&nbsp; появилось определение параллелограмма. Оказывается термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно древнегреческому философу ''Проклу'', был введен ''Евклидом''. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.<br>  
+
Для начала я решил узнать, откуда&nbsp; появилось определение параллелограмма. Оказывается термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно древнегреческому философу '''Проклу''', был введен '''Евклидом'''. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.<br>
-
В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: ''в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам''. Евклид не упоминает о том, что ''точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам''. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.  
+
В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: '''в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам'''. Евклид не упоминает о том, что '''точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам'''. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.  
'''Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке.''' Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на ''теореме Евклида о свойствах&nbsp; параллелограмма''.  
'''Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке.''' Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на ''теореме Евклида о свойствах&nbsp; параллелограмма''.  
-
Само же понятие параллелограмм от греч. '''Parallelos — параллельный''' и '''gramme — линия'''. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «'''параллельные линии'''».<br>
+
Само же понятие параллелограмм от греч. '''Parallelos — параллельный''' и '''gramme — линия'''. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «'''параллельные линии'''».
-
<br>
 
-
=== <u>Частные виды параллелограмма.</u><br>  ===
+
=== Частные виды параллелограмма ===
-
'''Известны некоторые виды параллелограмма:&nbsp;'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>  
+
'''Известны некоторые виды параллелограмма:&nbsp;'''<br>
#''Прямоугольник.''  
#''Прямоугольник.''  
Строка 47: Строка 45:
#''Квадрат.''
#''Квадрат.''
-
<br>'''Прямоугольник '''- параллелограмм, все углы которого прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма, но так же&nbsp; имеет свое собственное: '''Диагонали прямоугольника равны'''.<br>[[Image:28032011 0.jpg]] ''Прямоугольник''
+
<br>'''Прямоугольник '''- параллелограмм, все углы которого прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма, но так же&nbsp; имеет свое собственное: '''Диагонали прямоугольника равны'''.<br>
-
<br> '''Ромб '''- параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб обладает очень важным индивидуальным свойством: '''Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам'''.<br>[[Image:28032011 1.jpg]] ''Ромб''<br>Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене. <br><br>'''Квадрат '''- равносторонний прямоугольник (или параллелограмм, у которого все углы прямые, стороны равны между собой; или ромб, у которого все углы прямые). Так как квадрат является и ромбом, и прямоугольником, и&nbsp; параллелограммом он имеет все свойства вышеперечисленных фигур.<br>[[Image:28032011 2.jpg]] ''Квадрат''<br>Термин «квадрата» происходит от латинского quadratum (quadrare - сделать четырехугольным), перевод с греческого “тетрагонон” - '''четырехугольник'''. <br>
+
[[Image:28032011 0.jpg|200px|Прямоугольник]]  
-
<br>
+
''Прямоугольник''
-
=== <u>Теоретическая часть.</u> ===
+
<br>'''Ромб '''- параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб обладает очень важным индивидуальным свойством: '''Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам'''.<br>
-
==== Определения: ====
+
[[Image:28032011 1.jpg|200px|Ромб]]
-
[[Image:O.gif]] '''Параллелограмм '''(от греч. parallelos — параллельный и gramme — линия) — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.<br>  
+
''Ромб''<br>
-
[[Image:28032011 7.jpg]]
+
Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене. <br><br>'''Квадрат '''- равносторонний прямоугольник (или параллелограмм, у которого все углы прямые, стороны равны между собой; или ромб, у которого все углы прямые). Так как квадрат является и ромбом, и прямоугольником, и&nbsp; параллелограммом он имеет все свойства вышеперечисленных фигур.<br>
-
[[Image:O.gif]] '''Параллелограмм '''— четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. <br>[[Image:O.gif]] '''Параллелограмм '''— всякий четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны; преимуществ. так назыв. удлиненный четырехугольник, с двумя острыми и двумя тупыми углами; прочие же виды параллелогр. имеют свои особ. названия (ромб, квадрат, прямоугольник).
+
[[Image:28032011 2.jpg|200px|Квадрат]]  
-
[[Image:28032011 8.jpg]]<br>[[Image:O.gif]] '''Параллелограмм''', четырехугольник (четырехсторонняя плоская фигура), у которого каждая пара противоположных сторон параллельна. У параллелограмма противоположные стороны и противоположные углы равны. Площадь параллелограмма равна произведению одной стороны на длину перпендикуляра, опущенного на нее с противоположной стороны. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.<br>[[Image:O.gif]] '''Параллелограмм '''- четырехугольник, каждая пара противоположных сторон которого параллельны и равны между собой.  
+
''Квадрат''<br>
 +
 
 +
Термин «квадрата» происходит от латинского quadratum (quadrare - сделать четырехугольным), перевод с греческого “тетрагонон” - '''четырехугольник'''. <br>
 +
 
 +
===Теоретическая часть ===
 +
 
 +
==== Определения  ====
 +
 
 +
'''Параллелограмм '''(от греч. parallelos — параллельный и gramme — линия) — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.<br>
 +
 
 +
[[Image:28032011 7.jpg|200px|Параллелограмм]]  
 +
 
 +
 
 +
'''Параллелограмм '''— четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.&nbsp;<br> '''Параллелограмм '''— всякий четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны; преимуществ. так назыв. удлиненный четырехугольник, с двумя острыми и двумя тупыми углами; прочие же виды параллелогр. имеют свои особ. названия (ромб, квадрат, прямоугольник).
 +
 
 +
[[Image:28032011 8.jpg|200px|Параллелограмм]]
 +
 
 +
 
 +
'''Параллелограмм''', четырехугольник (четырехсторонняя плоская фигура), у которого каждая пара противоположных сторон параллельна. У параллелограмма противоположные стороны и противоположные углы равны. Площадь параллелограмма равна произведению одной стороны на длину перпендикуляра, опущенного на нее с противоположной стороны. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.<br>&nbsp;'''Параллелограмм '''- четырехугольник, каждая пара противоположных сторон которого параллельны и равны между собой.  
''Все эти определения верны и по своему дополняют друг друга.''  
''Все эти определения верны и по своему дополняют друг друга.''  
-
<br>
 
-
==== Свойства параллелограмма: ====
+
==== Свойства параллелограмма  ====
-
[[Image:28032011 3.gif]]
 
-
<br>  
+
*'''Теорема. Противоположные стороны параллелограма равны.'''<br>''Доказательство''. В параллелограмме АВСD проведем диагональ АС. Треугольники АСD и АСВ равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов. прилежащих к ней: ∠САВ=∠АСD, ∠АСВ=∠DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, АВ=CD и ВС=AD, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д. Из равенства этих треугольников также следует равенство соответственных углов треугольников.<br>
-
[[Image:T.gif]] '''Теорема. Противоположные стороны параллелограма равны.'''<br>''Доказательство''. В параллелограмме АВСD проведем диагональ АС. Треугольники АСD и АСВ равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов. прилежащих к ней: ∠САВ=∠АСD, ∠АСВ=∠DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, АВ=CD и ВС=AD, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д. Из равенства этих треугольников также следует равенство соответственных углов треугольников.<br>  
+
*'''Теорема. Противоположные углы параллелограмма равны: ''''''А='''∠'''С и '''∠'''В='''∠'''D.'''<br>Равенство первой пары идет из равенства треугольников АВD и CBD, а второй - АВС и ACD.<br>
-
[[Image:T.gif]] '''Теорема. Противоположные углы параллелограмма равны: '''∠'''А='''∠'''С и '''∠'''В='''∠'''D.'''<br>Равенство первой пары идет из равенства треугольников АВD и CBD, а второй - АВС и ACD.<br>  
+
*'''Теорема. Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.'''<br>Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами.<br>
-
[[Image:T.gif]] '''Теорема. Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.'''<br>Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами.<br>
+
*'''Теорема. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.'''<br>''Доказательство''. Рассмотрим треугольники ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС ∠ОАD=∠ОСВ и ∠ОDА=∠ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д.  
-
[[Image:T.gif]] '''Теорема. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.'''<br>''Доказательство''. Рассмотрим треугольники ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС ∠ОАD=∠ОСВ и ∠ОDА=∠ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д.
+
<br>
-
<br>
+
{{#ev:youtube|GwYUP0mgP2Y}}
-
{{#ev:youtube|GwYUP0mgP2Y}}&nbsp; {{#ev:youtube|s1T3yZZXZR4}}  
+
{{#ev:youtube|s1T3yZZXZR4}}  
-
<br>
 
-
==== Признаки параллелограмма: ====
+
==== Признаки параллелограмма  ====
*Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.  
*Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.  
Строка 97: Строка 110:
*Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или пространственного) четырехугольника KLMN являются вершинами параллелограмма Вариньона.
*Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или пространственного) четырехугольника KLMN являются вершинами параллелограмма Вариньона.
-
[[Image:28032011 5.png]]  
+
[[Image:28032011 5.png|200px|Параллелограмм]]  
*Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника ABCD. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.
*Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника ABCD. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.
-
<br>  
+
*'''Теорема. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.'''<br>Пусть в четырехугольнике АВСD стороны АВ и CD параллельны и равны. Проведем диагонали АС и ВD. Из параллельности этих прямых следует равенство накрест лежащих углов АВО=СDО и ВАО=ОСD. Треугольники АВО и CDО равны по стороне и прилежащим к ней углам. Поэтому АО=ОС, ВО=ОD, т.е. диагонали точкой пересечения делятся пополам и четырехугольник оказывается параллелограммом.<br>В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма: прямоугольник, ромб, квадрат. <br>
-
[[Image:28032011 4.gif]]
+
*'''Теорема. Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.'''<br>Пусть ∠А=∠С и ∠В=∠D. Т.к. ∠А+∠В+∠С+∠D=360<sup>о</sup>, то ∠А+∠В=180<sup>о</sup> и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению.<br>
-
<br>  
+
*'''Теорема. Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом.'''<br>Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. Четырехугольник оказывается параллелограммом по определению.<br>
-
[[Image:T.gif]] '''Теорема. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.'''<br>Пусть в четырехугольнике АВСD стороны АВ и CD параллельны и равны. Проведем диагонали АС и ВD. Из параллельности этих прямых следует равенство накрест лежащих углов АВО=СDО и ВАО=ОСD. Треугольники АВО и CDО равны по стороне и прилежащим к ней углам. Поэтому АО=ОС, ВО=ОD, т.е. диагонали точкой пересечения делятся пополам и четырехугольник оказывается параллелограммом.<br>В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма: прямоугольник, ромб, квадрат. <br>
+
*'''Теорема. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.'''<br>Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.  
-
[[Image:T.gif]] '''Теорема. Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.'''<br>Пусть ∠А=∠С и ∠В=∠D. Т.к. ∠А+∠В+∠С+∠D=360<sup>о</sup>, то ∠А+∠В=180<sup>о</sup> и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению.<br>  
+
*'''Теорема. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.'''<br>Доказательство. Если АО=ОС, ВО=ОD, то треугольники АOD и ВОС равны, как имеющие равны углы (вертикальные) при вершине О, заключенные между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом.<br>
-
[[Image:T.gif]] '''Теорема. Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом.'''<br>Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. Четырехугольник оказывается параллелограммом по определению.<br>
 
-
[[Image:T.gif]] '''Теорема. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.'''<br>Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.
+
{{#ev:youtube|oUTSc_qzFqs}}
-
[[Image:T.gif]] '''Теорема. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.'''<br>Доказательство. Если АО=ОС, ВО=ОD, то треугольники АOD и ВОС равны, как имеющие равны углы (вертикальные) при вершине О, заключенные между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом.<br>
 
-
<br>
+
{{#ev:youtube|G3SLidg2_Ak}}
-
{{#ev:youtube|oUTSc_qzFqs}}&nbsp; {{#ev:youtube|G3SLidg2_Ak}}
 
-
<br>
+
=== Практическая часть  ===
-
=== <u>Практическая часть.</u>  ===
+
==== Задача №1 ====
-
==== Задача №1.<br>  ====
+
'''Высоты параллелограмма равны 5см и 4см, а периметр равен 42см. Найдите площадь параллелограмма.'''  
-
 
+
-
''Высоты параллелограмма равны 5см и 4см, а периметр равен 42см. Найдите площадь параллелограмма.''  
+
'''Решение.'''  
'''Решение.'''  
Строка 135: Строка 143:
(должен уточнить что в обеех случаях площадь параллелограмма будет одинаковой не смотря на разность высот, компинсация за счет длин сторон параллелограма)  
(должен уточнить что в обеех случаях площадь параллелограмма будет одинаковой не смотря на разность высот, компинсация за счет длин сторон параллелограма)  
-
P = 2a + 2b<br><br>Откуда 4a = 5b<br>a = 5/4b<br><br>Поскольку периметр параллелограмма равен 42 см, то<br>2( 5/4b ) + 2b = 42<br>b = 9,333<br><br>Откуда a = 11,666<br><br>Теперь находим площадь параллелограмма:<br>S = 4 * 11,666 = 5 * 9,333 = 46,66 см<sup>2</sup> .<br><br>'''Ответ: 46,66 см<sup>2</sup> .'''<br><br>  
+
P = 2a + 2b<br><br>Откуда 4a = 5b<br>a = 5/4b<br><br>Поскольку периметр параллелограмма равен 42 см, то<br>2( 5/4b ) + 2b = 42<br>b = 9,333<br><br>Откуда a = 11,666<br><br>Теперь находим площадь параллелограмма:<br>S = 4 * 11,666 = 5 * 9,333 = 46,66 см<sup>2</sup> .<br><br>'''Ответ: 46,66 см<sup>2</sup> .'''<br><br>
-
==== Задача №2. ====
+
==== Задача №2  ====
-
''Периметр параллелограмма равен 16 см. Чему равны стороны параллелограмма, если известно, что одна его сторона в 3 раза больше другой''.<br>  
+
'''Периметр параллелограмма равен 16 см. Чему равны стороны параллелограмма, если известно, что одна его сторона в 3 раза больше другой'''.<br>
'''Решение.'''  
'''Решение.'''  
-
У параллелограмма противоположные стороны равны, обозначим их как а и b, тогда периметр будет равен: Р = 2(а+b).<br>Пусть х - это сторона а, тогда<br><br>b=3х.<br>2(х+3х)=16<br>2*4х=16<br>х=2<br><br>значит сторона а=2, а сторона b=6.<br><br>'''Ответ: 2 и 6. '''  
+
У параллелограмма противоположные стороны равны, обозначим их как а и b, тогда периметр будет равен: Р = 2(а+b).<br>Пусть х - это сторона а, тогда<br><br>b=3х.<br>2(х+3х)=16<br>2*4х=16<br>х=2<br><br>значит сторона а=2, а сторона b=6.<br><br>'''Ответ: 2 и 6.'''
-
<br>  
+
<br>
-
=== <u>Дополнительный материал.</u> ===
+
=== Дополнительный материал  ===
-
''Зачастую учебники републикуют исправляя орфографические ошибки, изменяя аргументы в задачах, часто меняют нумерацию задач, ну и изредка автор дописывает пару слов от себя. Я же предлагаю в качестве дополнительного материала познакомится с некоторыми свойствами какие не так часто можно встретить в "классической" литературе по геометрии. Они не сложны для понимание, выплывают с известных Вам уже определений, свойств и теорем.<br>''
+
Зачастую учебники републикуют исправляя орфографические ошибки, изменяя аргументы в задачах, часто меняют нумерацию задач, ну и изредка автор дописывает пару слов от себя. Я же предлагаю в качестве дополнительного материала познакомится с некоторыми свойствами какие не так часто можно встретить в "классической" литературе по геометрии. Они не сложны для понимание, выплывают с известных Вам уже определений, свойств и теорем.<br>
'''В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:'''  
'''В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:'''  
Строка 156: Строка 164:
*Диагонали параллелограмма пересекаются и&nbsp; точкой пересечения делятся пополам
*Диагонали параллелограмма пересекаются и&nbsp; точкой пересечения делятся пополам
-
[[Image:28032011 18.jpg]]  
+
[[Image:28032011 18.jpg|200px|Параллелограмм]]  
-
<br>  
+
<br>
-
'''Я предлагаю 10 дополнительных свойств:'''<br>  
+
'''Я предлагаю 10 дополнительных свойств:'''<br>
*Сумма соседних углов параллелограмма равна 180◦
*Сумма соседних углов параллелограмма равна 180◦
-
[[Image:28032011 6.jpg]] [[Image:28032011 19.jpg]]  
+
[[Image:28032011 6.jpg|200px|Параллелограмм]]  
 +
 
 +
[[Image:28032011 19.jpg|200px|Параллелограмм]]  
''∠1=∠2; ∠3=∠4; ∠1+∠3=∠2+∠4=∠А=∠С;''  
''∠1=∠2; ∠3=∠4; ∠1+∠3=∠2+∠4=∠А=∠С;''  
Строка 170: Строка 180:
*Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;
*Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;
-
[[Image:28032011 9.jpg]]  
+
[[Image:28032011 9.jpg|200px|Параллелограмм]]  
*Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;
*Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;
-
[[Image:28032011 10.jpg]]  
+
[[Image:28032011 10.jpg|200px|Параллелограмм]]  
*Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;
*Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;
-
[[Image:28032011 11.jpg]]  
+
[[Image:28032011 11.jpg|200px|Параллелограмм]]  
-
∠5=90<sup>о</sup><br>  
+
∠5=90<sup>о</sup><br>
*Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;
*Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;
-
[[Image:28032011 12.jpg]]  
+
[[Image:28032011 12.jpg|200px|Параллелограмм]]  
*Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той&nbsp; же его диагонали равны.
*Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той&nbsp; же его диагонали равны.
-
[[Image:28032011 13.jpg]]  
+
[[Image:28032011 13.jpg|200px|Параллелограмм]]  
*Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб;
*Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб;
-
[[Image:28032011 14.jpg]]  
+
[[Image:28032011 14.jpg|200px|Параллелограмм]]  
*Если в параллелограмме соединить противоположные&nbsp; вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.
*Если в параллелограмме соединить противоположные&nbsp; вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.
-
[[Image:28032011 15.jpg]]  
+
[[Image:28032011 15.jpg|200px|Параллелограмм]]  
*Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
*Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
-
[[Image:28032011 16.jpg|399x182px|28032011 16.jpg]]  
+
[[Image:28032011 16.jpg|200px|Параллелограмм]]  
*Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.<br>
*Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.<br>
-
[[Image:28032011 17.jpg]]  
+
[[Image:28032011 17.jpg|200px|Параллелограмм]]  
-
<br>
 
-
<br>
+
=== Интересный факт  ===
-
<br>  
+
'''О ходе шахматного коня.'''<br>
-
<br>
+
[[Image:28032011 21.jpg|200px|О ходе шахматного коня]]
-
----
+
[[Image:28032011 22.jpg|200px|О ходе шахматного коня]]  
-
 
+
-
=== <span id=".D0.98.D0.BD.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82:" class="mw-headline"> <span class="mw-headline" id=".D0.98.D0.BD.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82:"><span id=".D0.98.D0.BD.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82:" class="mw-headline"><u>Интересный факт:</u></span></span></span>  ===
+
-
 
+
-
'''О ходе шахматного коня.'''<br>
+
-
 
+
-
[[Image:28032011 21.jpg]] [[Image:28032011 22.jpg]]  
+
Старинная задача о ходе шахматного коня:  
Старинная задача о ходе шахматного коня:  
-
''Требуется обойти конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке конь был только один раз и затем возвратился бы в клетку, из которой вышел.''<br>  
+
'''Требуется обойти конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке конь был только один раз и затем возвратился бы в клетку, из которой вышел.'''<br>
-
Задачей этой занимался Эйлер и в письме к Гольдбаху (26 апреля 1757 года) дал одно из решений ее. Вот что, между прочим, пишет он в этом интересном письме:<br>  
+
Задачей этой занимался Эйлер и в письме к Гольдбаху (26 апреля 1757 года) дал одно из решений ее. Вот что, между прочим, пишет он в этом интересном письме:<br>
-
«... Воспоминание о предложенной когда-то мне задаче послужило для меня недавно поводом к некоторым тонким изысканиям, в которых обыкновенный анализ, как кажется, не имеет никакого применения. Вопрос состоит в следующем. Требуется обойти шахматным конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке он побывал только один раз. С этой целью все места, которые занимал конь при своих последовательных ходах, закрывались марками. Но к этому присоединилось еще требование, чтобы начало хода делалось с данного места. Это последнее условие казалось мне очень затрудняющим вопрос, так как я скоро нашел некоторые пути, при которых, однако, выбор начала для меня свободен. Я утверждаю, однако, что если полный обход коня будет возвратный, т. е. если конь из последнего места опять может перейти на первое, то устраняется и это затруднение. После некоторых изысканий по этому поводу я нашел, наконец, ясный способ находить сколько угодно подобных решений (число их, однако, не бесконечно), не делая проб. Подобное решение представлено на рисунке (рис. 1).<br>  
+
«... Воспоминание о предложенной когда-то мне задаче послужило для меня недавно поводом к некоторым тонким изысканиям, в которых обыкновенный анализ, как кажется, не имеет никакого применения. Вопрос состоит в следующем. Требуется обойти шахматным конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке он побывал только один раз. С этой целью все места, которые занимал конь при своих последовательных ходах, закрывались марками. Но к этому присоединилось еще требование, чтобы начало хода делалось с данного места. Это последнее условие казалось мне очень затрудняющим вопрос, так как я скоро нашел некоторые пути, при которых, однако, выбор начала для меня свободен. Я утверждаю, однако, что если полный обход коня будет возвратный, т. е. если конь из последнего места опять может перейти на первое, то устраняется и это затруднение. После некоторых изысканий по этому поводу я нашел, наконец, ясный способ находить сколько угодно подобных решений (число их, однако, не бесконечно), не делая проб. Подобное решение представлено на рисунке (рис. 1).<br>
-
[[Image:28032011 20.jpg]]  
+
[[Image:28032011 20.jpg|200px|О ходе шахматного коня]]  
-
'''Рис. 1. Решение задачи о ходе шахматного коня, данное Эйлером.'''<br><br>Конь ходит в порядке, указанном числами. Так как из последнего места 64 он может перейти на 1, то этот полный ход есть возвратный».<br>  
+
''Рис. 1. Решение задачи о ходе шахматного коня, данное Эйлером.''<br><br>Конь ходит в порядке, указанном числами. Так как из последнего места 64 он может перейти на 1, то этот полный ход есть возвратный».<br>
-
Таково решение задачи о ходе шахматного коня, данное Эйлером.<br>  
+
Таково решение задачи о ходе шахматного коня, данное Эйлером.<br>
-
В письме не указаны ни приемы, ни путь, которыми знаменитый ученый пришел к своему открытию.<br>  
+
В письме не указаны ни приемы, ни путь, которыми знаменитый ученый пришел к своему открытию.<br>
-
 
+
-
----
+
-
<u>'''Вопросы:'''</u>
+
===Вопросы===
-
#Сформулируйте определение параллелограмма?  
+
#''Сформулируйте определение параллелограмма?''
-
#Сколько признаков параллелограмма?<br>  
+
#''Сколько признаков параллелограмма?<br>''
-
#Может ли ромб быть параллелограмом?  
+
#''Может ли ромб быть параллелограмом?''
-
#Квадрат это параллелограм или нет, ответ докажите?
+
#''Квадрат это параллелограм или нет, ответ докажите?''
-
<u>'''Список использованных источников:'''</u>
+
==Список использованных источников==
-
#Атанасян Л.С. «Геометрия 7-9 кл» «Просвещение» 2005г  
+
#''Атанасян Л.С. «Геометрия 7-9 кл» «Просвещение» 2005г''
-
#«Большая Энциклопедия Кирилла и Мефодия» Электронная энциклопедия 2007г  
+
#''«Большая Энциклопедия Кирилла и Мефодия» Электронная энциклопедия 2007г''
-
#«Новейший справочник школьника» «ДОМ XXI век» 2008г
+
#''«Новейший справочник школьника» «ДОМ XXI век» 2008г''
----
----
-
'''<u>Над уроком работали:</u>'''  
+
'''Над уроком работали'''  
Переутка М.О.  
Переутка М.О.  
-
Потурнак С.А.<br>  
+
Потурнак С.А.<br>
----
----

Версия 09:02, 27 декабря 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Параллелограмм. Полные уроки


Содержание

Тема урока

  • Параллелограмм

Цели урока

  • Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “параллелограмм”; выработка основных навыков.
  • Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
  • Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

  • Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

  1. Введение.
  2. Частные виды параллелограмма.
  3. Теоретическая часть.
  4. Практическая часть.
  5. Дополнительный материал.

Введение

Для начала я решил узнать, откуда  появилось определение параллелограмма. Оказывается термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно древнегреческому философу Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.

В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.

Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на теореме Евклида о свойствах  параллелограмма.

Само же понятие параллелограмм от греч. Parallelos — параллельный и gramme — линия. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «параллельные линии».


Частные виды параллелограмма

Известны некоторые виды параллелограмма: 

  1. Прямоугольник.
  2. Ромб.
  3. Квадрат.


Прямоугольник - параллелограмм, все углы которого прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма, но так же  имеет свое собственное: Диагонали прямоугольника равны.

Прямоугольник

Прямоугольник


Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб обладает очень важным индивидуальным свойством: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Ромб

Ромб

Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене.

Квадрат - равносторонний прямоугольник (или параллелограмм, у которого все углы прямые, стороны равны между собой; или ромб, у которого все углы прямые). Так как квадрат является и ромбом, и прямоугольником, и  параллелограммом он имеет все свойства вышеперечисленных фигур.

Квадрат

Квадрат

Термин «квадрата» происходит от латинского quadratum (quadrare - сделать четырехугольным), перевод с греческого “тетрагонон” - четырехугольник.

Теоретическая часть

Определения

Параллелограмм (от греч. parallelos — параллельный и gramme — линия) — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Параллелограмм


Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 
Параллелограмм — всякий четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны; преимуществ. так назыв. удлиненный четырехугольник, с двумя острыми и двумя тупыми углами; прочие же виды параллелогр. имеют свои особ. названия (ромб, квадрат, прямоугольник).

Параллелограмм


Параллелограмм, четырехугольник (четырехсторонняя плоская фигура), у которого каждая пара противоположных сторон параллельна. У параллелограмма противоположные стороны и противоположные углы равны. Площадь параллелограмма равна произведению одной стороны на длину перпендикуляра, опущенного на нее с противоположной стороны. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.
 Параллелограмм - четырехугольник, каждая пара противоположных сторон которого параллельны и равны между собой.

Все эти определения верны и по своему дополняют друг друга.


Свойства параллелограмма

  • Теорема. Противоположные стороны параллелограма равны.
    Доказательство. В параллелограмме АВСD проведем диагональ АС. Треугольники АСD и АСВ равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов. прилежащих к ней: ∠САВ=∠АСD, ∠АСВ=∠DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, АВ=CD и ВС=AD, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д. Из равенства этих треугольников также следует равенство соответственных углов треугольников.
  • Теорема. Противоположные углы параллелограмма равны: А=С и В=D.
    Равенство первой пары идет из равенства треугольников АВD и CBD, а второй - АВС и ACD.
  • Теорема. Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.
    Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами.
  • Теорема. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.
    Доказательство. Рассмотрим треугольники ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС ∠ОАD=∠ОСВ и ∠ОDА=∠ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д.





Признаки параллелограмма

  • Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  • Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  • Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  • Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  • Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или пространственного) четырехугольника KLMN являются вершинами параллелограмма Вариньона.

Параллелограмм

  • Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника ABCD. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.
  • Теорема. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.
    Пусть в четырехугольнике АВСD стороны АВ и CD параллельны и равны. Проведем диагонали АС и ВD. Из параллельности этих прямых следует равенство накрест лежащих углов АВО=СDО и ВАО=ОСD. Треугольники АВО и CDО равны по стороне и прилежащим к ней углам. Поэтому АО=ОС, ВО=ОD, т.е. диагонали точкой пересечения делятся пополам и четырехугольник оказывается параллелограммом.
    В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма: прямоугольник, ромб, квадрат.
  • Теорема. Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
    Пусть ∠А=∠С и ∠В=∠D. Т.к. ∠А+∠В+∠С+∠D=360о, то ∠А+∠В=180о и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению.
  • Теорема. Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом.
    Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. Четырехугольник оказывается параллелограммом по определению.
  • Теорема. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
    Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.
  • Теорема. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.
    Доказательство. Если АО=ОС, ВО=ОD, то треугольники АOD и ВОС равны, как имеющие равны углы (вертикальные) при вершине О, заключенные между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом.






Практическая часть

Задача №1

Высоты параллелограмма равны 5см и 4см, а периметр равен 42см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, опущенную на эту сторону.  Обозначим стороны параллелограмма как a и b.
Следовательно площадь и периметр будут равны:

S = 4a
S = 5b

(должен уточнить что в обеех случаях площадь параллелограмма будет одинаковой не смотря на разность высот, компинсация за счет длин сторон параллелограма)

P = 2a + 2b

Откуда 4a = 5b
a = 5/4b

Поскольку периметр параллелограмма равен 42 см, то
2( 5/4b ) + 2b = 42
b = 9,333

Откуда a = 11,666

Теперь находим площадь параллелограмма:
S = 4 * 11,666 = 5 * 9,333 = 46,66 см2 .

Ответ: 46,66 см2 .

Задача №2

Периметр параллелограмма равен 16 см. Чему равны стороны параллелограмма, если известно, что одна его сторона в 3 раза больше другой.

Решение.

У параллелограмма противоположные стороны равны, обозначим их как а и b, тогда периметр будет равен: Р = 2(а+b).
Пусть х - это сторона а, тогда

b=3х.
2(х+3х)=16
2*4х=16
х=2

значит сторона а=2, а сторона b=6.

Ответ: 2 и 6.


Дополнительный материал

Зачастую учебники републикуют исправляя орфографические ошибки, изменяя аргументы в задачах, часто меняют нумерацию задач, ну и изредка автор дописывает пару слов от себя. Я же предлагаю в качестве дополнительного материала познакомится с некоторыми свойствами какие не так часто можно встретить в "классической" литературе по геометрии. Они не сложны для понимание, выплывают с известных Вам уже определений, свойств и теорем.

В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:

  • Противоположные углы и стороны равны
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и  точкой пересечения делятся пополам

Параллелограмм


Я предлагаю 10 дополнительных свойств:

  • Сумма соседних углов параллелограмма равна 180◦

Параллелограмм

Параллелограмм

∠1=∠2; ∠3=∠4; ∠1+∠3=∠2+∠4=∠А=∠С;

  • Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;

Параллелограмм

  • Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;

Параллелограмм

  • Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;

Параллелограмм

∠5=90о

  • Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;

Параллелограмм

  • Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той  же его диагонали равны.

Параллелограмм

  • Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб;

Параллелограмм

  • Если в параллелограмме соединить противоположные  вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.

Параллелограмм

  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.

Параллелограмм

  • Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.

Параллелограмм


Интересный факт

О ходе шахматного коня.

О ходе шахматного коня

О ходе шахматного коня

Старинная задача о ходе шахматного коня:

Требуется обойти конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке конь был только один раз и затем возвратился бы в клетку, из которой вышел.

Задачей этой занимался Эйлер и в письме к Гольдбаху (26 апреля 1757 года) дал одно из решений ее. Вот что, между прочим, пишет он в этом интересном письме:

«... Воспоминание о предложенной когда-то мне задаче послужило для меня недавно поводом к некоторым тонким изысканиям, в которых обыкновенный анализ, как кажется, не имеет никакого применения. Вопрос состоит в следующем. Требуется обойти шахматным конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке он побывал только один раз. С этой целью все места, которые занимал конь при своих последовательных ходах, закрывались марками. Но к этому присоединилось еще требование, чтобы начало хода делалось с данного места. Это последнее условие казалось мне очень затрудняющим вопрос, так как я скоро нашел некоторые пути, при которых, однако, выбор начала для меня свободен. Я утверждаю, однако, что если полный обход коня будет возвратный, т. е. если конь из последнего места опять может перейти на первое, то устраняется и это затруднение. После некоторых изысканий по этому поводу я нашел, наконец, ясный способ находить сколько угодно подобных решений (число их, однако, не бесконечно), не делая проб. Подобное решение представлено на рисунке (рис. 1).

О ходе шахматного коня

Рис. 1. Решение задачи о ходе шахматного коня, данное Эйлером.

Конь ходит в порядке, указанном числами. Так как из последнего места 64 он может перейти на 1, то этот полный ход есть возвратный».

Таково решение задачи о ходе шахматного коня, данное Эйлером.

В письме не указаны ни приемы, ни путь, которыми знаменитый ученый пришел к своему открытию.

Вопросы

  1. Сформулируйте определение параллелограмма?
  2. Сколько признаков параллелограмма?
  3. Может ли ромб быть параллелограмом?
  4. Квадрат это параллелограм или нет, ответ докажите?

Список использованных источников

  1. Атанасян Л.С. «Геометрия 7-9 кл» «Просвещение» 2005г
  2. «Большая Энциклопедия Кирилла и Мефодия» Электронная энциклопедия 2007г
  3. «Новейший справочник школьника» «ДОМ XXI век» 2008г

Над уроком работали

Переутка М.О.

Потурнак С.А.


Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

Предмети > Математика > Математика 8 класс