Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Формулы сокращенного умножения

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Формулы сокращенного умножения



                           Формулы сокращенного умножения


Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи.


1. Квадрат суммы и квадрат разности:


Умножим двучлен а + b на себя, т.е. раскроем скобки в произведении (a + b) (а + b) или, что то же самое, в выражении (a + b)2.

Имеем:

(а + b)2 = (а + b) (а + b) = а • а + а • b + b • a + b • b = = а2 + аЬ + аЬ + b2 = а2 + 2аЬ + b2.

Аналогично получаем:

(a - b)2 = (а-b)(а-b) = а2-аb-bа + b2 = а2- 2аb + b2.

Итак,

Квадрат суммы (разности)

На обычном языке формулы (1) и (2) читают так: квадрат суммы (разности) двух выражений равен сумме их квадратов плюс (минус) их удвоенное произведение. Этим формулам присвоены специальные названия: формуле (1) — квадрат суммы, формуле (2) — квадрат разности.

Пример 1. Раскрыть скобки в выражении:

а) (Зх + 2)2;

б) ( 5а2 - 4b3)2

Решение.

а) Воспользуемся формулой (1), учтя, что в роли а выступает Зх, а в роли b — число 2.
Получим:

(Зх + 2)2 = (Зх)2+ 2 • Зх • 2 + 22 = 9x2 + 12x + 4.

б) Воспользуемся формулой (2), учтя, что в роли а выступает2, а в ролиb выступает 4b3. Получим:

(5а2-4b3)2= (5а2)2 - 2- 5a2 • 4b3 + (4b3)2= 25a4-40a2b3 + 16b6.

При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что
(- a - b)2 = (а + b)2;
( b-a )2 = ( a-b )2.

Это следует из того, что (- а)2 = а2.

Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме.

Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле

712 = (70 + 1)2 = 702 + 2 • 70 • 1 + 12 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
912 = (90 + I)2= 902 + 2 • 90 • 1 + 12 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
692 = (70 - I)2 = 702 - 2 • 70 • 1 + 12 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2 или цифрой 8. Например,

1022 = (100 + 2)2 = 1002 + 2 • 100 • 2 + 22 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

482 = (50 - 2)2 = 502 - 2 • 50 • 2 + 22 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5.
Проведем соответствующие рассуждения для 852.

Имеем:

852 = (80 + 5)2 = 802 + 2• 80 • 5 + 52 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Замечаем, что для вычисления 852 достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 352 = 1225  (3 • 4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25);

652 = 4225; 1252 = 15625 (12• 18 = 156 и к полученному числу приписали справа 25).

Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 4).


Квадрат


Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b)2. Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а2), квадрат со стороной b (его площадь равна b2), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + b)2 = а2 + b2 + 2аb, т. е. получили формулу (1).


2. Разность квадратов

Умножим двучлен а + b на двучлен а - b. Получим:
(а + b) (а - b) = а2 - аb + bа - b2 = а2 - b2.
Итак


Разность квадратов

Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и справа налево (т.е. правая часть равенства заменяется его левой частью). Если формулу C) использовать слева направо, то она позволяет заменить произведение (а + b) (а - b) готовым результатом а2 - b2. Эту же формулу можно использовать справа налево, тогда она позволяет заменить разность квадратов а2 - b2 произведением (а + b) (а - b). Формуле (3) в математике дано специальное название — разность квадратов.

Замечание. Не путайте термины «разность квадратов» к и «квадрат разности». Разность квадратов — это а2 - b2,  значит, речь идет о формуле (3); квадрат разности — это  (a- b)2, значит речь идет о формуле (2). На обычном языке формулу (3) читают «справа налево» так:

 разность квадратов двух чисел (выражений)  равна произведению суммы этих чисел (выражений) на их разность,

Пример 2. Выполнить умножение

(3x- 2y)(3x+ 2y)
Решение. Имеем:
(Зх - 2у) (Зх + 2у)= (Зx)2 - (2у)2 = 9x2 - 4y2.

Пример 3. Представить двучлен 16x4 - 9 в виде произведения двучленов.

Решение. Имеем: 16x4 =(4x2)2, 9 = З2, значит, заданный двучлен есть разность квадратов, т.е. к нему можно применить формулу (3), прочитанную справа налево. Тогда получим:

16x4 - 9 = (4x2)2- З2 = (4x2 + 3)(4x2 - 3)


Формула (3), как и формулы (1) и (2), используется для математических фокусов. Смотрите:

79 • 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 • 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.


Завершим разговор о формуле разности квадратов любопытным геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа, причем а > b. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а + b и а - b (рис. 5). Его площадь равна (а + b) (а - b). Отрежем прямоугольник со сторонами b и а - b и подклеим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная фигура имеет ту же площадь, т. е. (а + b) (а - b). Но эту фигуру можно
построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной b (это хорошо видно на рис. 6). Значит, площадь новой фигуры равна а2 - b2. Итак, (а + b) (а - b) = а2 - b2, т. е. получили формулу (3).


Прямоугольник, квадрат


3. Разность кубов и сумма кубов

Умножим двучлен а - b на трехчлен а2 + ab + b2.
Получим:
(a - b) (а2 + ab + b2) = а • а2 + а • ab + а • b2 - b • а2 - b • аb -b•b2 = а3 + а2b + аb22b-аb2-b3 = а3-b3.

Аналогично

(а + b) (а2 - аb + b2) = а3 + b3

(проверьте это сами). Итак,


разность и сумма кубов


Формулу (4) обычно называют разностью кубов, формулу( 5) — суммой кубов. Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обычный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что выражение a2 + ab + b2 похоже на выражение а2 + 2ab + b2, которое фигурировало в формуле (1) и давало (а + b)2; выражение а2 - ab + b2 похоже на выражение а2 - 2ab + b2, которое фигурировало в формуле (2) и давало (а - b)2.

Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений друг от друга, каждое из выражений а2 + 2ab + b2 и а2 - 2ab + b2 называют полным квадратом (суммы или разности), а каждое из выражений а2 + ab + b2 и а2 - ab + b2 называют неполным квадратом (суммы или разности). Тогда получается следующий перевод формул (4) и (5) (прочитанных «справа налево») на обычный язык:

разность кубов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) на неполный квадрат их суммы; сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на неполный квадрат их разности.

Замечание. Все полученные в этом параграфе формулы (1)-(5) используются как слева направо, так и справа налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1 )-(5) — формулы сокращенного умножения, а во втором случае (справа налево) говорят, что (1)-(5) — формулы разложения на множители.

Пример 4. Выполнить умножение (2х- 1)(4x2 + 2х +1).

Решение. Так как первый множитель есть разность одночленов 2х и 1, а второй множитель — неполный квадрат их суммы, то можно воспользоваться формулой (4). Получим:

(2х - 1)( 4x2 + 2х + 1) = (2x)3 - I3 = 8x3 - 1.

Пример 5. Представить двучлен 27а6 + 8b3 в виде произведения многочленов.

Решение. Имеем: 27а6 = (За2)3, 8b3 =(2b)3. Значит, заданный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить формулу 95), прочитанную справа налево. Тогда получим:

27а6 + 8b3 = (За2)3 + (2b)3 = (За2 + 2Ь) ((За2)2 - За2 • 2Ь + (2b)2) = (За2 + 2Ь) (9а4 - 6а2Ь + 4b2).


Помощь школьнику онлайн, Математика для 7 класса скачать, календарно-тематическое планирование


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.