Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Сокращение алгебраических дробей

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Сокращение алгебраических дробей



                     Сокращение алгебраических дробей


Новое понятие в математике редко возникает «из ничего», «на пустом месте». Оно появляется тогда, когда в нем ощущается объективная необходимость. Именно так появились в математике отрицательные числа, так появились обыкновенные и десятичные алгебраической дроби.

Предпосылки для введения нового понятия «алгебраическая дробь» у нас имеются. Давайте вернемcя к § 12. Обсуждая там деление одночлена на одночлен, мы рассмотрели ряд примеров. Выделим два из них.

1. Разделить одночлен 36а3b5 на одночлен 4ab2 (см. пример 1в) из §12).
Решали мы его так. Вместо записи 36а3b5: 4аb2 использовали черту дроби:

Деление одночлена

Это позволило вместо записей 36 : 4, а3 : а, b5 : b2 также использовать черту дроби, что сделало решение примера более наглядным:

Решение примера

2. Разделить одночлен 4x3 на одночлен 2ху (см. пример 1 д) из § 12). Действуя по тому же образцу, мы получили:

Решение примера

В § 12 мы отметили, что одночлен 4x3 не удалось разделить на одночлен 2ху так, чтобы получился одночлен. Но ведь математические модели реальных ситуаций могут содержать операцию деления любых одночленов, не обязательно таких, что один делится на другой. Предвидя это, математики ввели новое понятие — понятие алгебраической дроби. В частности, алгебраическая дробь. алгебраическая дробь Теперь вернемся к § 18. Обсуждая там операцию деления многочлена на одночлен, мы отметили, что она не всегда выполнима. Так, в примере 2 из § 18 речь шла о делении двучлена 6х3 - 24x2 на одночлен 6х2. Эта операция оказалась выполнимой и в результате мы получили двучлен х - 4. Значит, ДвучленИными словами, алгебраическое выражение Алгебраическое выражение удалось заменить более простым выражением — многочленом х - 4.

В то же время в примере 3 из § 18 не удалось разделить многочлен 8a3 + Ьа2b - b на 2а2, т. е. выражение Алгебраическое выражение не удалось заменить более простым выражением, пришлось так и оставить его в виде алгебраической дроби.

Что же касается операции деления многочлена на многочлен, то мы о ней фактически ничего не говорили. Единственное, что мы можем сейчас сказать: один многочлен можно разделить на другой, если этот другой многочлен является одним из множителей в разложении первого многочлена на множители.

Например, х3 - 1 = (х - 1) (х2 + х + 1). Значит, х3 - 1 можно разделить на х2 + х + 1, получится х - 1; х3 - 1 можно разделить на х - 1,

получится х2 + х + 1.
многочленов Р и Q. При этом используют запись Алгебраические дроби
 где Р — числитель, Q — знаменатель алгебраической дроби.
 Примеры алгебраических дробей:


Алгебраические дроби


Иногда алгебраическую дробь удается заменить многочленом. Например, как мы уже установили ранее,

Алгебраические дроби


(многочлен 6x3 - 24x2 удалось разделить на 6x2, при этом в частном получается x - 4); мы также отмечали, что

Алгебраические дроби

Но так бывает сравнительно редко.

Впрочем, похожая ситуация уже встречалась вам — при изучении обыкновенных дробей. Например, дробь —   Дробь можно заменить целым числом 4, а дробь —  Дробь целым числом 5. Однако дробь —  Дробь целым числом заменить не удается, хотя эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на число 8 — общий множитель числителя и знаменателя: Дробь
Точно так же можно сокращать алгебраические дроби, разделив одновременно числитель и знаменатель дроби на их общий множетель. А для этого надо разложить и числитель, и знаменатель дроби на множители. Здесь нам и понадобится все то, что мы так долго обсуждали в этой главе.

Пример. Сократить алгебраическую дробь:

Алгебраические дроби

Решение, а) Найдем общий множитель для одночленов
12х3у4 и 8х2у5 так, как мы делали в § 20. Получим 4х2у4. Тогда 12x3y4 = 4x2y4 • Зх; 8x2y5 = 4x2y4 • 2у.
Значит,

Алгебраические дроби
Числитель и знаменатель заданной алгебраической дроби сократили на общий множитель 4х2у4.
Решение этого примера можно записать по-другому:

Алгебраические дроби

б) Чтобы сократить дробь, разложим ее числитель и знаменатель на множители. Получим:

Алгебраические дроби


(дробь сократили на общий множитель а + b).

А теперь вернитесь к замечанию 2 из § 1. Видите, данное там обещание мы наконец-то смогли выполнить.
в) Имеем:

Алгебраические дроби


(сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя, т. е. на х (x - у))

Итак, для того чтобы сократить алгебраическую к дробь, нужно прежде всего разложить на множители ее числитель и знаменатель. Так что ваш успех в этом новом деле (сокращении алгебраических дробей) в основном зависит от того, как вы усвоили материал предыдущих параграфов этой главы.



Видеопо математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам онлайн



А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.