<metakeywords>Гіпермаркет Знань - перший в світі!, Гіпермаркет Знань, Математика, 7 клас, Тема 25, Рівняння з двома змінними, його розв'язок</metakeywords>
<metakeywords>Гіпермаркет Знань - перший в світі!, Гіпермаркет Знань, Математика, 7 клас, Тема 25, Рівняння з двома змінними, його розв'язок</metakeywords>
-
'''[[Гіпермаркет Знань - перший в світі!|Гіпермаркет Знань]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 7 клас. Повні уроки|Математика 7 клас. Повні уроки]]>> АЛГЕБРА: Рівняння з двома змінними та його розв'язок'''
+
'''[[Гіпермаркет Знань - перший в світі!|Гіпермаркет Знань]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 7 клас. Повні уроки|Математика 7 клас. Повні уроки]]>> Алгебра: Рівняння з двома змінними та його розв'язок ''' <br>
-
<br>'''АЛГЕБРА'''<br>
+
==Тема==
+
*'''Рівняння з двома змінними та його розв'язок '''
-
----
+
==Мета==
-
+
-
<br>
+
-
+
-
== <u>'''Тема уроку'''</u> ==
+
-
+
-
'''Рівняння з двома змінними та його розв'язок'''<br>
+
-
+
-
== <u>'''Мета уроку'''</u> ==
+
*ознайомитися з визначенням рівняння з двома змінними, навчитися їх роз'язувати
*ознайомитися з визначенням рівняння з двома змінними, навчитися їх роз'язувати
-
== <u>'''План уроку'''</u> ==
+
==План==
-
+
-
<br>
+
-
+
-
<br>
+
-
=== <u>Поняття рівняння із двома змінними</u> ===
+
===Поняття рівняння із двома змінними ===
-
Ви вже вмієте розв'язувати рівняння з однією змінною та рівняння, що зводяться до лінійних. Нагадаємо, що лінійне рівняння з однією змінною - це рівняння виду ах=b, де а і b - деякі числа, а х - змінна.
+
Ви вже вмієте розв'язувати рівняння з однією змінною та рівняння, що зводяться до лінійних. Нагадаємо, що [[Лінійне рівняння з однією змінною. Повні уроки|лінійне рівняння]] з однією змінною - це [[Рівняння. Корені рівняння. Розв'язування рівнянь. Повні уроки|рівняння]] виду ах=b, де а і b - деякі числа, а х - змінна.
-
Роглянемо приклад, який приводить до рівняння з двома змінними.
+
Роглянемо приклад, який приводить до [[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку|рівняння з двома змінними]].
Нехай відомо, що сума деяких двох чисел дорівнює 8. Якщо одне число позначити через х, а друге - через у, то матимемо рівняння:
Нехай відомо, що сума деяких двох чисел дорівнює 8. Якщо одне число позначити через х, а друге - через у, то матимемо рівняння:
Строка 33:
Строка 22:
х + у = 8,
х + у = 8,
-
яке містить дві змінні: х та у. Таке рівняння називають '''рівнянням з двома змінними'''.
+
яке містить дві змінні: х та у. Таке рівняння називають [[Рівняння з двома змінними та його розв'язок|рівнянням з двома змінними]].
Теж є рівняннями із двома змінними. Перші два із цих рівнянь є рівняннями виду ах+by=c, де a, b, c - числа. Такі рівняння називаються '''лінійними рівняннями із двома змінними'''.
+
Теж є рівняннями із двома змінними. Перші два із цих рівнянь є рівняннями виду ах+by=c, де a, b, c - числа. Такі рівняння називаються лінійними рівняннями із двома змінними.
-
<u>'''Означення'''</u>.
+
'''Означення.'''
-
'''Лінійним рівнянням із двома змінними''' називають рівняння виду ах+by=c, де х та у - змінні, a, b, c - деякі числа (коефіцієнти рівняння).
+
[[Графік лінійного рівняння з двома змінними|Лінійним рівнянням із двома змінними]] називають рівняння виду ах+by=c, де х та у - змінні, a, b, c - деякі числа (коефіцієнти рівняння).
-
<br>
+
<br>
-
=== <u>Розв'язки рівняння із двома змінними</u> ===
+
===Розв'язки рівняння із двома змінними ===
-
Розглянемо рівняння х + у = 8. Якщо х=2, у=6, то це рівняння перетворюється у правильну числову рівність 2 + 6 = 8. Кажуть, що пара значень змінних х=2, у=6 є '''розв'язками''' рівняння х + у = 8.
+
Розглянемо рівняння х + у = 8. Якщо х=2, у=6, то це рівняння перетворюється у правильну числову рівність 2 + 6 = 8. Кажуть, що пара значень змінних х=2, у=6 є [[Розв'язування задач, рівняннь|розв'язками]] рівняння х + у = 8.
-
<u>'''Означення'''</u>
+
<br>
-
'''Розв'язком рівняння із двома змінними''' називають пару значень змінних, для яких рівняння перетворюється у правильну числову рівність.
+
'''Означення'''
+
+
Розв'язком рівняння із двома змінними називають пару значень змінних, для яких рівняння перетворюється у правильну числову рівність.
+
+
<br>
Розв'язками рівняння х + у = 8 є й такі пари чисел: х=4, у=4; х=4,5, у=3,5; х=10, у=-2.
Розв'язками рівняння х + у = 8 є й такі пари чисел: х=4, у=4; х=4,5, у=3,5; х=10, у=-2.
Строка 59:
Строка 52:
Скорочено ці розв'язки записують так: (4, 4); (4,5, 3,5); (10, -2). У цих записах на першомі місці пишуть значення змінної х, а на другому - значення змінної у. Це пов'язано з тим, що змінну х умовно вважають першою змінною, а змінну у - другою.
Скорочено ці розв'язки записують так: (4, 4); (4,5, 3,5); (10, -2). У цих записах на першомі місці пишуть значення змінної х, а на другому - значення змінної у. Це пов'язано з тим, що змінну х умовно вважають першою змінною, а змінну у - другою.
-
Щоб знайти розв'язок рівняння із двома змінними, можна підставити в рівняння довільне значення однієї змінної і, розв'язавши одержане рівняння з однією змінною, знайти відповідне значення іншої змінної. Для прикладу знайдемо кілька розв'язків рівняння х + у = 8.
+
Щоб знайти розв'язок рівняння із двома змінними, можна підставити в рівняння довільне значення однієї змінної і, розв'язавши одержане рівняння з однією змінною, знайти відповідне значення іншої змінної. Для прикладу знайдемо кілька розв'язків рівняння х + у = 8.
-
Нехай х=7, тоді 7 + у = 8, звідки у = 8 - 7, у=1.
+
Нехай х=7, тоді 7 + у = 8, звідки у = 8 - 7, у=1. Нехай х=-3, тоді -3 + у = 8, звідки у = 8 + 3, у=11.
-
Нехай х=-3, тоді -3 + у = 8, звідки у = 8 + 3, у=11.
+
-
Ми знайшли два розв'язки (7, 1); (-3, 11). Надаючи змінній х інших значень, одержимо інші розв'язки рівняння. Рівняння х + у = 8 має безліч розв'язків.
+
Ми знайшли два розв'язки (7, 1); (-3, 11). Надаючи змінній х інших значень, одержимо інші розв'язки рівняння. Рівняння х + у = 8 має безліч розв'язків.
-
Шукати розв'язки рівнянь із двома змінними можна іншим способом, який обумовлюється властивостями рівнянь.
+
Шукати розв'язки рівнянь із двома змінними можна іншим способом, який обумовлюється властивостями рівнянь.
+
=== Властивості рівнянь із двома змінними ===
-
=== <u>'''Властивості рівнянт із двома змінними'''</u> ===
-
'''Властивості рівнянь із двома змінними''' такі ж, як і рівнянь з однією змінною, а саме:
+
'''Властивості рівнянь із двома змінними''' такі ж, як і рівнянь з однією змінною, а саме:
-
*1. У будь-якій частині рівняння можна виконати тотожні перетворення виразів (розкрити дужки, звести подібні доданки)
+
*1. У будь-якій частині рівняння можна виконати тотожні перетворення виразів (розкрити дужки, звести подібні доданки)
-
*2. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в ішну, змінивши його знак на пртилежний.
+
*2. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в ішну, змінивши його знак на пртилежний.
*3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те ж, відмінне від нуля, число.
*3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те ж, відмінне від нуля, число.
-
Розглянемо рівняння
+
Розглянемо рівняння 3х + 2у = 9.
-
3х + 2у = 9.
+
-
Використовуючи властивості рівнянь, виразимо з цього рівняння одну змінну через іншу, наприклад, у через х. Для цього перенесемо доданок 3х у праву частину, змінивши його знак на протилжений:
+
Використовуючи властивості рівнянь, виразимо з цього рівняння одну змінну через іншу, наприклад, у через х. Для цього перенесемо доданок 3х у праву частину, змінивши його знак на протилжений: 2у = -3х + 9.
-
2у = -3х + 9.
+
-
Поділимо обидві частини одержаного рівняння на 2:
+
Поділимо обидві частини одержаного рівняння на 2: у = -1,5х + 4,5.
-
у = -1,5х + 4,5.
+
-
Користуючись формулою у = -1,5х + 4,5, можна знайти скільки завгодно розв'язків даного рівняння. Для цього досить узяти довільне значення х і обчислити відповідне значення у. Пари дейких відповідних значень х та у подамо у вигляді таблиці.
+
Користуючись формулою у = -1,5х + 4,5, можна знайти скільки завгодно розв'язків даного [[Ілюстрації: Рівняння. Корені рівняння. Розв'язування рівнянь|рівняння]]. Для цього досить узяти довільне значення х і обчислити відповідне значення у. Пари деяких відповідних значень х та у подамо у вигляді таблиці.
-
Пари чисел кожного стовпчика - розв'язки рівняння 3х + 2у = 9.
*1. Які з пар чисел (5;2);(-3;4);(8;0);(-5,5;3) є розв'язком рівняння 5у-2х=26?<br>
+
-
*2. Відомо, що пара (4;у) є розв'язком рівняння 3х+4у=20.Знайти значення у.<br>
+
===Перевір себе===
+
+
*1. Які з пар чисел (5;2);(-3;4);(8;0);(-5,5;3) є розв'язком рівняння 5у-2х=26?<br>
+
*2. Відомо, що пара (4;у) є розв'язком рівняння 3х+4у=20.Знайти значення у.<br>
*3. При якому значення а пара чисел (-2;4) є розв'язком рівняння:
*3. При якому значення а пара чисел (-2;4) є розв'язком рівняння:
<br>1)4х+6у=а;
<br>1)4х+6у=а;
-
2) ах-5у=8?<br>
+
2) ах-5у=8?<br>
*4. Знайдіть всі натуральні розв'язки рівняння 5х+6у=57;<br><br><br>
*4. Знайдіть всі натуральні розв'язки рівняння 5х+6у=57;<br><br><br>
-
== '''Самостійна робота''' ==
+
===Самостійна робота===
-
=== <u>'''Вариант I'''</u> ===
+
====Вариант I====
*1. Які з пар чисел
*1. Які з пар чисел
-
[[Image:1901-63.jpg]] є розв’язком рівняння [[Image:1901-64.jpg]] .<br>
+
[[Image:1901-63.jpg]] є розв’язком рівняння [[Image:1901-64.jpg]] .<br>
*2. Побудуйте графік функції
*2. Побудуйте графік функції
-
[[Image:1901-65.jpg]] .<br>
+
[[Image:1901-65.jpg]] .<br>
-
*3. Знайдіть значення коефіцієнта '''''а''''' та '''''с''''' в рівнянні '''ах - 3 у + с = 0''' , якщо відомо, що кожна з пар чисел (-3; 0) та (0; 2) є розв’язком рівняння.<br><br>
+
*3. Знайдіть значення коефіцієнта а та с в рівнянні ах - 3 у + с = 0 , якщо відомо, що кожна з пар чисел (-3; 0) та (0; 2) є розв’язком рівняння.<br><br>
-
=== <u>'''Вариант II'''</u> ===
+
====Вариант II====
*1. Які з пар чисел
*1. Які з пар чисел
Строка 133:
Строка 147:
являются решением уравнения 3х + у - 7 = 0 .
являются решением уравнения 3х + у - 7 = 0 .
-
<br>
+
<br>
-
*2. Побудуйте графік функції -3х +2у - 6 =0 .<br>
+
*2. Побудуйте графік функції -3х +2у - 6 =0 .<br>
-
*3. Знайдіть значення коефіцієнта '''''а''''' та '''''с''''' в рівнянні ах + by - 15 = 0, якщо відомо, що кожна з пар чисел (0; 3) и ( -5; 0) є розв’язком рівняння.<br><br>
+
*3. Знайдіть значення коефіцієнта а та с в рівнянні ах + by - 15 = 0, якщо відомо, що кожна з пар чисел (0; 3) и ( -5; 0) є розв’язком рівняння.<br><br>
-
== <u>'''Список використаної літератури'''</u> ==
+
==Список використаної літератури==
-
*1. Урок на тему «Рівняння з двома змінними та його розв'язок» викладача Конченко Т. М. , Гімназії міжнародних відносин, м. Київ (СЗШ №323).
+
''1. Урок на тему «Рівняння з двома змінними та його розв'язок» викладача Конченко Т. М. , [http://xvatit.com/vuzi/ Гімназії міжнародних відносин], м. Київ (СЗШ №323). <br> 2. Істер О. А. «Алгебра. [[7_клас_уроки|7 клас]]». <br> 3. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., ЯкірМ. С. Збірник задачізавдань для тематичного оцінювання з алгебри для 7 класу. – Харків, Гімназія, 2004. – 112 с.: іл.''<br>
-
*2. Істер О. А. «Алгебра. 7 клас».
+
-
*3. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., ЯкірМ. С. Збірник задачізавдань для тематичного оцінювання з алгебри для 7 класу. – Харків, Гімназія, 2004. – 112 с.: іл.
+
-
<br>
+
----
-
<br>Відредаговано і надіслано Мазуренко М.С.<br>
+
<br>''Відредаговано і надіслано Мазуренко М.С.''<br>
----
----
-
'''<u>Над уроком працювали</u>'''
+
<br> '''Над уроком працювали'''
Конченко Т. М.
Конченко Т. М.
Строка 156:
Строка 168:
Мазуренко М.С.
Мазуренко М.С.
-
<br>
+
<br>
----
----
-
<br>
+
<br>
-
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, но и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.<br>
+
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ Образовательном форуме], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ блог''','''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, но и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ Гильдия Лидеров Образования] открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.<br>
ознайомитися з визначенням рівняння з двома змінними, навчитися їх роз'язувати
План
Поняття рівняння із двома змінними
Ви вже вмієте розв'язувати рівняння з однією змінною та рівняння, що зводяться до лінійних. Нагадаємо, що лінійне рівняння з однією змінною - це рівняння виду ах=b, де а і b - деякі числа, а х - змінна.
Теж є рівняннями із двома змінними. Перші два із цих рівнянь є рівняннями виду ах+by=c, де a, b, c - числа. Такі рівняння називаються лінійними рівняннями із двома змінними.
Розглянемо рівняння х + у = 8. Якщо х=2, у=6, то це рівняння перетворюється у правильну числову рівність 2 + 6 = 8. Кажуть, що пара значень змінних х=2, у=6 є розв'язками рівняння х + у = 8.
Означення
Розв'язком рівняння із двома змінними називають пару значень змінних, для яких рівняння перетворюється у правильну числову рівність.
Розв'язками рівняння х + у = 8 є й такі пари чисел: х=4, у=4; х=4,5, у=3,5; х=10, у=-2.
Скорочено ці розв'язки записують так: (4, 4); (4,5, 3,5); (10, -2). У цих записах на першомі місці пишуть значення змінної х, а на другому - значення змінної у. Це пов'язано з тим, що змінну х умовно вважають першою змінною, а змінну у - другою.
Щоб знайти розв'язок рівняння із двома змінними, можна підставити в рівняння довільне значення однієї змінної і, розв'язавши одержане рівняння з однією змінною, знайти відповідне значення іншої змінної. Для прикладу знайдемо кілька розв'язків рівняння х + у = 8.
Нехай х=7, тоді 7 + у = 8, звідки у = 8 - 7, у=1. Нехай х=-3, тоді -3 + у = 8, звідки у = 8 + 3, у=11.
Ми знайшли два розв'язки (7, 1); (-3, 11). Надаючи змінній х інших значень, одержимо інші розв'язки рівняння. Рівняння х + у = 8 має безліч розв'язків.
Шукати розв'язки рівнянь із двома змінними можна іншим способом, який обумовлюється властивостями рівнянь.
Властивості рівнянь із двома змінними
Властивості рівнянь із двома змінними такі ж, як і рівнянь з однією змінною, а саме:
1. У будь-якій частині рівняння можна виконати тотожні перетворення виразів (розкрити дужки, звести подібні доданки)
2. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в ішну, змінивши його знак на пртилежний.
3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те ж, відмінне від нуля, число.
Розглянемо рівняння 3х + 2у = 9.
Використовуючи властивості рівнянь, виразимо з цього рівняння одну змінну через іншу, наприклад, у через х. Для цього перенесемо доданок 3х у праву частину, змінивши його знак на протилжений: 2у = -3х + 9.
Поділимо обидві частини одержаного рівняння на 2: у = -1,5х + 4,5.
Користуючись формулою у = -1,5х + 4,5, можна знайти скільки завгодно розв'язків даного рівняння. Для цього досить узяти довільне значення х і обчислити відповідне значення у. Пари деяких відповідних значень х та у подамо у вигляді таблиці.
х
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
у = -1,5х + 4,5
10,5
9
7,5
6
4,5
3
1,5
0
-1,5
Пари чисел кожного стовпчика - розв'язки рівняння 3х + 2у = 9.
Перевір себе
1. Які з пар чисел (5;2);(-3;4);(8;0);(-5,5;3) є розв'язком рівняння 5у-2х=26?
2. Відомо, що пара (4;у) є розв'язком рівняння 3х+4у=20.Знайти значення у.
3. При якому значення а пара чисел (-2;4) є розв'язком рівняння:
1)4х+6у=а;
2) ах-5у=8?
4. Знайдіть всі натуральні розв'язки рівняння 5х+6у=57;
Самостійна робота
Вариант I
1. Які з пар чисел
є розв’язком рівняння .
2. Побудуйте графік функції
.
3. Знайдіть значення коефіцієнта а та с в рівнянні ах - 3 у + с = 0 , якщо відомо, що кожна з пар чисел (-3; 0) та (0; 2) є розв’язком рівняння.
Вариант II
1. Які з пар чисел
являются решением уравнения 3х + у - 7 = 0 .
2. Побудуйте графік функції -3х +2у - 6 =0 .
3. Знайдіть значення коефіцієнта а та с в рівнянні ах + by - 15 = 0, якщо відомо, що кожна з пар чисел (0; 3) и ( -5; 0) є розв’язком рівняння.
Список використаної літератури
1. Урок на тему «Рівняння з двома змінними та його розв'язок» викладача Конченко Т. М. , Гімназії міжнародних відносин, м. Київ (СЗШ №323). 2. Істер О. А. «Алгебра. 7 клас». 3. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., ЯкірМ. С. Збірник задачізавдань для тематичного оцінювання з алгебри для 7 класу. – Харків, Гімназія, 2004. – 112 с.: іл.
Відредаговано і надіслано Мазуренко М.С.
Над уроком працювали
Конченко Т. М.
Мазуренко М.С.
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, но и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.