Треугольник – это такой простой многоугольник, состоящий из трех сторон и имеющий столько же углов. Его плоскости ограничиваются 3 точками и 3 отрезками, попарно соединяющими даные точки.
-
'''Треугольник '''прямолинейный, часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (стороны Треугольника (в геометрии)), имеющими попарно по одному общему концу (вершины Треугольника (в геометрии)). Треугольник, у которого длины всех сторон равны, называется ''равносторонним'', или ''правильным'', Треугольник с двумя равными сторонами — ''равнобедренным''. Треугольник называется ''остроугольным'', если все углы его острые; ''прямоугольным '' — если один из его углов прямой; ''тупоугольным ''— если один из его углов тупой. Более одного прямого или тупого угла Треугольник (в геометрии) иметь не может, так как сумма всех трёх углов равна двум прямым углам (180° или, в радианах, p). Площадь Треугольник (в геометрии) равна ah/2, где а — любая из сторон Треугольника, принимаемая за его основание, a h — соответствующая высота. Стороны Треугольника подчинены условию: длина каждой из них меньше суммы и больше разности длин двух других сторон.<br>
+
Все вершины любого треугольника, независимо от его разновидности, обозначаются заглавными латинскими буквами, а его стороны изображаются соответствующими обозначениями противоположных вершин, только не большими буквами, а малыми. Так, например, треугольник с вершинами обозначенными буквами А, В и С имеет стороны a, b, c.
Если рассматривать треугольник в евклидовом пространстве, то это такая геометрическая фигура, которая образовалась с помощью трех отрезков, соединяющих три точки, которые не лежат на одной прямой.
-
'''Треугольник '''— простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.<br>Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой, соответствует одна и только одна плоскость.<br>Любой многоугольник можно разбить на треугольники — этот процесс называется ''триангуляция''.<br>Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников — ''Тригонометрия''.<br>
+
Посмотрите внимательно на рисунок, который изображен вверху. На нем точки А, В и С являются вершинами этого треугольника, а его отрезки носят названия сторон треугольника. Каждая вершина этого многоугольника образует внутри его углы.
-
'''<u>Типы треугольников:</u>'''<u></u><br>Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:
+
<h2>Виды треугольников</h2>
-
*Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
+
<br>
-
*Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
*Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.<br>
+
<br>
-
'''По числу равных сторон:'''
+
Согласно величины, углов треугольников, они делятся на такие разновидности, как:
+
• Прямоугольные;<br>
+
• Остроугольные;<br>
+
• Тупоугольные.<br>
-
*Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон попарно различны.
+
<br>
-
*Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
*Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Каждый из вас прекрасно понимает, что не все треугольники имеют равные стороны. И соответственно тому, какую длину имеют его стороны, треугольники можно поделить на:
-
<u>'''Лучи, отрезки и точки:'''</u><br>
+
• Равнобедренные;<br>
+
• Равносторонние;<br>
+
• Разносторонние.<br>
-
*'''Медианой '''треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.
+
<br>
-
*'''Высотой '''треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
*'''Биссектрисой '''треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).
+
<br>
-
*'''Средней '''линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.
+
-
В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный. Если треугольник разносторонний, то для любой его вершины биссектриса, проведённая из неё, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.<br>
+
Задание: Нарисуйте разные виды треугольников. Дайте им определение. Какое между ними отличие вы видите?
-
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.<br>
+
<h2>Основные свойства треугольников</h2>
-
Середины трёх сторон треугольника, основания трёх его высот и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек.<br>
+
Хотя эти простые многоугольники могут отличаться друг от друга величиной углов или сторон, но в каждом треугольнике есть основные свойства, характерны для этой фигуры.
-
В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.<br>
+
В любом треугольнике:
-
Ортоцентр, инцентр, центроид (центр тяжести), а также некоторые другие точки называются замечательными точками треугольника.<br>
+
• Общая сумма всех его углов равняется 180º.<br>
+
• Если он принадлежит к равносторонним, то каждый его угол равен 60º.<br>
+
• Равносторонний треугольник имеет одинаковые и ровные между собой углы. <br>
+
• Чем меньше сторона многоугольника, тем меньший угол расположен напротив него и наоборот напротив большей стороны находиться больший угол.<br>
+
• Если стороны равные, то напротив них расположены равные углы, и наоборот.<br>
+
• Если взять треугольник и продлить его сторону, то в итоге мы образуется внешний угол. Он равен сумме внутренних углов. <br>
+
• В любом треугольнике его сторона, независимо от того, какую бы вы не выбрали, все равно будет меньше, чем сумма 2-х других сторон, но больше чем их разность:<br>
-
'''Определения, связанные с треугольником'''<br>
+
1. a < b + c, a > b – c; <br>
+
2. b < a + c, b > a – c; <br>
+
3. c < a + b, c > a – b.<br>
-
*Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром.
+
'''Задание'''
-
*Описанная окружность — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность также единственна.
+
-
*Вневписанная окружность — окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон.
+
-
----
+
В таблице приведены уже известные два угла треугольника. Зная общую сумму всех углов найдите, чему равен третий угол треугольника и занесите в таблицу:
-
<u>'''Интересный факт:'''</u><br>
+
1. Сколько градусов имеет третий угол?<br>
+
2. К какому виду треугольников он относится?<br>
-
В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180. В геометрии Эвклида она всегда равна 180 . В геометрии Римана сумма углов треугольника всегда больше 180.
Треугольник Рело — это геометрическая фигура, образованная пересечением трёх равных кругов радиуса А с центрами в вершинах равностороннего треугольника со стороной А. Сверло, сделанное на основе треугольника Рело, позволяет сверлить квадратные отверстия (с неточностью в 2%).
Высота треугольника - перпендикуляр, проведенный из вершины фигуры к его противоположной стороне, называется высотой треугольника. Все высоты треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения всех 3-х высот треугольника является его ортоцентром.
-
#Атанасян, Геометрия 7-9 класс.<br>
+
Отрезок, проведенный из данной вершины и соединяющий ее на средине противоположной стороны, является медианой. Медианы, также как и высоты треугольника, имеют одну общую точку пересечения, так называемый центр тяжести треугольника или центроид.
#Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 7 класс (2005)
+
-
----
+
Биссектриса треугольника - отрезок, соединяющий вершину угла и точку противоположной стороны, а также делящий этот угол пополам. Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которую называют центром окружности, вписанной в треугольник.
-
Отредактировано и выслано Потурнаком С .А.
+
Отрезок, который соединяет середины 2-х сторон треугольника, называется средней линией.
-
----
+
<h2>Историческая справка</h2>
-
'''<u>Над уроком работали</u>'''
+
Такая фигура, как треугольник, была известна еще в Древние времена. Об этой фигуре и ее свойствах упоминалось на египетских папирусах четырех тысячелетней давности.
+
Немного позже, благодаря теореме Пифагора и формуле Герона, изучение свойства треугольника, перешло на более высокий уровень, но все же, это происходило более двух тысяч лет назад.
-
Китаев В.А.
+
В XV – XVI веках стали проводить много исследований о свойствах треугольника и в итоге возникла такая наука, как планиметрия, которая получила название «Новая геометрия треугольника».
+
Ученый из России Н. И.Лобачевский внес огромный вклад в познание свойств треугольников. Его труды в дальнейшем нашли применение как в математике, так и физике и кибернетике.
-
----
+
Благодаря знаниям свойств треугольников возникла и такая наука, как тригонометрия. Она оказалась необходимой для человека в его практических потребностях, так как ее применение просто необходимо при составлении карт, измерении участков, да и при конструировании различных механизмов.
+
<h2>Интересные факты</h2>
+
А какой самый известный треугольник вы знаете? Это конечно же Бермудский треугольник! Он получил такое название в 50-х годах из-за географического расположения точек (вершин треугольника), внутри которых, согласно существующей теории, возникали связанные с ним аномалии. Вершинами Бермудского треугольника выступают Бермудские острова, Флорида и Пуэрто-Рико.
-
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, но и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.<br>
+
Задание: А какие теории о Бермудском треугольнике слышали вы?
А известно ли вам, что в теории Лобачевского при сложении углов треугольника их сумма всегда имеет результат меньший, чем 180º. В геометрии Римана, сумма всех углов треугольника больше 180º, а в трудах Эвклида она равна 180 градусам.
Треугольник – это такой простой многоугольник, состоящий из трех сторон и имеющий столько же углов. Его плоскости ограничиваются 3 точками и 3 отрезками, попарно соединяющими даные точки.
Все вершины любого треугольника, независимо от его разновидности, обозначаются заглавными латинскими буквами, а его стороны изображаются соответствующими обозначениями противоположных вершин, только не большими буквами, а малыми. Так, например, треугольник с вершинами обозначенными буквами А, В и С имеет стороны a, b, c.
Если рассматривать треугольник в евклидовом пространстве, то это такая геометрическая фигура, которая образовалась с помощью трех отрезков, соединяющих три точки, которые не лежат на одной прямой.
Посмотрите внимательно на рисунок, который изображен вверху. На нем точки А, В и С являются вершинами этого треугольника, а его отрезки носят названия сторон треугольника. Каждая вершина этого многоугольника образует внутри его углы.
Виды треугольников
Согласно величины, углов треугольников, они делятся на такие разновидности, как:
• Прямоугольные;
• Остроугольные;
• Тупоугольные.
К прямоугольным принадлежат такие треугольники, у которых в наличии есть один прямой угол, а остальные два имеют острые углы.
Остроугольные треугольники – это те, у которых все его углы острые.
А если у треугольника имеется один тупой угол, а два остальных угла острые, то такой треугольник относится к тупоугольным.
Каждый из вас прекрасно понимает, что не все треугольники имеют равные стороны. И соответственно тому, какую длину имеют его стороны, треугольники можно поделить на:
Задание: Нарисуйте разные виды треугольников. Дайте им определение. Какое между ними отличие вы видите?
Основные свойства треугольников
Хотя эти простые многоугольники могут отличаться друг от друга величиной углов или сторон, но в каждом треугольнике есть основные свойства, характерны для этой фигуры.
В любом треугольнике:
• Общая сумма всех его углов равняется 180º.
• Если он принадлежит к равносторонним, то каждый его угол равен 60º.
• Равносторонний треугольник имеет одинаковые и ровные между собой углы.
• Чем меньше сторона многоугольника, тем меньший угол расположен напротив него и наоборот напротив большей стороны находиться больший угол.
• Если стороны равные, то напротив них расположены равные углы, и наоборот.
• Если взять треугольник и продлить его сторону, то в итоге мы образуется внешний угол. Он равен сумме внутренних углов.
• В любом треугольнике его сторона, независимо от того, какую бы вы не выбрали, все равно будет меньше, чем сумма 2-х других сторон, но больше чем их разность:
1. a < b + c, a > b – c;
2. b < a + c, b > a – c;
3. c < a + b, c > a – b.
Задание
В таблице приведены уже известные два угла треугольника. Зная общую сумму всех углов найдите, чему равен третий угол треугольника и занесите в таблицу:
1. Сколько градусов имеет третий угол?
2. К какому виду треугольников он относится?
Признаки равности треугольников
• I признак
• II признак
• III признак
Высота, биссектриса и медиана треугольника
Высота треугольника - перпендикуляр, проведенный из вершины фигуры к его противоположной стороне, называется высотой треугольника. Все высоты треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения всех 3-х высот треугольника является его ортоцентром.
Отрезок, проведенный из данной вершины и соединяющий ее на средине противоположной стороны, является медианой. Медианы, также как и высоты треугольника, имеют одну общую точку пересечения, так называемый центр тяжести треугольника или центроид.
Биссектриса треугольника - отрезок, соединяющий вершину угла и точку противоположной стороны, а также делящий этот угол пополам. Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которую называют центром окружности, вписанной в треугольник.
Отрезок, который соединяет середины 2-х сторон треугольника, называется средней линией.
Историческая справка
Такая фигура, как треугольник, была известна еще в Древние времена. Об этой фигуре и ее свойствах упоминалось на египетских папирусах четырех тысячелетней давности.
Немного позже, благодаря теореме Пифагора и формуле Герона, изучение свойства треугольника, перешло на более высокий уровень, но все же, это происходило более двух тысяч лет назад.
В XV – XVI веках стали проводить много исследований о свойствах треугольника и в итоге возникла такая наука, как планиметрия, которая получила название «Новая геометрия треугольника».
Ученый из России Н. И.Лобачевский внес огромный вклад в познание свойств треугольников. Его труды в дальнейшем нашли применение как в математике, так и физике и кибернетике.
Благодаря знаниям свойств треугольников возникла и такая наука, как тригонометрия. Она оказалась необходимой для человека в его практических потребностях, так как ее применение просто необходимо при составлении карт, измерении участков, да и при конструировании различных механизмов.
Интересные факты
А какой самый известный треугольник вы знаете? Это конечно же Бермудский треугольник! Он получил такое название в 50-х годах из-за географического расположения точек (вершин треугольника), внутри которых, согласно существующей теории, возникали связанные с ним аномалии. Вершинами Бермудского треугольника выступают Бермудские острова, Флорида и Пуэрто-Рико.
Задание: А какие теории о Бермудском треугольнике слышали вы?
А известно ли вам, что в теории Лобачевского при сложении углов треугольника их сумма всегда имеет результат меньший, чем 180º. В геометрии Римана, сумма всех углов треугольника больше 180º, а в трудах Эвклида она равна 180 градусам.
Домашнее задание
Решите кроссворд на заданную тему
Вопросы к кроссворду:
1. Как называется перпендикуляр, который провели из вершины треугольника к прямой, расположенной на противоположной стороне?
2. Как, одним словом можно назвать сумму длин сторон треугольника?
3. Назовите треугольник, у которого две стороны равны?
4. Назовите треугольник, у которого есть угол, равный 90°?
5. Какое название носит большая, из сторон треугольника?
6. Название стороны равнобедренного треугольника?
7. Их всегда три в любом треугольнике.
8. Какое название носит треугольник, у которого один из углов превышает 90°?
9. Название отрезка, соединяющего вершину нашей фигуры со срединой противоположной стороны?
10. В простом многоугольнике АВС, заглавная буква А является …?
11. Какое название носит отрезок, делящий угол треугольника пополам.
Вопросы к теме треугольников:
1. Дайте определение.
2. Сколько высот он имеет?
3. Сколько биссектрис у треугольника?
4. Чему равна его сумма углов?
5. Какие виды этого простого многоугольника вам известны?
6. Назовите точки треугольников, которые носят название замечательных.
7. Каким прибором можно измерить величину угла?
8. Если стрелки часов показывают 21 час. Какой угол образуют часовые стрелки?
9. На какой угол поворачивается человек, если ему дана команда «налево», «кругом»?
10. Какие еще определения вам известны, которые связанные с фигурой, имеющей три угла и три стороны?
