*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
+
-
=== <br>Задачи урока: ===
+
• Продолжать знакомить с новыми определениями в геометрии;<br>
+
• Закрепить знания об уже изученных геометрических фигурах;<br>
+
• Познакомить с формулировкой и доказательствами свойств трапеции;<br>
+
• Обучить применению свойств различных фигур при решении задач и выполнении заданий;<br>
+
• Продолжать развивать у школьников внимание, логическое мышление и математическую речь;<br>
+
• Воспитывать интерес к предмету.<br>
-
*Проверить умение учащихся решать задачи.
+
<h2> Задачи урока</h2>
-
<br>
+
• Вызвать интерес к знаниям по геометрии;<br>
+
• Продолжать упражнять школьников в решении задач;<br>
+
• Вызвать познавательный интерес к урокам математики.<br>
-
=== План урока: ===
+
<h2> План урока</h2>
-
#Повторение ранее изученного материала.
+
1. Повторить материал, изученный ранее.<br>
-
#Трапеция, ее свойства и признаки.
+
2. Знакомство с трапецией, ее свойствами и признаками.<br>
-
#Задачи.<br>
+
3. Решение задач и выполнение заданий.<br>
-
<br>
+
<h2> Повторение ранее изученного материала</h2>
-
=== <u>Повторение ранее изученного материала.</u> ===
+
На предыдущем уроке вы знакомились с такой фигурой, как четырехугольник. Давайте закрепим пройденный материал и ответим на поставленные вопросы:
-
==== <u>Четырёхугольник.</u><br> ====
+
1. Сколько углов и сторон имеет 4-х угольник?<br>
+
2. Сформулируйте определение 4-х угольника?<br>
+
3. Какое название носят противоположные стороны 4-х угольника?<br>
+
4. Какие виды четырехугольников вам известны? Перечислите их и дайте определение каждого из них.<br>
+
5. Изобразите пример выпуклого и невыпуклого четырехугольника.<br>
-
'''Четырёхугольник '''— это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны.<br>
+
{{#ev:youtube|eyMEA-UjooU}}
-
'''Четырёхугольник''', геометрическая фигура — многоугольник с четырьмя углами, а также всякий предмет, устройство такой формы.<br>
+
{{#ev:youtube|J_q0AtPmyHI}}<br>
-
Две несмежные стороны четырехугольника называются ''противоположными . ''Две вершины, не являющиеся соседними, называются также ''противоположными.''<br>
-
Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и<br>невыпуклые (A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>).<br>
+
<h2> Трапеция. Общие свойства и определение</h2>
-
[[Image:20032011 1.gif]]<br>
+
<br>
+
[[Image:8kl_Trapecia01.jpg|500x500px|трапеция]]
+
<br>
-
===== <br>Виды четырёхугольников.<br> =====
+
Трапеция - это такая четырехугольная фигура, у которой только одна пара противолежащих сторон параллельна.
-
*'''Параллелограмм '''— четырёхугольник, у которого все противоположные стороны параллельны;<br>
+
В геометрическом определении к трапеции относится такой 4-х угольник, который имеет две параллельные стороны, а две другие – нет.
-
*'''Прямоугольник '''— четырёхугольник, у которого все углы прямые;<br>
+
-
*'''Ромб '''— четырёхугольник, у которого все стороны равны;<br>
+
-
*'''Квадрат '''— четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;<br>
+
-
*'''Трапеция '''— четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;<br>
+
-
*'''Дельтоид '''— четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.<br><br>
Название такой необычной фигуры, как «трапеция» произошло от слова «трапезион», что в переводе с греческого языка, обозначает слово «столик», от которого произошли также слово «трапеза» и другие родственные слова.
-
=== <br> <u>Трапеция.</u><br> ===
+
В некоторых случаях в трапеции пара противоположных сторон параллельна, а другая его пара не является параллельной. В таком случае трапеция носит название криволинейной.
[[Image:O.gif]] Трапеция в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две нет.<br>[[Image:O.gif]] Трапеция в геометрии - четырехугольник, с парой параллельных сторон, и с другой парой непараллельных<br>[[Image:O.gif]] Трапеция - четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны, называемые основаниями трапеции, а другие две - непараллельны.<br>[[Image:O.gif]] Трапеция (от др.-греч. ????????? — «столик»; ??????? — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.<br>
+
Трапеция состоит из таких элементов, как основание, боковые линии, средняя линия и ее высота.
• Основанием трапеции называют ее параллельные стороны;<br>
+
• Боковыми сторонами называют две другие стороны трапеции, которые не есть параллельными;<br>
+
• Средней линией трапеции называют отрезок, который соединяет середины его боковых сторон;<br>
+
• Высотой трапеции считается расстояние между ее основаниями.<br>
-
<br>''Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.<br>''
+
<h2> Виды трапеций</h2>
-
''[[Image:O.gif]] Также слово трапеция имеет и другое определение в гимнастике это гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух веревках.''<br>
+
<br>
+
[[Image:8kl_Trapecia04.jpg|500x500px|трапеция]]
+
<br>
-
[[Image:16042011 4.jpg]]<br>
+
'''Задание:'''
-
'''Акробатические упражнения на трапеции.'''
+
1. Сформулируйте определение равнобедренной трапеции.<br>
+
2. Какая трапеция называется прямоугольной?<br>
+
3. Что значит остроугольная трапеция?<br>
+
4. Какая трапеция относится к тупоугольной?<br>
-
[[Image:16042011 5.jpg]] <br>
+
<h2> Общие свойства трапеции</h2>
-
<br>
+
• Во-первых, средняя линия трапеции находится параллельно основанию фигуры и равняется ее полусумме;<br>
• Во-вторых, отрезок, который соединяет середины диагоналей 4-х угольной фигуры, равняется полуразности ее оснований;<br>
-
''Летающая (воздушная) трапеция была изобретена в 19 веке во Франции Джулиусом Леотардом.''<br>
+
• В-третьих, в трапеции параллельно лежащие прямые, которые пересекают стороны угла данной фигуры, отсекают пропорциональные отрезки от сторон угла.<br>
-
В цирке, номер воздушной гимнастики. Состоит из трюковых '''перелётов '''гимнаста (вольтижёра) '''с трапеции на трапецию или с трапеции в руки партнёра''' (ловитора). Создатель номера (1859) французский артист Ж. Леотар устанавливал трапеции на небольшой высоте. Впоследствии аппаратура была перенесена под купол цирка, вольтижёры-гимнасты исполняют перекрёстные полёты, проделывают в воздухе сальто-мортале (до трёх).
+
• В-четвертых, в любого из видов трапеции сумма углов, которые прилегают к ее боковой стороне, равны 180°.<br>
+
+
<h2> Где еще присутствует трапеция</h2>
-
<br>
+
Слово «трапеция» присутствует не только в геометрии, она имеет более широкое применение в повседневной жизни.
+
+
Это необычное слово мы можем встретить, просматривая спортивные соревнования гимнастов, выполняющих акробатические упражнения на трапеции. В гимнастике трапецией называют спортивный снаряд, который состоит из перекладины, подвешенной на двух веревках.
-
'''Трапеция '''настолько распространенное слово что имеет отношение и к '''бодибилдингу'''. В этом виду спорта трапецией называют мышцы спины.
+
Также это слово можно услышать, занимаясь в спортивном зале или в среде людей, которые занимаются бодибилдингом, так как трапеции - это не только геометрическая фигура или спортивный акробатический снаряд, но и мощные мышцы спины, которые расположены сзади за шеей.
{{#ev:youtube|NC7UCaGb608}}
{{#ev:youtube|NC7UCaGb608}}
+
<br>
+
[[Image:8kl_Trapecia004.jpg|500x500px|трапеция]]
<br>
<br>
-
==== Элементы трапеции. <br> ====
+
На рисунке изображена воздушная трапеция, которую изобрел для цирковых акробатов артист Джулиус Леотард еще в девятнадцатом веке во Франции. Вначале создатель этого номера устанавливал свой снаряд на небольшой высоте, но в итоге он был перенесен под самый купол цирка.
-
*Параллельные стороны называются '''основаниями трапеции'''.
+
{{#ev:youtube|6mhAzRHS-3k}}
-
*Две другие стороны называются '''боковыми сторонами'''.
+
-
*Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется '''средней линией трапеции'''.
+
-
*Расстояние между основаниями называется '''высотой трапеции'''.<br><br>
+
-
==== Виды трапеций. ====
+
{{#ev:youtube|7WZ6i7-5JI0}}
-
[[Image:16042011 8.gif]]
+
Воздушные гимнасты в цирке выполняют трюки перелетов из трапеции на трапецию, исполняют перекрёстные полёты, проделывают в воздухе сальто-мортале.
-
<br>
+
В конном виде спорта, трапецией называют упражнение для растяжки или потягивание тела лошади, которое очень полезно и приятно для животного. Во время стойки лошади в положении трапеции работает растяжка ног животного или мышц его спины. Это красивое упражнение мы можем наблюдать во время поклона или так называемого «переднего кранча», когда лошадь глубоко прогибается.
-
'''[[Image:O.gif]] Определение'''. (рис 1) Остроугольной трапецией называется трапеция, у которой углы, прилегающие к большему основанию острые.<br> '''[[Image:O.gif]] Определение'''. (рис 2) Тупоугольной трапецией называется трапеция, у которой один из углов, прилегающих к большему основанию тупой.<br> '''[[Image:O.gif]] Определение'''. (рис 4) Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.<br> '''[[Image:O.gif]] Определение'''. (рис 3) Равнобедренной (равнобокой, равнобочной) называется трапеция, у которой боковые стороны равны.
+
Задание: Наведите свои примеры о том, где еще в повседневной жизни можно услышать слова «трапеция»?
-
<br>
+
<h2> Интересный факт</h2>
-
=== <u>Основные теоремы.</u><br> ===
+
А известно ли вам, что впервые в 1947 году известный французский модельер Кристиан Диор произвел показ мод, в котором присутствовал силуэт юбки-трапеции. И хотя уже прошло более шестидесяти лет, этот силуэт до сих пор в моде, и не теряет своей актуальности, и по сей день.
-
Параллельные стороны не могут быть равными, т.к. в противном случае мы имели бы параллелограмм. Поэтому одну из них мы назовем большим, вторую - малым основанием трапеции. Высотой трапеции можно назвать любой отрезок перпендикуляра, проведенного из вершин на соответственно противоположную сторону (для каждой вершины есть две противоположные стороны), заключенный между взятыми вершиной и противоположной стороной. Но можно выделить "особый вид" высот.<br>
+
<br>
+
[[Image:8kl_Trapecia05.jpg|500x500px|трапеция]]
+
<br>
-
[[Image:T.gif]] '''Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.'''
+
В гардеробе английской королевы юбка-трапеция стала непременным предметом и ее визитной карточкой.
Напоминающая геометрическую форму трапеции, юбка с одноименным названием прекрасно сочетается с любыми кофточками, блузами, топами и пиджаками. Классичность и демократичность этого популярного фасона позволяет ее носить и со строгими пиджаками и немного легкомысленными топами. В такой юбке будет уместно появляться как в офисе, так и на дискотеке.
-
Пусть дана трапеция АВСD и средняя линия КМ. Через точки В и М проведем прямую. Продолжим сторону AD через точку D до пересечения с ВМ. Треугольники ВСм и МРD равны по стороне и двум углам (СМ=МD, РВСМ=РМDР - накрестлежащие, РВМС=РDМР - вертикальные), поэтому ВМ=МР или точка М - середина ВР. КМ является средней линией в треугольнике АВР. По свойству средней линии треугольника КМ параллельна АР и в частности АD и равна половине АР:<br>
+
<h2> Задачи с трапецией</h2>
-
[[Image:16042011 7.gif]]<br>
+
Для облегчения решения задач с трапециями важно помнить несколько основных правил:
-
<br>
+
• во-первых, проведите две высоты: ВF и СК. <br>
-
+
-
'''[[Image:T.gif]] Теорема. Диагонали делят трапецию на четыре части, две из которых, прилежащие к боковым сторонам, равовелики.'''
+
-
[[Image:16042011 9.gif]]<br>Напомню, что фигуры называются равновеликими, если у них одинаковая площадь. Треугольники АВD и АСD равновелики: у них равные высоты (обозначенные желтым) и общее основание. Эти треугольники имеют общую часть АОD. Их площадь можно разложить так:<br>
+
В одном из случаев, в результате вы получите прямоугольник – ВСFК из чего понятно, что FК=ВС.
-
[[Image:16042011 10.gif]]<br>
+
АD=АF+FК+КD, отсюда АD=АF+ВС+КD.
+
К тому же сразу очевидно, что АВF и DСК – это прямоугольные треугольники.
+
+
<br>
+
[[Image:8kl_Trapecia06.jpg|150x150px|трапеция]]
<br>
<br>
-
==== Площадь.<br> ====
+
Возможен еще такой вариант, когда трапеция не совсем стандартная, где
-
В случае, если a и b — основания и h высота, формула площади: <br>
+
АD=АF+FD=АF+FК–DК=АF+ВС–DК.
-
[[Image:16042011 11.gif]]<br>
+
<br>
+
[[Image:8kl_Trapecia07.jpg|150x150px|трапеция]]
+
<br>
-
Формула, где a, b, c и d — стороны трапеции:<br>
+
Но самый простой вариант, если наша трапеция – равнобедренная. Тогда решать задачу становиться еще легче, потому что АВF и DСК – это прямоугольные треугольники, и они равны. АВ=СD, так как трапеция равнобедренная, а ВF=СК, как высоты трапеции. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
-
[[Image:16042011 12.gif]]<br>
+
АF=КD=(АD–FК)/2=(АD–ВС)/2.
+
<br>
+
[[Image:8kl_Trapecia08.jpg|150x150px|трапеция]]
<br>
<br>
-
=== <u>Задачи.</u><br> ===
+
• во-вторых, провести параллельную боковой стороне прямую.<br>
-
==== Задача №1.<br> ====
+
Тогда: ВМ || СD, и так нам известно, что основания трапеции так де параллельны, т.е. ВС∥АD, то очевидно, что ВСDМ – это параллелограмм. Из чего следует, что МD=ВС, ВМ=СD, АМ=АD–ВС.
-
+
-
Диагонали BD и AC трапеции ABCD пересекаются в точке O. Длина диагонали BD равна 40 см. Найдите величину отрезка ОD, если основания трапеции BC и ADотносятся как 3 к 7.<br><br>'''Решение.'''<br>Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.
+
-
+
-
Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как 3 к 7. Таким образом:
+
-
+
-
BO / OD = 3 / 7
+
-
+
-
По условию задачи, BO + OD = 40, соответственно
+
-
+
-
OD = 40 - BO
+
-
+
-
Таким образом,
+
-
+
-
BO / ( 40 - BO ) = 3 / 7<br>7BO = 3 ( 40 - BO )<br>7BO = 120 - 3BO<br>10BO = 120<br>BO = 12
+
-
+
-
Соответственно, OD = 40 - 12 = 28<br><br>'''Ответ: 28 см '''<br>
+
+
<br>
+
[[Image:8kl_Trapecia09.jpg|150x150px|трапеция]]
<br>
<br>
-
==== Задача №2. ====
+
Как и в прошлом случае, для равнобедренной трапеции найти решение намного проще, так как ВМ∥СD. А так как мы уже знает, что СD=АВ, то и ВМ=АВ. Отсюда следует, АВМ – это равнобедренный треугольник, ВСDМ – это параллелограмм.
-
+
-
Разность оснований трапеции равна 4 см, а средняя линия 10 см. Найдите основания трапеции.<br>
+
+
<br>
+
[[Image:8kl_Trapecia10.jpg|150x150px|трапеция]]
<br>
<br>
-
'''Решение.'''<br>Обозначим большее основание как а, а меньшее как b. Учтем при этом следующее:<br>
+
• в-третьих, получить из трапеции треугольник просто продлив его боковые стороны. <br>
-
+
-
Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме<br>
+
-
+
-
Значит:<br>
+
-
+
-
a - b = 4<br>(a + b) / 2 = 10<br>
+
-
+
-
Откуда a = b + 4, тогда<br>
+
-
+
-
(b + 4 + b) / 2 = 10<br>2b + 4 = 20<br>b = 8<br><br>Следовательно a = b + 4 = 12<br><br>'''Ответ: Основания трапеции равны 8 и 12 см '''
+
+
<br>
+
[[Image:8kl_Trapecia11.jpg|150x150px|трапеция]]
<br>
<br>
-
==== Задача №3.<br> ====
+
Мы видим, что прямые АВ и СD пересекаются в точке Р.
-
+
Треугольники АРD и ВРС подобны по двум углам (угол Р – общий, ∠РАD= ∠РВС как соответственные при ВС∥АD и секущей АР).
-
Четырёхугольник с длинами сторон 1, 1, 1 и 2 имеет две параллельные стороны и разбит на четыре одинаковые фигуры (см. рисунок). В результате верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найдите отношение длины большего отрезка к меньшему. <br>
+
Следовательно, и их стороны пропорциональны:
-
+
-
[[Image:16042011 13.gif]]
+
-
+
-
'''Решение'''.<br><br>Пусть x — длина меньшего отрезка. В верхней стороне четырёхугольника, имеющей длину 1, укладывается 3 маленьких отрезка и один большой. Значит, длина большого отрезка равна 1 - 3x. В нижней стороне четырёхугольника, имеющей длину 2, укладывается 3 больших отрезка и один маленький. Получаем уравнение<br>
+
-
+
-
3<sup>. </sup>(1 - 3x) + x = 2.<br>
+
-
+
-
Отсюда<br>
+
-
+
-
3 - 9x + x = 2.<br>
+
-
+
-
Следовательно,
+
-
+
-
х = 1/8
+
-
+
-
Итак, длина меньшего отрезка равна 1/8. Поэтому длина большего равна 1 - 3 . 1/8 = 1 - 3/8 = 5/8. Значит, больший отрезок в пять раз длиннее меньшего.<br>
+
-
+
-
'''Ответ: 5'''
+
-
+
-
<br>
+
-
+
-
==== Задача №4.<br> ====
+
-
+
-
Средняя линия трапеции равна 6, а разность оснований равна 4. Найдите основания. <br>
+
-
+
-
<br>
+
-
+
-
'''Решение'''.
+
-
+
-
Пусть основания трапеции равны a и b ( a>b ). По теореме о средней линии трапеции <br>
+
-
+
-
[[Image:16042011 14.gif]] = 6;<br>
+
-
+
-
Из системы
+
-
+
-
[[Image:16042011 15.gif]]<br>
+
-
+
-
находим, что a=8 , b=4 .
+
-
+
-
'''Ответ: основания трапеции равны 8 и 4.'''
+
-
+
-
----
+
-
+
-
=== <u>Интересный факт:</u> ===
+
-
+
-
<u></u>'''Юбка – трапеция.'''
+
-
+
-
[[Image:16042011 16.jpg]]
+
-
+
-
Одну из главных ролей в гардеробе любой женщины играет юбка. Меняются времена, меняется мода, но универсальным элементом всегда остаётся юбка – трапеция. В классике моды она занимает вполне почётное и заслуженное место. Кристиан Диор показал юбки такого силуэта впервые в 1947 году. Но до сих пор они не выходят из моды, хотя прошло уже более шестидесяти лет.<br>
+
-
+
-
[[Image:16042011 17.jpg]]
+
-
+
-
Кстати, вспомните английскую королеву. Юбка – трапеция была непременным предметом её гардероба, можно сказать, визитной карточкой.<br>
+
-
+
-
Облегающая талию и расширяющаяся книзу модель сочетается с любыми блузками, топиками, пиджаками, а то и свитерами. Демократичность этого фасона позволяет носить её как со строгими пиджаками, так и с футболками и майками. В результате её можно надеть как в офис, так и на дискотеку.<br>Кстати, вариант “юбка – трапеция” используется и в фасонах вечерних платьев. Главное правило – небольшие пропорции между сторонами трапеции. Тогда платье будет выглядеть элегантно, а его хозяйке оно придаст стройность. По сути, старая добрая трапеция смотрится также оригинально, как модная в этом сезоне юбка тюльпан и юбка солнце клеш.<br>
+
-
+
-
[[Image:16042011 18.jpg]]
+
-
+
-
Одно из главных достоинств юбки – трапеция – это то, что надеть её может женщина с любой фигурой. А длина юбки меняется в зависимости от модных тенденций – то поднимается выше колена, то опускается.<br>
+
-
+
-
Универсальность этой модели позволяет надеть её в любой ситуации, и поэтому она ещё долго не выйдет из моды.
+
-
+
-
<u></u>
+
-
+
-
<u></u>
+
-
+
-
<u></u>
+
-
+
-
<u></u>
+
-
+
-
<u></u>
+
-
+
-
<u></u>
+
-
+
-
----
+
-
+
-
<u>'''Вопросы:'''</u>
+
-
+
-
#Что такое трапеция?
+
-
#Где еще кроме геометрии применяется название трапеция?
+
-
#Какие основные о трапеции Вы знаете?
+
-
+
-
<u>'''Список использованных источников:'''</u>
+
-
+
-
#Левченко В.С., учитель геомтрии, г. не указан, школа не указана.
+
-
#«Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
+
-
#Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»<br>
+
-
+
-
----
+
-
+
-
'''<u>Над уроком работали:</u>'''
+
-
+
-
Потурнак С.А.<br>
+
-
+
-
Левченко В.С.
+
-
Татьяна Проснякова
+
<br>
+
[[Image:8kl_Trapecia12.jpg|150x150px|трапеция]]
+
<br>
-
----
+
<h2> Домашнее задание</h2>
-
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.<br>
+
1. Какой 4-х угольник носит название трапеции?<br>
• Продолжать знакомить с новыми определениями в геометрии;
• Закрепить знания об уже изученных геометрических фигурах;
• Познакомить с формулировкой и доказательствами свойств трапеции;
• Обучить применению свойств различных фигур при решении задач и выполнении заданий;
• Продолжать развивать у школьников внимание, логическое мышление и математическую речь;
• Воспитывать интерес к предмету.
Задачи урока
• Вызвать интерес к знаниям по геометрии;
• Продолжать упражнять школьников в решении задач;
• Вызвать познавательный интерес к урокам математики.
План урока
1. Повторить материал, изученный ранее.
2. Знакомство с трапецией, ее свойствами и признаками.
3. Решение задач и выполнение заданий.
Повторение ранее изученного материала
На предыдущем уроке вы знакомились с такой фигурой, как четырехугольник. Давайте закрепим пройденный материал и ответим на поставленные вопросы:
1. Сколько углов и сторон имеет 4-х угольник?
2. Сформулируйте определение 4-х угольника?
3. Какое название носят противоположные стороны 4-х угольника?
4. Какие виды четырехугольников вам известны? Перечислите их и дайте определение каждого из них.
5. Изобразите пример выпуклого и невыпуклого четырехугольника.
Трапеция. Общие свойства и определение
Трапеция - это такая четырехугольная фигура, у которой только одна пара противолежащих сторон параллельна.
В геометрическом определении к трапеции относится такой 4-х угольник, который имеет две параллельные стороны, а две другие – нет.
Название такой необычной фигуры, как «трапеция» произошло от слова «трапезион», что в переводе с греческого языка, обозначает слово «столик», от которого произошли также слово «трапеза» и другие родственные слова.
В некоторых случаях в трапеции пара противоположных сторон параллельна, а другая его пара не является параллельной. В таком случае трапеция носит название криволинейной.
Элементы трапеции
Трапеция состоит из таких элементов, как основание, боковые линии, средняя линия и ее высота.
• Основанием трапеции называют ее параллельные стороны;
• Боковыми сторонами называют две другие стороны трапеции, которые не есть параллельными;
• Средней линией трапеции называют отрезок, который соединяет середины его боковых сторон;
• Высотой трапеции считается расстояние между ее основаниями.
Виды трапеций
Задание:
1. Сформулируйте определение равнобедренной трапеции.
2. Какая трапеция называется прямоугольной?
3. Что значит остроугольная трапеция?
4. Какая трапеция относится к тупоугольной?
Общие свойства трапеции
• Во-первых, средняя линия трапеции находится параллельно основанию фигуры и равняется ее полусумме;
• Во-вторых, отрезок, который соединяет середины диагоналей 4-х угольной фигуры, равняется полуразности ее оснований;
• В-третьих, в трапеции параллельно лежащие прямые, которые пересекают стороны угла данной фигуры, отсекают пропорциональные отрезки от сторон угла.
• В-четвертых, в любого из видов трапеции сумма углов, которые прилегают к ее боковой стороне, равны 180°.
Где еще присутствует трапеция
Слово «трапеция» присутствует не только в геометрии, она имеет более широкое применение в повседневной жизни.
Это необычное слово мы можем встретить, просматривая спортивные соревнования гимнастов, выполняющих акробатические упражнения на трапеции. В гимнастике трапецией называют спортивный снаряд, который состоит из перекладины, подвешенной на двух веревках.
Также это слово можно услышать, занимаясь в спортивном зале или в среде людей, которые занимаются бодибилдингом, так как трапеции - это не только геометрическая фигура или спортивный акробатический снаряд, но и мощные мышцы спины, которые расположены сзади за шеей.
На рисунке изображена воздушная трапеция, которую изобрел для цирковых акробатов артист Джулиус Леотард еще в девятнадцатом веке во Франции. Вначале создатель этого номера устанавливал свой снаряд на небольшой высоте, но в итоге он был перенесен под самый купол цирка.
Воздушные гимнасты в цирке выполняют трюки перелетов из трапеции на трапецию, исполняют перекрёстные полёты, проделывают в воздухе сальто-мортале.
В конном виде спорта, трапецией называют упражнение для растяжки или потягивание тела лошади, которое очень полезно и приятно для животного. Во время стойки лошади в положении трапеции работает растяжка ног животного или мышц его спины. Это красивое упражнение мы можем наблюдать во время поклона или так называемого «переднего кранча», когда лошадь глубоко прогибается.
Задание: Наведите свои примеры о том, где еще в повседневной жизни можно услышать слова «трапеция»?
Интересный факт
А известно ли вам, что впервые в 1947 году известный французский модельер Кристиан Диор произвел показ мод, в котором присутствовал силуэт юбки-трапеции. И хотя уже прошло более шестидесяти лет, этот силуэт до сих пор в моде, и не теряет своей актуальности, и по сей день.
В гардеробе английской королевы юбка-трапеция стала непременным предметом и ее визитной карточкой.
Напоминающая геометрическую форму трапеции, юбка с одноименным названием прекрасно сочетается с любыми кофточками, блузами, топами и пиджаками. Классичность и демократичность этого популярного фасона позволяет ее носить и со строгими пиджаками и немного легкомысленными топами. В такой юбке будет уместно появляться как в офисе, так и на дискотеке.
Задачи с трапецией
Для облегчения решения задач с трапециями важно помнить несколько основных правил:
• во-первых, проведите две высоты: ВF и СК.
В одном из случаев, в результате вы получите прямоугольник – ВСFК из чего понятно, что FК=ВС.
АD=АF+FК+КD, отсюда АD=АF+ВС+КD.
К тому же сразу очевидно, что АВF и DСК – это прямоугольные треугольники.
Возможен еще такой вариант, когда трапеция не совсем стандартная, где
АD=АF+FD=АF+FК–DК=АF+ВС–DК.
Но самый простой вариант, если наша трапеция – равнобедренная. Тогда решать задачу становиться еще легче, потому что АВF и DСК – это прямоугольные треугольники, и они равны. АВ=СD, так как трапеция равнобедренная, а ВF=СК, как высоты трапеции. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
АF=КD=(АD–FК)/2=(АD–ВС)/2.
• во-вторых, провести параллельную боковой стороне прямую.
Тогда: ВМ || СD, и так нам известно, что основания трапеции так де параллельны, т.е. ВС∥АD, то очевидно, что ВСDМ – это параллелограмм. Из чего следует, что МD=ВС, ВМ=СD, АМ=АD–ВС.
Как и в прошлом случае, для равнобедренной трапеции найти решение намного проще, так как ВМ∥СD. А так как мы уже знает, что СD=АВ, то и ВМ=АВ. Отсюда следует, АВМ – это равнобедренный треугольник, ВСDМ – это параллелограмм.
• в-третьих, получить из трапеции треугольник просто продлив его боковые стороны.
Мы видим, что прямые АВ и СD пересекаются в точке Р.
Треугольники АРD и ВРС подобны по двум углам (угол Р – общий, ∠РАD= ∠РВС как соответственные при ВС∥АD и секущей АР).
Следовательно, и их стороны пропорциональны:
Домашнее задание
1. Какой 4-х угольник носит название трапеции?
2. Назовите стороны трапеции?
3. Назовите признаки равнобедренной трапеции.
4. Сформулируйте ее свойства.
