*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
+
-
=== <br>Задачи урока: ===
+
• Познакомиться школьников с теоремой Пифагора;<br>
+
• Сформулировать и доказать теорему Пифагора;<br>
+
• Познакомить школьников с разными методами применения этой теоремы при решении задач;<br>
+
• Формировать навыки использования полученных знаний на практике;<br>
+
• Развивать внимание учащихся, самостоятельность и интерес к геометрии;<br>
+
• Воспитывать культуру математической речи.<br>
-
*Научиться применять свойства фигур при решении задач.
+
<h2>Задачи урока</h2>
-
<br>
+
• Научиться использовать свойства фигур при выполнении заданий. <br>
+
• Уметь применять теорему Пифагора во время решения задач.<br>
-
=== План урока: ===
+
<h2>План урока</h2>
-
#Введение.<br>
+
• Краткие биографические сведения.<br>
-
#Доказательство.
+
• Теорема и ее доказательство. <br>
-
#Предисловие.
+
• Интересные факты.<br>
-
#Заключение.
+
• Решение задач.<br>
+
• Домашнее задание.<br>
-
<br>
+
<h2>Краткие биографические сведения о Пифагоре</h2>
-
=== <u>Введение.</u> ===
+
<br>
+
[[Image:8kl_Pifagor01.jpg|500x500px|пифагор]]
+
<br>
-
==== <u></u>Биография Пифагора. ====
+
На жаль, Пифагор не оставил никаких сочинений о своей биографии, поэтому все сведения об этом великом философе и знаменитом математике мы можем узнать только благодаря воспоминаниям его последователей, да и то не всегда справедливых. Поэтому об этом человеке ходит много легенд. Но правда заключается в том, что Пифагор был великим эллинским мудрецом, философом и талантливым математиком.
По недостоверным сведениям, великий мудрец и гениальный ученый Пифагор родился в далеко не бедной семье, на острове Самосее, приблизительно в 570 году до н.э.
-
Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгценным камням. Имя же матери Пифагора не известно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца '''Гермодаманта и Ферекида Сиросского''' (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображе-нию юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал. <br>
+
Появление на свет гениального ребенка предрекла Пафия. Поэтому будущий светила получил свое имя Пифагор, которое обозначает, что это именно тот, о ком объявила Пафия. Она предсказала, что рожденный младенец в будущем принесет немало пользы и добра людям.
-
'''В 548 г. до н.э. '''Пифагор прибыл в Навкратис – самосскую колонию, где было у кого найти кров и пищу. ''Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис''. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел их все, хотя по данным раскопок египетские жрецы не многому могли его научить, т.к. в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой (удовлетворявшей потребность того времени в счете и в измерении земельных участков). Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину в Элладу.<br>
+
Новорожденный был безумно красив, а современем порадовал окружающих своими выдающимися способностями. А так как юное дарование коротало свои дни среди мудрых старцев, то в будущем это принесло свои плоды. Вот так благодаря Гермодаманту Пифагор полюбил музыку, а Ферекид направил ум ребенка к логосу. После жизни в Самосее Пифагор отпправился в Милеет, где произошло знакомство еще с одним ученым - Фалесом.
-
Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.
+
Пифагор познакомился со знаниями всех известных по тем временам мудрецов, так как был допущен к обучению и познанию всех таинств, которые были другим запрещены. Он старался докопаться до истины и впитать все накопленные человечеством знания.
После двадцати двух лет пребывания в Египте, Пифагор перебрался в Вавилон, где продолжил свое общение с различными мудрецами и магами. Вернувшись в конце своей жизни в Самиос, он был признан одним из мудрейших людей того времени.
-
Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о '''“пифагоровых штанах”''' — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это '''простота — красота — значимость'''. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: ''она применяется в геометрии буквально на каждом шагу'', и тот факт, что '''существует около 500 различных доказательств''' этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.<br>
Даже человек, которому пока не довелось изучать эту теорему, наверняка слышал высказывание о «пифагоровых штанах». Особенность этой теоремы в том, что она стала одной из ключевых теорем евклидовой геометрии. Она позволяет легко найти и установить соответствие между сторонами прямоугольного треугольника.
-
Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение '''первой книги “Начал” Евклида''', пишет: ''“Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка”''. Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики. Так, оптимист '''Михаил Ломоносов''' (1711--1765) писал: ''“Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевсу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось”. ''А вот ироничный '''Генрих Гейне''' (1797—1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе: ''“Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам”''. Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в '''египетском треугольнике''' в папирусе '''времен фараона Аменемхета''' первого (ок. 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках '''эпохи царя Хаммурапи''' (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII —V вв. до н.э. '''“Сульва сутра”''' ''(“Правила веревки”)''. В древнейшем китайском трактате “Чжоу-би суань цзинь”, время создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э.—и общий вид теоремы. Несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. <br>
+
Теорема Пифагора запомнилась каждому школьнику не только высказыванием: «пифагоровы штаны на все стороны равны», а своей простотой и значимостью. И на первый взгляд эта теорема хотя и кажется простой, но имеет большое значение, так как в геометрии она применяется фактически на каждом шагу.
-
+
-
Я рассмотрю некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы.<br>
+
{{#ev:youtube|kME6Gv5XVV8}} <br>
{{#ev:youtube|kME6Gv5XVV8}} <br>
-
=== <br>Формулировки теоремы. ===
+
Теорема Пифагора насчитывает большое количество разных доказательств и, наверное, является единственной теоремой, которая имеет такое огромное число доказательств. Такое разнообразие подчеркивает безграничную значимость этой теоремы
-
''Приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.''<br><br>'''У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):'''<br>''"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".''<br><br>'''Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:'''<br>''"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".''<br><br>'''В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так :'''<br>''"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".''<br><br>'''В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:'''<br>''"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".''<br>
+
В теореме Пифагора присутствуют геометрические, алгебраические, механические и другие доказательства.
-
<br>
+
Об открытии теоремы Пифагором сложено много разных легенд. Но, несмотря на все это, имя Пифагора навеки вошло в историю геометрии и прочно слилось с теоремой Пифагора. Ведь этот гениальный математик первым представит доказательство теоремы, которая носит его имя.
-
'''Итак, Теорема Пифагора.'''
+
<br>
+
[[Image:8kl_Pifagor03.jpg|500x500px|пифагор]]
+
<br>
-
'''''"Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах."'''''<br>
+
<h2>Формулировки теоремы </h2>
-
<br>
+
Существуют несколько формулировок теоремы Пифагора.
-
=== Доказательство теоремы. ===
+
Евклидова теорема говорит нам, что квадрат стороны прямоугольного треугольника, проведенный над его прямым углом, равняется квадратам на сторонах, заключающих прямой угол.
+
+
<br>
+
[[Image:8kl_Pifagor04.jpg|500x500px|пифагор]]
+
<br>
+
{{#ev:youtube|gdCF3w7P2mA}}
-
==== Простейшее доказательство теоремы. ====
+
{{#ev:youtube|O9qaVR2Xf-g}}
-
[[Image:4052011 4.jpg]]<br>
+
Задание: Найдите различные формулировки теоремы Пифагора. Находите ли вы в них какое-то различие?
+
+
<h2>Упрощенное доказательство Евклида </h2>
-
Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников (рис.), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,— по два.<br>
+
Независимо от того, мы берем метод разложения или доказательство Евклида, можно использовать любое расположение квадратов. В некоторых случаях при этом можно достичь небольших упрощений.
Возьмем квадрат, который построен на одном из катетов и имеет тоже расположение, что и треугольник. Мы видим, что продолжение стороны, противоположной катету этого квадрата проходит через вершину квадрата, который построен на гипотенузе.
-
<br>
+
Доказательство теоремы выглядит довольно просто, так как будет достаточно просто сравнить площади фигур с площадью треугольника. И мы видим, что S треугольника равна ½ площади квадрата, а также ½ S прямоугольника.
-
==== Древнекитайское доказательство.<br> ====
+
<h2>Самое простое доказательство</h2>
+
<br>
+
[[Image:8kl_Pifagor06.jpg|500x500px|пифагор]]
+
<br>
-
[[Image:4052011 5.jpg]]<br>
+
<h2>Алгебраическое доказательство</h2>
-
Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла тематика в девяти книгах» — главное из сохранившихся математико - астрономических сочинений в книге «Математики» помещен чертеж (рис., а), доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами ''а, b'' и гипотенузой ''с'' уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной ''а+b'', а внутренний — квадрат со стороной ''с'', построенный на гипотенузе (рис., б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис., в), то ясно, что образовавшаяся пустота, '''с одной стороны, равна с<sup>2</sup>''', '''а с другой — а<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>''', т.е. '''с<sup>2</sup>=а<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>'''.
+
К алгебраическому доказательству теоремы Пифагора относятся элементарные методы, которые присутствуют в алгебре. Это способы решения уравнений в сочетании со способом замены переменных.
-
'''Теорема доказана.'''
+
Давайте рассмотрим это доказательство более детально. И так, у нас есть прямоугольник АВС, у которого прямой угол – С.
-
Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (рис., а), не используются. По-видимому, древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной ''с'' два заштрихованных треугольника (рис., б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис., г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют '''«креслом невесты»''', состоит из двух квадратов со сторонами '''а и b, т.е. с<sup>2</sup>=а<sup>2</sup>+b<sup></sup>'''<sup>2</sup>.
+
Проведите с этого угла высоту CD.
-
[[Image:4052011 6.jpg|272x230px|4052011 6.jpg]]<br>На рисунке воспроизведен чертеж из трактата «Чжоу-би...». Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц из-мерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете—16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете. <br><br>
+
Согласно определения косинуса угла мы получим:
-
==== Древнеиндийское доказательство. ====
+
соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC2.
-
[[Image:4052011 7.jpg]]
+
И соответственно:
-
Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж (рис., а) с характерным для индийских доказательств словом «смотри!». Как видим, прямоугольньные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с<sup>2</sup> перекладывается в '''«кресло невесты»''' а<sup>2</sup>-b<sup>2</sup> (рис., б). Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII —V вв. до н.э.). <br>
+
соsВ = BD/BC=BC/AB.
-
<br>
+
Отсюда AB*BD=ВС2.
-
==== Упрощенное доказательство Евклида. ====
+
Теперь сложим эти равенства почленно и увидим, что:
+
AD+DB=AB,
-
[[Image:4052011 8.gif]]
+
В итоге:
-
Пусть квадрат,построенный на одном из катетов (на рисунке это квадрат,построенный на большем катете), расположен с той же стороны катета, что и сам треугольник. Тогда продолжение противоположной катету стороны этого квадрата проходит через вершину квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство в этом случае оказывается совсем простым, т. к. здесь достаточно сравнить площади интересующих нас фигур с площадью одного треугольника(он заштрихован) - площадь этого треугольника равна половине площади квадрата и одновременно половине площади прямоугольника.
+
АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2.
-
<br>
+
Вот и все, теорема доказана.
-
==== Алгебраическое доказательство.<br> ====
+
<br>
+
[[Image:8kl_Pifagor07.jpg|500x500px|пифагор]]
+
<br>
-
[[Image:4052011 9.jpg]]<br>
+
<h2>Интересный факт </h2>
-
Пусть АВС — данный прямоугольный треугольник с прямым углом '''С'''. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис.).<br>По определению косинуса угла ''(Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе)'' '''соsА=AD/AC=AC/AB'''. Отсюда '''AB*AD=AC<sup>2</sup>'''.
+
Теорему Пифагора ученые «доказали» с помощью мультиков. Группа единомышленников из института им. Стеклова получила премию за оригинальный математический проект, который они разработали для школьников и учителей. Они создали мини уроки по математике, которые этот скучный предмет превратили в очень интересный и познавательный. Свои необычные этюды молодые ученые выпустили на дисках и выложили в Интернете на всеобщее обозрение.
-
+
-
Аналогично '''соsВ=BD/BC=BC/AB'''. Отсюда '''AB*BD=ВС<sup>2</sup>'''. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что '''AD+DB=AB''', получим:<br>'''АС<sup>2</sup>+ВС<sup>2</sup>=АВ(AD + DB)=АВ<sup>2</sup>.'''
+
-
+
-
'''Теорема доказана.'''<br>
+
-
+
-
<br>
+
-
+
-
''В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.''<br>
+
-
+
-
----
+
-
+
-
=== <u>Интересный факт:</u> ===
+
-
+
-
'''Теорему Пифагора ученые "доказали" с помощью мультиков.'''<br>
+
-
+
-
[[Image:4052011 10.png]]<br>
+
-
+
-
Премия стала наградой за удачный проект по распространению научных знаний, в частности - математики. Николай и его единомышленники - Роман Кокшаров, Михаил Калиниченко, Никита Панюнин и Никита Шевельзон, сотрудники Математического Института им. Стеклова решили разработать для школьников и их учителей - преподавателей математики - необычные уроки, такие, чтобы не отвращали детей от одного из самых важных предметов, а наоборот, вызывали интерес к нему. Свои мини-уроки молодые ученые назвали этюдами, выпустили диски и выложили все это в Интернете.<br>
+
-
+
-
<br>
+
{{#ev:youtube|a2sM6NTWM9o}}
{{#ev:youtube|a2sM6NTWM9o}}
-
<br>
+
'''Вопросы'''
-
+
-
<u></u>
+
-
+
-
<u></u>
+
-
----
+
1. Кто такой Пифагор? <br>
+
2. О чем гласит теорема Пифагора? <br>
+
3. Какие существуют формулировки теоремы Пифагора?<br>
+
4. При решении, каких задач применяется теорема Пифагора?<br>
+
5. Где теорема Пифагора нашла практическое применение?<br>
+
6. Какие вы знаете способы использования теоремы Пифагора?<br>
Используя знания теоремы Пифагора, попробуйте решить следующие задачи:
-
#«Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
+
• Из туристической базы, одновременно, вышли две группы туристов. Первая группа пошла на юг и прошла семь километров, а вторая свернула на запад и прошла девять километров. Используя знания теоремы, найдите расстояние между группами туристов. <br>
-
#Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
+
-
#Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»
+
-
----
+
• Если в прямоугольном треугольнике его катет равен 15 см, а гипотенуза равняется 16 см, то чему будет равен второй катет?<br>
-
'''<u>Над уроком работали:</u>'''
+
• Чему будет равна площадь трапеции, когда ее большое основание равно 24 см, меньшее – 16, а большая диагональ прямоугольной трапеции равна 26 см?<br>
-
Потурнак С.А.<br>
+
<br>
+
[[Image:8kl_Pifagor09.jpg|500x500px|пифагор]]
+
<br>
-
Кудашев Алексей
+
<h2>Домашнее задание</h2>
-
----
+
Оформите в виде небольшого доклада несколько доказательств теоремы Пифагора, которые вам понятны и решите задачи.
-
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.
+
1. Найдите диагональ прямоугольного треугольника, при условии, что стороны его равны 8 см и 32 см.<br>
-
<br>
+
2. Найдите медиану треугольника, которая проведена к основанию, если в равнобедренном треугольнике периметр равен 38 см, а его боковая сторона равняется 15 см.<br>
-
<br>
+
3. У треугольника стороны равны 10см, 6 см и 9 см. Попробуйте определить, является ли этот треугольник прямоугольным?<br>
• Познакомиться школьников с теоремой Пифагора;
• Сформулировать и доказать теорему Пифагора;
• Познакомить школьников с разными методами применения этой теоремы при решении задач;
• Формировать навыки использования полученных знаний на практике;
• Развивать внимание учащихся, самостоятельность и интерес к геометрии;
• Воспитывать культуру математической речи.
Задачи урока
• Научиться использовать свойства фигур при выполнении заданий.
• Уметь применять теорему Пифагора во время решения задач.
План урока
• Краткие биографические сведения.
• Теорема и ее доказательство.
• Интересные факты.
• Решение задач.
• Домашнее задание.
Краткие биографические сведения о Пифагоре
На жаль, Пифагор не оставил никаких сочинений о своей биографии, поэтому все сведения об этом великом философе и знаменитом математике мы можем узнать только благодаря воспоминаниям его последователей, да и то не всегда справедливых. Поэтому об этом человеке ходит много легенд. Но правда заключается в том, что Пифагор был великим эллинским мудрецом, философом и талантливым математиком.
По недостоверным сведениям, великий мудрец и гениальный ученый Пифагор родился в далеко не бедной семье, на острове Самосее, приблизительно в 570 году до н.э.
Появление на свет гениального ребенка предрекла Пафия. Поэтому будущий светила получил свое имя Пифагор, которое обозначает, что это именно тот, о ком объявила Пафия. Она предсказала, что рожденный младенец в будущем принесет немало пользы и добра людям.
Новорожденный был безумно красив, а современем порадовал окружающих своими выдающимися способностями. А так как юное дарование коротало свои дни среди мудрых старцев, то в будущем это принесло свои плоды. Вот так благодаря Гермодаманту Пифагор полюбил музыку, а Ферекид направил ум ребенка к логосу. После жизни в Самосее Пифагор отпправился в Милеет, где произошло знакомство еще с одним ученым - Фалесом.
Пифагор познакомился со знаниями всех известных по тем временам мудрецов, так как был допущен к обучению и познанию всех таинств, которые были другим запрещены. Он старался докопаться до истины и впитать все накопленные человечеством знания.
После двадцати двух лет пребывания в Египте, Пифагор перебрался в Вавилон, где продолжил свое общение с различными мудрецами и магами. Вернувшись в конце своей жизни в Самиос, он был признан одним из мудрейших людей того времени.
Теорема Пифагора
Даже человек, которому пока не довелось изучать эту теорему, наверняка слышал высказывание о «пифагоровых штанах». Особенность этой теоремы в том, что она стала одной из ключевых теорем евклидовой геометрии. Она позволяет легко найти и установить соответствие между сторонами прямоугольного треугольника.
Теорема Пифагора запомнилась каждому школьнику не только высказыванием: «пифагоровы штаны на все стороны равны», а своей простотой и значимостью. И на первый взгляд эта теорема хотя и кажется простой, но имеет большое значение, так как в геометрии она применяется фактически на каждом шагу.
Теорема Пифагора насчитывает большое количество разных доказательств и, наверное, является единственной теоремой, которая имеет такое огромное число доказательств. Такое разнообразие подчеркивает безграничную значимость этой теоремы
В теореме Пифагора присутствуют геометрические, алгебраические, механические и другие доказательства.
Об открытии теоремы Пифагором сложено много разных легенд. Но, несмотря на все это, имя Пифагора навеки вошло в историю геометрии и прочно слилось с теоремой Пифагора. Ведь этот гениальный математик первым представит доказательство теоремы, которая носит его имя.
Формулировки теоремы
Существуют несколько формулировок теоремы Пифагора.
Евклидова теорема говорит нам, что квадрат стороны прямоугольного треугольника, проведенный над его прямым углом, равняется квадратам на сторонах, заключающих прямой угол.
Задание: Найдите различные формулировки теоремы Пифагора. Находите ли вы в них какое-то различие?
Упрощенное доказательство Евклида
Независимо от того, мы берем метод разложения или доказательство Евклида, можно использовать любое расположение квадратов. В некоторых случаях при этом можно достичь небольших упрощений.
Возьмем квадрат, который построен на одном из катетов и имеет тоже расположение, что и треугольник. Мы видим, что продолжение стороны, противоположной катету этого квадрата проходит через вершину квадрата, который построен на гипотенузе.
Доказательство теоремы выглядит довольно просто, так как будет достаточно просто сравнить площади фигур с площадью треугольника. И мы видим, что S треугольника равна ½ площади квадрата, а также ½ S прямоугольника.
Самое простое доказательство
Алгебраическое доказательство
К алгебраическому доказательству теоремы Пифагора относятся элементарные методы, которые присутствуют в алгебре. Это способы решения уравнений в сочетании со способом замены переменных.
Давайте рассмотрим это доказательство более детально. И так, у нас есть прямоугольник АВС, у которого прямой угол – С.
Проведите с этого угла высоту CD.
Согласно определения косинуса угла мы получим:
соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC2.
И соответственно:
соsВ = BD/BC=BC/AB.
Отсюда AB*BD=ВС2.
Теперь сложим эти равенства почленно и увидим, что:
AD+DB=AB,
В итоге:
АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2.
Вот и все, теорема доказана.
Интересный факт
Теорему Пифагора ученые «доказали» с помощью мультиков. Группа единомышленников из института им. Стеклова получила премию за оригинальный математический проект, который они разработали для школьников и учителей. Они создали мини уроки по математике, которые этот скучный предмет превратили в очень интересный и познавательный. Свои необычные этюды молодые ученые выпустили на дисках и выложили в Интернете на всеобщее обозрение.
Вопросы
1. Кто такой Пифагор?
2. О чем гласит теорема Пифагора?
3. Какие существуют формулировки теоремы Пифагора?
4. При решении, каких задач применяется теорема Пифагора?
5. Где теорема Пифагора нашла практическое применение?
6. Какие вы знаете способы использования теоремы Пифагора?
Задачи с применением теоремы Пифагора
Используя знания теоремы Пифагора, попробуйте решить следующие задачи:
• Из туристической базы, одновременно, вышли две группы туристов. Первая группа пошла на юг и прошла семь километров, а вторая свернула на запад и прошла девять километров. Используя знания теоремы, найдите расстояние между группами туристов.
• Если в прямоугольном треугольнике его катет равен 15 см, а гипотенуза равняется 16 см, то чему будет равен второй катет?
• Чему будет равна площадь трапеции, когда ее большое основание равно 24 см, меньшее – 16, а большая диагональ прямоугольной трапеции равна 26 см?
Домашнее задание
Оформите в виде небольшого доклада несколько доказательств теоремы Пифагора, которые вам понятны и решите задачи.
1. Найдите диагональ прямоугольного треугольника, при условии, что стороны его равны 8 см и 32 см.
2. Найдите медиану треугольника, которая проведена к основанию, если в равнобедренном треугольнике периметр равен 38 см, а его боковая сторона равняется 15 см.
3. У треугольника стороны равны 10см, 6 см и 9 см. Попробуйте определить, является ли этот треугольник прямоугольным?
