[[Image:O.gif]] Треугольник называется''равнобедренным'', если у него две стороны равны. Эти стороны называются ''боковыми'', а третья сторона – ''основанием''.<br>''Свойства равнобедренного треугольника.''<br>
+
[[Image:O.gif]] Треугольник называется''равнобедренным'', если у него две стороны равны. Эти стороны называются ''боковыми'', а третья сторона – ''основанием''.<br>''Свойства равнобедренного треугольника.''<br>
-
[[Image:T.gif]] В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.<br><br>''Доказательство''<br>
+
[[Image:T.gif]] В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.<br><br>''Доказательство''<br>
-
Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC . По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC; BC = AC; [[Image:16122010_13.gif]]C = [[Image:16122010_13.gif]]C. Отсюда следует [[Image:16122010_13.gif]]A = [[Image:16122010_13.gif]]B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.<br>[[Image:20122010_01.jpg|400x384px]]<br><u>'''Признаки равнобедренного треугольника.'''</u><br><br>[[Image:T.gif]] Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.<br><br>''Доказательство''<br>
+
Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC . По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC; BC = AC; [[Image:16122010 13.gif]]C = [[Image:16122010 13.gif]]C. Отсюда следует [[Image:16122010 13.gif]]A = [[Image:16122010 13.gif]]B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.<br>[[Image:20122010 01.jpg|400x384px|20122010 01.jpg]]<br><u>'''Признаки равнобедренного треугольника.'''</u><br><br>[[Image:T.gif]] Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.<br><br>''Доказательство''<br>
-
Пусть Δ ABC – треугольник, в котором A = B. Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA; B = A; A = B. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC. Тогда, по определению, Δ ABC – равнобедренный. Теорема доказана.<br><br>Свойство медианы равнобедренного треугольника.<br>[[Image:T.gif]] В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.<br><br>[[Image:20122010_2.JPG]]
+
Пусть Δ ABC – треугольник, в котором A = B. Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA; B = A; A = B. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC. Тогда, по определению, Δ ABC – равнобедренный. Теорема доказана.<br><br>Свойство медианы равнобедренного треугольника.<br>[[Image:T.gif]] В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.<br><br>[[Image:20122010 2.JPG]]
<div class="proof">
<div class="proof">
-
Пусть <nobr>Δ <span class="m">ABC</span></nobr> – равнобедренный с основанием <nobr><span class="m">AB</span></nobr>, и <nobr><span class="m">CD</span></nobr> – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках <nobr><span class="m">CAD</span></nobr> и <nobr><span class="m">CBD</span></nobr> углы <nobr><span class="m">CAD</span></nobr> и <nobr><span class="m">CBD</span></nobr> равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны <nobr><span class="m">AC</span></nobr> и <nobr><span class="m">BC</span></nobr> равны по определению равнобедренного треугольника, стороны <nobr><span class="m">AD</span></nobr> и <nobr><span class="m">BD</span></nobr> равны, потому что <nobr><span class="m">D</span></nobr> – середина отрезка <nobr><span class="m">AB</span></nobr>. Отсюда получаем, что <nobr>Δ <span class="m">ACD</span> = Δ <span class="m">BCD</span></nobr>.
+
Пусть Δ <span class="m">ABC</span>– равнобедренный с основанием <span class="m">AB</span>, и <span class="m">CD</span> – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках <span class="m">CAD</span> и <span class="m">CBD</span> углы <span class="m">CAD</span> и <span class="m">CBD</span> равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны <span class="m">AC</span> и <span class="m">BC</span> равны по определению равнобедренного треугольника, стороны <span class="m">AD</span> и <span class="m">BD</span> равны, потому что <span class="m">D</span> – середина отрезка <span class="m">AB</span>. Отсюда получаем, что Δ <span class="m">ACD</span> = Δ <span class="m">BCD</span>.
-
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: [[Image:16122010_13.gif]]<nobr><span class="m">ACD</span> = [[Image:16122010_13.gif]]<span class="m">BCD</span>, <span class="m">[[Image:16122010_13.gif]]ADC</span> = <span class="m">[[Image:16122010_13.gif]]BDC</span></nobr>. Из первого равенства следует, что <nobr><span class="m">CD</span></nobr> – биссектриса. Углы [[Image:16122010_13.gif]]<nobr><span class="m">ADC</span></nobr> и [[Image:16122010_13.gif]]<nobr><span class="m">BDC</span></nobr> смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому <nobr><span class="m">CD</span></nobr> – высота треугольника. Теорема доказана.
+
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: [[Image:16122010 13.gif]]<span class="m">ACD</span> = [[Image:16122010 13.gif]]<span class="m">BCD</span>, <span class="m">[[Image:16122010 13.gif]]ADC</span> = <span class="m">[[Image:16122010 13.gif]]BDC</span>. Из первого равенства следует, что <span class="m">CD</span> – биссектриса. Углы [[Image:16122010 13.gif]]<span class="m">ADC</span> и [[Image:16122010 13.gif]]<span class="m">BDC</span> смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому <span class="m">CD</span> – высота треугольника. Теорема доказана.
-
</div>
+
</div>
-
<br>[[Image:T.gif]] Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.<br>[[Image:12112010_4.jpg]]
+
<br>[[Image:T.gif]] Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.<br>[[Image:12112010 4.jpg]]
+
<br> ''Доказательство<br>''
-
''Доказательство<br>''
+
В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD = CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB = BC. Теорема доказана.<br><br><br>[[Image:20122010 32.JPG]] [[Image:13112010 15.gif]]<br><br>''Доказательство''<br>
-
+
-
В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD = CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB = BC. Теорема доказана.<br><br><br>[[Image:20122010_32.JPG]] [[Image:13112010_15.gif]]<br><br>''Доказательство''<br>
+
Пусть в треугольнике ABC CD медиана и высота.<br>Тогда треугольники ACD и BCD равны по первому признаку равенства треугольников, так как CD общая для этих треугольников, AD=DB – так как CD медиана и разбивает AB пополам, ∠ CDA = ∠ CDB – так как CD высота.<br>Отсюда следует, что AC = CB и ABC – равнобедренный треугольник. Теорема доказана.
Пусть в треугольнике ABC CD медиана и высота.<br>Тогда треугольники ACD и BCD равны по первому признаку равенства треугольников, так как CD общая для этих треугольников, AD=DB – так как CD медиана и разбивает AB пополам, ∠ CDA = ∠ CDB – так как CD высота.<br>Отсюда следует, что AC = CB и ABC – равнобедренный треугольник. Теорема доказана.
Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока:
Формировать навыки в построении медианы равнобедренного треугольника с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока:
Повторение.
Признаки равнобедренного треугольника.
Раскрытие главное темы урока, определения медианы.
Свойство медианы равнобедренного треугольника.
Файл:O.gif Треугольник называетсяравнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием. Свойства равнобедренного треугольника.
Файл:T.gif В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство
Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC . По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC; BC = AC; Файл:16122010 13.gifC = Файл:16122010 13.gifC. Отсюда следует Файл:16122010 13.gifA = Файл:16122010 13.gifB как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана. Признаки равнобедренного треугольника.
Файл:T.gif Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Доказательство
Пусть Δ ABC – треугольник, в котором A = B. Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA; B = A; A = B. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC. Тогда, по определению, Δ ABC – равнобедренный. Теорема доказана.
Свойство медианы равнобедренного треугольника. Файл:T.gif В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Пусть Δ ABC– равнобедренный с основанием AB, и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB. Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD.
Файл:T.gif Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.
Доказательство
В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD = CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB = BC. Теорема доказана.
Пусть в треугольнике ABC CD медиана и высота. Тогда треугольники ACD и BCD равны по первому признаку равенства треугольников, так как CD общая для этих треугольников, AD=DB – так как CD медиана и разбивает AB пополам, ∠ CDA = ∠ CDB – так как CD высота. Отсюда следует, что AC = CB и ABC – равнобедренный треугольник. Теорема доказана.
Свойство медианы равнобедренного треугольника.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Дано: А АВС — равнобедренный треугольник, АВ — основание, CD — медиана
Доказать: CD — биссектриса и высота.
Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС — равнобедренный.
Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D — середина отрезка АВ).
Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов:
Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD
является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.
Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому
справедливы также следующие утверждения:
1. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Интересный факт:
Геометрия Вселенной, Большой взрыв и расширение Вселенной
Этот шарик показывает бесконечное расширение Вселенной во времени. Немногим более 1/10 мм в диаметре, он движется в сторону пластинки бла-годаря флуктуациям энергии вакуума. Притяжение между ними объясняется эффектом Казимира.
Этот снимок получен космическим телескопом им. Хаббла при проведении глубокого обзора в рамках программы изучения происхождения галактик. Целью проекта GOODS является исследование процессов формирования галактик и их эволюции.
Вопросы:
Какой треугольник называется равнобедренным?
Признаки равнобедренного треугольника?
Свойство медианы равнобедренного треугольника?
Список использованных источников:
Федеральный общеобразовательный стандарт. Вестник образования. №12,2004.
Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы. Составитель: С.А. Бурмистрова. Москва. «Просвещение», 2009 год.
А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. «ИЛЕКСА». Москва. 2004.
Проект "Астрогалактика" 25 ноября 2006 .
<u</u>
Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
