KNOWLEDGE HYPERMARKET


Свойство медианы равнобедренного треугольника. Полные уроки
(Новая страница: «'''Гипермаркет знаний>>Математика>&g...»)
 
(2 промежуточные версии не показаны)
Строка 21: Строка 21:
#Повторение.<br>  
#Повторение.<br>  
-
#Признаки равнобедренного треугольника.
+
#Признаки равнобедренного треугольника.  
#Раскрытие главное темы урока, определения медианы.<br>  
#Раскрытие главное темы урока, определения медианы.<br>  
#Свойство медианы равнобедренного треугольника.<br>
#Свойство медианы равнобедренного треугольника.<br>
Строка 27: Строка 27:
<br>  
<br>  
-
[[Image:O.gif]] Треугольник называется''равнобедренным'', если у него две стороны равны. Эти стороны называются ''боковыми'', а третья сторона – ''основанием''.<br>''Свойства равнобедренного треугольника.''<br>
+
[[Image:O.gif]] Треугольник называется''равнобедренным'', если у него две стороны равны. Эти стороны называются ''боковыми'', а третья сторона – ''основанием''.<br>''Свойства равнобедренного треугольника.''<br>  
-
[[Image:T.gif]] В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.<br><br>''Доказательство''<br>
+
[[Image:T.gif]] В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.<br><br>''Доказательство''<br>  
-
Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC . По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC; BC = AC; [[Image:16122010_13.gif]]C = [[Image:16122010_13.gif]]C. Отсюда следует [[Image:16122010_13.gif]]A = [[Image:16122010_13.gif]]B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.<br>[[Image:20122010_01.jpg|400x384px]]<br><u>'''Признаки равнобедренного треугольника.'''</u><br><br>[[Image:T.gif]] Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.<br><br>''Доказательство''<br>
+
Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC . По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC; BC = AC; [[Image:16122010 13.gif]]C = [[Image:16122010 13.gif]]C. Отсюда следует [[Image:16122010 13.gif]]A = [[Image:16122010 13.gif]]B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.<br>[[Image:20122010 01.jpg|400x384px|20122010 01.jpg]]<br><u>'''Признаки равнобедренного треугольника.'''</u><br><br>[[Image:T.gif]] Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.<br><br>''Доказательство''<br>  
-
Пусть Δ ABC – треугольник, в котором A = B. Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA; B = A; A = B. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC. Тогда, по определению, Δ ABC – равнобедренный. Теорема доказана.<br><br>Свойство медианы равнобедренного треугольника.<br>[[Image:T.gif]] В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.<br><br>[[Image:20122010_2.JPG]]
+
Пусть Δ ABC – треугольник, в котором A = B. Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA; B = A; A = B. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC. Тогда, по определению, Δ ABC – равнобедренный. Теорема доказана.<br><br>Свойство медианы равнобедренного треугольника.<br>[[Image:T.gif]] В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.<br><br>[[Image:20122010 2.JPG]]  
<div class="proof">
<div class="proof">
-
Пусть <nobr>Δ&nbsp;<span class="m">ABC</span></nobr> – равнобедренный с основанием <nobr><span class="m">AB</span></nobr>, и <nobr><span class="m">CD</span></nobr> – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках <nobr><span class="m">CAD</span></nobr> и <nobr><span class="m">CBD</span></nobr> углы <nobr><span class="m">CAD</span></nobr> и <nobr><span class="m">CBD</span></nobr> равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны <nobr><span class="m">AC</span></nobr> и <nobr><span class="m">BC</span></nobr> равны по определению равнобедренного треугольника, стороны <nobr><span class="m">AD</span></nobr> и <nobr><span class="m">BD</span></nobr> равны, потому что <nobr><span class="m">D</span></nobr> – середина отрезка <nobr><span class="m">AB</span></nobr>. Отсюда получаем, что <nobr>Δ&nbsp;<span class="m">ACD</span>&nbsp;=&nbsp;Δ&nbsp;<span class="m">BCD</span></nobr>.  
+
Пусть Δ&nbsp;<span class="m">ABC</span>– равнобедренный с основанием <span class="m">AB</span>, и <span class="m">CD</span> – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках <span class="m">CAD</span> и <span class="m">CBD</span> углы <span class="m">CAD</span> и <span class="m">CBD</span> равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны <span class="m">AC</span> и <span class="m">BC</span> равны по определению равнобедренного треугольника, стороны <span class="m">AD</span> и <span class="m">BD</span> равны, потому что <span class="m">D</span> – середина отрезка <span class="m">AB</span>. Отсюда получаем, что Δ&nbsp;<span class="m">ACD</span>&nbsp;=&nbsp;Δ&nbsp;<span class="m">BCD</span>.  
-
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: [[Image:16122010_13.gif]]<nobr><span class="m">ACD</span>&nbsp;=&nbsp;[[Image:16122010_13.gif]]<span class="m">BCD</span>,&nbsp;<span class="m">[[Image:16122010_13.gif]]ADC</span>&nbsp;=&nbsp;<span class="m">[[Image:16122010_13.gif]]BDC</span></nobr>. Из первого равенства следует, что <nobr><span class="m">CD</span></nobr> – биссектриса. Углы [[Image:16122010_13.gif]]<nobr><span class="m">ADC</span></nobr> и [[Image:16122010_13.gif]]<nobr><span class="m">BDC</span></nobr> смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому <nobr><span class="m">CD</span></nobr> – высота треугольника. Теорема доказана.  
+
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: [[Image:16122010 13.gif]]<span class="m">ACD</span>&nbsp;=&nbsp;[[Image:16122010 13.gif]]<span class="m">BCD</span>,&nbsp;<span class="m">[[Image:16122010 13.gif]]ADC</span>&nbsp;=&nbsp;<span class="m">[[Image:16122010 13.gif]]BDC</span>. Из первого равенства следует, что <span class="m">CD</span> – биссектриса. Углы [[Image:16122010 13.gif]]<span class="m">ADC</span> и [[Image:16122010 13.gif]]<span class="m">BDC</span> смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому <span class="m">CD</span> – высота треугольника. Теорема доказана.  
-
</div>
+
</div>  
-
<br>[[Image:T.gif]] Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.<br>[[Image:12112010_4.jpg]]
+
<br>[[Image:T.gif]] Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.<br>[[Image:12112010 4.jpg]]  
 +
<br> ''Доказательство<br>''
-
''Доказательство<br>''
+
В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD = CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB = BC. Теорема доказана.<br><br><br>[[Image:20122010 32.JPG]] [[Image:13112010 15.gif]]<br><br>''Доказательство''<br>  
-
 
+
-
В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD = CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB = BC. Теорема доказана.<br><br><br>[[Image:20122010_32.JPG]] [[Image:13112010_15.gif]]<br><br>''Доказательство''<br>
+
Пусть в треугольнике ABC CD медиана и высота.<br>Тогда треугольники ACD и BCD равны по первому признаку равенства треугольников, так как CD общая для этих треугольников, AD=DB – так как CD медиана и разбивает AB пополам, ∠ CDA = ∠ CDB – так как CD высота.<br>Отсюда следует, что AC = CB и ABC – равнобедренный треугольник. Теорема доказана.  
Пусть в треугольнике ABC CD медиана и высота.<br>Тогда треугольники ACD и BCD равны по первому признаку равенства треугольников, так как CD общая для этих треугольников, AD=DB – так как CD медиана и разбивает AB пополам, ∠ CDA = ∠ CDB – так как CD высота.<br>Отсюда следует, что AC = CB и ABC – равнобедренный треугольник. Теорема доказана.  
Строка 50: Строка 49:
{{#ev:youtube|N17Mf2_lwsI}}&nbsp;{{#ev:youtube|dDQJTzte8ZY}}  
{{#ev:youtube|N17Mf2_lwsI}}&nbsp;{{#ev:youtube|dDQJTzte8ZY}}  
-
<u>'''Свойство медианы равнобедренного треугольника.'''</u><br>
+
<u>'''Свойство медианы равнобедренного треугольника.'''</u><br>  
-
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.<br>
+
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.<br>  
-
Дано: А АВС — равнобедренный треугольник, АВ — основание, CD — медиана<br>
+
Дано: А АВС — равнобедренный треугольник, АВ — основание, CD — медиана<br>  
-
Доказать: CD — биссектриса и высота.<br>
+
Доказать: CD — биссектриса и высота.<br>  
Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС — равнобедренный.  
Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС — равнобедренный.  
-
Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D — середина отрезка АВ).<br>
+
Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D — середина отрезка АВ).<br>  
-
Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов:<br>
+
Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов:<br>  
-
[[Image:20122010_4.JPG]]
+
[[Image:20122010 4.JPG]]  
Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD  
Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD  
-
является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.<br>
+
является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.<br>  
Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому  
Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому  
-
справедливы также следующие утверждения:<br>
+
справедливы также следующие утверждения:<br>  
-
1. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.<br>
+
1. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.<br>  
-
2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
+
2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.  
-
 
+
-
{{#ev:youtube|BidhARM4v90 }} {{#ev:youtube|YNt8rc0usIs}}
+
 +
{{#ev:youtube|BidhARM4v90 }} {{#ev:youtube|YNt8rc0usIs}}
 +
<br>
----
----
-
<u>'''Интересный факт:'''</u><u></u>
+
<u>'''Интересный факт:'''</u><u></u>  
-
''Геометрия Вселенной, Большой взрыв и расширение Вселенной''
+
''Геометрия Вселенной, Большой взрыв и расширение Вселенной''  
{| width="100%" cellspacing="1" cellpadding="1" border="0"
{| width="100%" cellspacing="1" cellpadding="1" border="0"
|-
|-
|  
|  
-
[[Image:18122010_2.jpg]]<br>
+
[[Image:18122010 2.jpg]]<br>  
|  
|  
-
[[Image:18122010 3.jpg ]]<br>
+
[[Image:18122010 3.jpg]]<br>  
|-
|-
Строка 106: Строка 105:
#Какой треугольник называется равнобедренным?<br>  
#Какой треугольник называется равнобедренным?<br>  
-
#Признаки равнобедренного треугольника?
+
#Признаки равнобедренного треугольника?  
#Свойство медианы равнобедренного треугольника?<br>
#Свойство медианы равнобедренного треугольника?<br>
Строка 115: Строка 114:
#А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. «ИЛЕКСА». Москва. 2004.  
#А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. «ИЛЕКСА». Москва. 2004.  
#Проект "Астрогалактика" 25 ноября 2006 .<br>
#Проект "Астрогалактика" 25 ноября 2006 .<br>
-
 
-
<u</u>
 
----
----
Строка 122: Строка 119:
Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.  
Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.  
-
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].  
+
----
 +
 
 +
'''<u>Над уроком работали</u>'''
 +
 
 +
Потурнак С. А.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
----
 +
 
 +
 
 +
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, но и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов&nbsp; высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.<br>
 +
   
-
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
 
[[Category:Математика_7_класс]]
[[Category:Математика_7_класс]]

Текущая версия на 06:33, 1 апреля 2011

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Свойство медианы равнобедренного треугольника. Полные уроки


ТЕМА УРОКА: Свойство медианы равнобедренного треугольника .

Цели урока:

  • Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “ Медиана равнобедренного треугольника ”; выработка основных навыков.
  • Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
  • Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.


Задачи урока:

  • Формировать навыки в построении медианы равнобедренного треугольника с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
  • Проверить умение учащихся решать задачи.


План урока:

  1. Повторение.
  2. Признаки равнобедренного треугольника.
  3. Раскрытие главное темы урока, определения медианы.
  4. Свойство медианы равнобедренного треугольника.


Файл:O.gif Треугольник называетсяравнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.
Свойства равнобедренного треугольника.

Файл:T.gif В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство

Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC . По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC; BC = AC; Файл:16122010 13.gifC = Файл:16122010 13.gifC. Отсюда следует Файл:16122010 13.gifA = Файл:16122010 13.gifB как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.
20122010 01.jpg
Признаки равнобедренного треугольника.

Файл:T.gif Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство

Пусть Δ ABC – треугольник, в котором A = B. Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA; B = A; A = B. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC. Тогда, по определению, Δ ABC – равнобедренный. Теорема доказана.

Свойство медианы равнобедренного треугольника.
Файл:T.gif В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

20122010 2.JPG

Пусть Δ ABC– равнобедренный с основанием AB, и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB. Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: Файл:16122010 13.gifACD = Файл:16122010 13.gifBCDФайл:16122010 13.gifADC = Файл:16122010 13.gifBDC. Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы Файл:16122010 13.gifADC и Файл:16122010 13.gifBDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника. Теорема доказана.


Файл:T.gif Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.
12112010 4.jpg


Доказательство

В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD = CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB = BC. Теорема доказана.


20122010 32.JPG Файл:13112010 15.gif

Доказательство

Пусть в треугольнике ABC CD медиана и высота.
Тогда треугольники ACD и BCD равны по первому признаку равенства треугольников, так как CD общая для этих треугольников, AD=DB – так как CD медиана и разбивает AB пополам, ∠ CDA = ∠ CDB – так как CD высота.
Отсюда следует, что AC = CB и ABC – равнобедренный треугольник. Теорема доказана.


 

Свойство медианы равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Дано: А АВС — равнобедренный треугольник, АВ — основание, CD — медиана

Доказать: CD — биссектриса и высота.

Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС — равнобедренный.

Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D — середина отрезка АВ).

Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов:

20122010 4.JPG

Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD

является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому

справедливы также следующие утверждения:

1. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.




Интересный факт:

Геометрия Вселенной, Большой взрыв и расширение Вселенной

18122010 2.jpg

18122010 3.jpg

Этот шарик показывает бесконечное расширение Вселенной во времени. Немногим более 1/10 мм в диаметре, он движется в сторону пластинки бла-годаря флуктуациям энергии вакуума. Притяжение между ними объясняется эффектом Казимира. Этот снимок получен космическим телескопом им. Хаббла при проведении глубокого обзора в рамках программы изучения происхождения галактик. Целью проекта GOODS является исследование процессов формирования галактик и их эволюции.

Вопросы:

  1. Какой треугольник называется равнобедренным?
  2. Признаки равнобедренного треугольника?
  3. Свойство медианы равнобедренного треугольника?

Список использованных источников:

  1. Федеральный общеобразовательный стандарт. Вестник образования. №12,2004.
  2. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы. Составитель: С.А. Бурмистрова. Москва. «Просвещение», 2009 год.
  3. А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. «ИЛЕКСА». Москва. 2004.
  4. Проект "Астрогалактика" 25 ноября 2006 .

Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.


Над уроком работали

Потурнак С. А.





Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, но и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

Предмети > Математика > Математика 7 класс