KNOWLEDGE HYPERMARKET


Теоремы и доказательства. Полные уроки
Строка 129: Строка 129:
<u>'''Список использованных источников:'''</u>  
<u>'''Список использованных источников:'''</u>  
 +
#Урок на тему "Введение в геометрию" Автор: Мацюк. М.А., г. Киев
#Мацуо Комацу. Многообразие геометрии. М.: «Знание»  
#Мацуо Комацу. Многообразие геометрии. М.: «Знание»  
#Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.<br>  
#Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.<br>  

Версия 19:09, 13 января 2011

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Теоремы и доказательства. Полные уроки


ТЕМА УРОКА: Теоремы и доказательства.

Цели урока:

  • Образовательные – объясненный учащимся самого происхождения слов "Теорема" и "Доказательство";
  • Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
  • Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.


Задачи урока:

  • Формировать навыки математической речи, правильного понимания математических определений.
  • Проверить умение учащихся запоминать и воспроизводить информацию полученную в течении урока.


План урока:

  1. Введение, общие понятия про геометрию;
  2. Теорема;
  3. Доказательство;
  4. Задание для самостоятельной проверки.


Историческая справка.

Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину. При этом античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают составленные около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Этот труд более двух тысячелетий считался образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений — аксиом.


Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием.
Женщина обучает детей геометрии. Иллюстрация из парижской рукописи Евклидовых «Начал», начало XIV века.

11012011 0.jpg

Муза геометрии, Лувр.

11012011 1.jpg

Женщина обучает детей геометрии. Иллюстрация из парижской рукописи Евклидовых «Начал», начало XIV века.

Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе», 1637). Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Примерно одновременно с этим Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями.

Ф. Клейн в «Эрлангенской программе» систематизировал все виды однородных геометрий; согласно ему геометрия изучает все те свойства фигур, которые инвариантны относительно преобразований из некоторой группы. При этом каждая группа задаёт свою геометрию. Так, изометрии (движения) задаёт евклидову геометрию, группа аффинных преобразований — аффинную геометрию.



Для правильного понимания теорем и доказательств, нужно разобраться все по очереди и начинать с самого простого - самого определения слова "Теорема". И так что же говорят нам большинство книг и интернет ресурсов.

Теорема.

Теорема (др.-греч. θεώρημα — «зрелище, вид; взгляд; представление, положение») — утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод). В отличие от теорем, аксиомами называются утверждения, которые, в рамках конкретной теории, принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований.

11012011 21.jpg

Знаменитая теорема Пифагора.

Какая гласит что "В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов."

т.е. a2 + b2 = c2


В математических текстах теоремами обычно называют только достаточно важные утверждения. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения). Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами.
Теория доказательства и опровержения является в современных условиях средством формирования научно обоснованных и юридически грамотных убеждений и утверждений.

Доказательство.

Доказательство — это совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо суждения с помощью других истинных и связанных с ним суждений. Доказательство связано с убеждением, но не тождественно ему: доказательства должны основываться на данных науки и общественно-исторической практики, убеждения же могут быть основаны, например, на религиозной вере в догматы церкви, на предрассудках, на неосведомлённости людей в вопросах экономики и политики, на видимости доказательности, основанной на различного рода софизмах.

В математике доказательством называется цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при желании можно восстановить формальное доказательство. Доказанные утверждения в математике называют теоремами (в математических текстах обычно подразумевается, что доказательство кем-либо найдено; исключения из этого обычая в основном составляют работы по логике, в которых исследуется само понятие доказательства); если ни утверждение, ни его отрицание ещё не доказаны, то такое утверждение называют гипотезой. Иногда в процессе доказательства теоремы выделяются доказательства менее сложных утверждений, называемых леммами.

Вывод (лат. conclusio) — процесс рассуждения, в ходе которого осуществляется переход от некоторых исходных суждений (предпосылок) к новым суждениям — заключениям.

Понятие вывода используется во многих формальных системах: в логике, математике, информатике, логическом программировании и др. В математической логике правила логического вывода задаются в исчислении высказываний либо исчислении предикатов.

Аксиома (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение) — утверждение, в определённых рамках (теории, концепции, дисциплины) принимаемое истинным без доказательств, которое в последующем служит «фундаментом» для построения доказательств.


Интересный факт:

Впервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля и перешёл в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времён Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы — как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах Начал Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий.

11012011 3.jpg

Аристотеля (384—322 до н. э.)

11012011 4.jpg

Евклид (325—265до н. э.)

11012011 5.jpg

Боэций (480 - 524 н. э.)


Вопросы:

  1. Что такое теорема?
  2. В чем отличие теоремы и аксиомы?
  3. Дайте определение аксиоме.
  4. Что такое доказательство?

Список использованных источников:

  1. Урок на тему "Введение в геометрию" Автор: Мацюк. М.А., г. Киев
  2. Мацуо Комацу. Многообразие геометрии. М.: «Знание»
  3. Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.
  4. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы. Составитель: С.А. Бурмистрова. Москва. «Просвещение», 2009 год.



Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Предмети > Математика > Математика 7 класс